26.2 第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

,4a+k=-3, k,得 a+k=0, 县a=一1：抛物线对应的函数解 解得 {k=1, 析式为y=一（x一2)2+1=一x2十4x一3.(2)由抛物线 的顶点式，得C(2,1).设直线AC对应的函数解析式为 y=bx一3，则2b一3=1，解得b=2,∴.直线AC对应的函 数解析式为y=2x一3.当y=0时，2x一3=0，解得x= 号△ABC的面积为号×(3-2)×(1+3)=3 (3)由题意，设点P(x,-x2+4x-3)(0x<3),则 D(x,x-3),.PD=-x2+4x-3-(x-3)=-x2+ 3x=-(x-)'+号当x=号时，PD的长有最大 值，为，此时点P的坐标为（侵，是） 第4课时二次函数y=ar2+bx+c的图象和性质 1.B:原抛物线y=2x2+4x+3=2(x十1)2+1，∴.其 顶点坐标为（一1,1）..经过平移后的新抛物线的顶点坐 标为(2,3) 2.A:'y=3x2+bz+1,.当x=0时，y=1..抛物线 过点(0,1).抛物线的开口向上，对称轴为直线x= 2X3-6 b 抛物线上的点离对称轴越远，对应函数 值大84-号<-合<-：出 ->-名，二=-1<-合点A(-2)到对 -2 62 称轴的距离大于点(0,1)到对称轴的距离，小于点B(1,y2) 到对称轴的距离..1<y1<y2. 3.(1)(2,-10)(2)9 (1)抛物线y=2x2十4mx+m的对称轴为直线x=2, 4n. ·x=一2x2-2,解得m=-2.·y=2x2+4x+m= 2x2一8x一2=2(x一2)2-10..抛物线的顶点坐标为(2， 一10).(2)：二次函数y=ax2+6x十a的函数值最小 是8，a>0,y=136=8.整理，得a2-8a-9=0, Aa ∴.a=9或a=-1.:a>0,∴.a=9. 4.(1)把(2,1)代人y=-x2+ax+1,得1=-4+2a十1， 解得a=2..y=一x2+2x+1=-(x-1)2+2..图象 的顶点坐标为(1,2).(2)①把x=3代人y=一x2十 2x+1,得y=-9十6十1=-2.∴.n=-2.②m为点 Q的横坐标，点Q到y轴的距离小于2，∴.|m<2.抛 物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2)，.y的最 大值为2.2-1<1-（一2），当x=一2时，y=一4-4十 1=一7，.-7<n2. 5.A①当k>0时，函数y=x十k的图象经过第一、 二、三象限，函数y=一kx2十4红十4的图象开口向下，∴.B 不正确，不符合题意.②当k<0时，函数y=kx十k的图 象经过第二、三、四象限，函数y=一kx2十4x十4的图象开 口向上，∴.C不正确，不符合题意.函数y=一kx2十 女十4的对称箱为直线=一=是<0，A正碗，符 合题意，D不正确，不符合题意 6.A:二次函数y=mx2-4mx-3,∴.该函数图象的 对称轴为直线x=2m,与y轴的交点为(0，一3).P(xp, yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤一3，分两 种情况：①当m>0时，对称轴x=2m>0,此时，当x=4 时，y≤-3，即m·4-4m2·4-3≤-3，∴.m≥1.②当 m<0时，对称轴x=2m<0,当0≤x≤4时，y随x的增大 而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤-3恒成立.综上所述，m 的取值范围是m≥1或m<0. 7子如图，连接0C,OD,分别过点D和C作x轴的垂 线，垂足分别为M和N.:'四边形ABCD是正方形，原点 O是正方形的对角线交点，∴.OC=OD,∠COD=90°. ∴.∠CON+∠DOM=∠CON+∠OCN=90. ∴.∠DOM=∠OCN.在△DOM和△OCN中， ∠DOM=∠OCN, ∠DMO=∠ONC=90°，∴.△DOM≌△OCN.又点D OD=CO. 的坐标为(1,3)，∴.OM=CN=1,DM=ON=3.∴.点C 的坐标为3，-1D.将C3,-1D代人y=-号2+ba,得 弓×3+动=-1解得6=号 (第7题) 8.(1)当m=2时，二次函数y=a.x2+ba十3的图象过点 (一2,0)和(6,0)，把（一2,0）和(6,0)代人解析式，得 4a-2b+3=0, 1 解得 a=一4' (2):二次函数y= 36a+6b+3=0, b=1. a.x2+bx十3的图象过点（一m,0)和(3m,0),∴.抛物线的 对称轴为直线x=m.二次函数y=ax2十bx十3的图象 过点A(一n,3),(0,3),且点A不在坐标轴上，∴由图象 的对称性，得-1=2，且n≠0.m=-之.：-2< m<1-2<-号<.-2<n<n的取值范围 是-2<n<4且n≠0.(3)：抛物线过点（一m,0), (3,0).抛物线的对称轴为直线x=一m,十3m=m 2 b ·一2a=m.6=-2am.b+4a=（-2am)2+4a= 4a(am2+1).:点（一m,0)和(3m,0)在二次函数y= am2一bm+3=0①， ax2十bx十3的图象上，∴. ①×3H {9am2+3bn+3=0②， ②，得12am2+12=0.∴.am2+1=0.∴.b2+4a=4a×0=0. 9.1<1<号将二次函数y=x2-2x十3配方可得y= (x一1)2+2(x<2),∴.图象开口向上，对称轴为直线x= 1,顶点为(1,2).∴当x=1时，函数有最小值为2，x1十 =2.-次函数y=-子x+号≥2.当x=2 时，有最大值3，当y=2时，x-号由条件可知点A( y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)在直线y=m 上y=y2=y=m,2m<3.2xg<3,∴t T3y3 x1y1十x2y2xm十x2mx,+x2 -“1< 10.(1)对y=一2x+2,当x=0时y=2:当y=0时， x=4,.B(4,0),C(0,2).(2)存在.设二次函数为y= a(x一m)(x一n)(a≠0).：二次函数图象经过点B(4, 0),A(-1,0),∴.y=a(x-4)(x十1).把C(0,2)代入y= a(x一4)(x+1),得a×(0-4)×(0十1)=2，解得a= y=-40+=2+号+2： 次函数图象经过点B(4,0),A(一1,0)，∴.对称轴为直线 x=D(g.C(0,2),cD= √（侵-0）+0-2)=号.①如图0，当Dc=DN时， DN=号N(受，)N(层，-）②如图®，当 CD=CN3时，过点C作CH⊥DN3于点H.,'CD= CN3,CH⊥DN3,∴.DH=N3H.:C(0,2),∴.DH=2. N,H=2.N,D=4“N,(受4小.图如图③，当 N,C=DN,时，过点C作CE⊥DN,于点E.设DN,=t, 则EN,=2-1,CE=是在R△CEN,中，由勾股定理可 知，(2-)+()=，解得=器·N,(侵，) 综上所述，存在点N,(,)或N,(,-)或 N,(停，4)或N,(受，)，使△CD是等腰三角形. ② ③ (第10题) 专题特训三确定二次函数的解析式 1.C由图可知二次函数图象与y轴交于正半轴，∴.c> O.故B选项、D选项不符合题意.'二次函数图象的对称 抽为直线=会必2一>06<0故A选 b 项不符合题意，C选项符合题意 2y=号-x+子：抛物线y=ar2+b征十c过点 [a+b+c=1, A(1,1),B(3,3),C(5,9), 9a+3b+c=3, 25a+5b+c=9, a2 解得b=一1，∴.这个抛物线对应的函数解析式为y= 合x-x+2 3.(1)把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分别代入y=ax2+ c=6 a=1, bx十c,得9a+3b+c=3,解得b=-4,∴.二次函数的 16a+4b+c=6, (c=6.拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第4课时二次函数y=ax2+b.x+c的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材变式题将抛物线y=2x2十4x十3向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度后，得到的 新抛物线的顶点坐标为 () A.(-4,3) B.(2,3) C.(2,-1) D.(-4,-1) 2.[2025福建中考]已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx十1上，若3<b<4,则下列 判断中，正确的是 ( ) A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 3.(1)抛物线y=2x2+4mx+m的对称轴为直线x=2,则抛物线的顶点坐标为 (2)二次函数y=ax2+6x十a的函数值最小是8，则a的值为 4.如图，二次函数y=一x2十ax十1的图象经过点P(2,1). (1)求a的值和图象的顶点坐标， (2)点Q(m,n)在该二次函数的图象上. ①当m=3时，求n的值 ②若点Q到y轴的距离小于2，求n的取值范围. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.数形结合思想函数y=k.x十k和函数y=一kx2+4x十4(k是常数，且k≠0)在同一平面直角坐标 系中的图象可能是 () A. B. D. 6.已知二次函数y=mx2-4m2x一3(m为常数，m≠0)，P(xp,yp)是该函数图象上一点，当0≤ xp≤4时，yp≤一3，则m的取值范围是 () A.m≥1或m<0B.m≥1 C.m≤-1或m>0D.m≤-1 28 第二十六章二次函数 7.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D的坐标是(1,3)，原点O 是正方形的对角线交点，且点C在抛物线y=一 +br0为常数)上，则6 的值为 8.已知点(-m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2十bx十3(a,b是常数，a≠0)的 图象上 (第7题) (1)当m=2时，求a和b的值 (2)若二次函数的图象经过点A(一n,3)且点A不在坐标轴上，当一2<m<1时，求n的取值 范围 (3)求证：b2+4a=0. ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维山 x2-2x+3(x<2), 9.如图，函数y=了_3 9 的图象由抛物线的一部分和一条射线 -4x+2(x≥2) y=m 组成，且与直线y=m(m为常数)相交于三个不同的点A(x1y),B(x2,O 3y3 (第9题) y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3),设t= -,则t的取值范围是 x1y1Fx2y 10.团论园如图，直线y=一？+2与x轴交于点B,与y轴交于点C.已知二次函数的图象 经过点B,C和点A(一1,0). (1)求B,C两点的坐标. (2)若抛物线的对称轴与x轴交于点D,则在抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△VCD 为等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由. 4/0 D B (第10题)》 “答案与解析”见P16 29