26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 用待定系数法求二次函数的表达式 学习目标 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 二 会用待定系数法求二次函数的表达式. 一 二次函数的一般式： 二次函数顶点式： 复习引入 求出下列二次函数与x轴的交点坐标. 解析式 与x轴的交点坐标 （1，0），（3，0） （2，0），（-1，0） （-4，0），（-6，0） 1 3 2 -1 -4 -6 探究新知 一般地，如果二次函数与x轴的交点坐标为 则它的解析式可设为： 交点式： 探究新知 二次函数的三种形式： 顶点式： 交点式： 一般式： 小结收获 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 得到关于k、b的方程组，解方程组得k、b 探究新知 题型一：已知三点，求二次函数解析式（解三元一次方程组） 1. 已知二次函数图象经过三点（-1，-5）,（0,4）和（1,1）, 求该函数的解析式 设一般式求二次函数解析式 2. 一个二次函数的图象经过 (-1, 10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式. 一般式 知识要点1：已知图象上普通三点坐标，特别是已知函数图象与y轴的交点坐标(0,c)时，使用一般式很方便. 题型二：已知顶点，求二次函数解析式 例1：已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且抛物线经过点（3,1）, 求抛物线的解析式 设顶点式求二次函数解析式 变式： 若抛物线 过点A(-4,-3),与y轴交于点B， 求抛物线的解析式. 知识要点2：已知抛物线顶点坐标、或者是对称轴、或者是最值时，优先选择顶点式 顶点式： 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应多少? x y O A B C 素养考点 二次函数的应用 (1.6,3) (3.6,0) 解：如图建立直角坐标系， 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3.6,0) ∴0=a(3.6－1.6)2＋3 ∴抛物线解析式为： y=a(x－1.6)2＋3(0≤x≤3.6). 当x=0时，y=1.08 答:水管长应为1.08m. 解得： x y O A B C (1.6,3) (3.6,0) 探究新知 题型三：已知图象与x轴的两个交点，求二次函数解析式 例1：二次函数图象经过（-4,0）,（2,0）和（0,6）,求二次函数解析式 解：设函数解析式为 抛物线经过点（0,6） 解得 抛物线解析式为 即 注意：结果转化为一般式 设交点式求二次函数解析式 和x轴的交点要自己发现. 二次函数 的图象过A(0,-5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数解析式. 解法一解：由题意可知： 抛物线解析式为 变式训练 题型三：已知图象与x轴的两个交点，求二次函数解析式 设交点式求二次函数解析式 题后反思：坐标中有0的点不一般，另外，知识要学活，不能学死. 解法二解： 二次函数的图象过B(5,0)，对称轴为直线x=3 该抛物线与x轴的另一个交点为(1,0) 设函数解析式为 图象过A(0,-5) 抛物线解析式为 变式训练 题型三：已知图象与x轴的两个交点，求二次函数解析式. 设交点式求二次函数解析式 知识要点3： 交点式： 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标 或一个交点的坐标及对称轴或者顶点的横坐标时选用交点式比较简便时，选用交点式比较简便。 设交点式求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数解析式的一般方法？ 已知条件 所选形式 已知普通的三点坐标 用一般式：y=ax2+bx+c 已知顶点坐标或对称 轴或最值 用顶点式：y=a(x-h)2+k 已知与x轴的交点坐标 用交点式：y=a（x-x1)（x-x2) 课堂小结 加油孩子们！ “生活不可能像你想象得那么好,但也不会像你想象得那么糟。我觉得人的脆弱和坚强都超乎自己的想象。有时,我可能脆弱得一句话就泪流满面;有时,也发现自己咬着牙走了很长的路。——莫泊桑《一生》 二次函数是很难，但认真且刻苦的学习之后，你会发现，它将是你超越其他人的绝好时机。请记住下面这句话： 人生感悟 $