26.4 第1课时 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.4 第1课时 实际问题与二次函数（几何最值问题）人教版 > > 核心：利用二次函数求**最大值、最小值** ## 一、核心原理 二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 1. $\boldsymbol{(\boldsymbol{(a>0)})}$：开口向上，顶点处有**最小值** 2. $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$：开口向下，顶点处有**最大值**> > ⚠重点：**实际问题中自变量x有取值范围！** > 顶点不一定能取到；如果顶点横坐标不在取值范围，要在端点找最值。 ## 二、经典模型：矩形面积最值 固定周长的矩形，求面积最大值。 例：用总长60m篱笆围成矩形场地，矩形一边长为$x$m，面积$y\mathrm{m^2}$ - 另一边：$(30-x)\mathrm{m}$ - 面积关系式： $$y=x(30-x)=-x^2+30x$$ $a=-1<0$，开口向下，顶点有最大值 对称轴 $((x=)15)$，$((x=)15)$在$(0<x<30)$范围内 当$((x=)15)$，$y_{max}=225$ ✅结论：周长一定，正方形面积最大。 ## 三、解题通用步骤 1. 设自变量$x$，写出函数$y$关于$x$的解析式； 2. **求自变量$x$的取值范围（实际意义：长度>0）**； 3. 判断$a$正负，找顶点； 4. 判断顶点横坐标是否在取值区间： ✔在区间内：最值就是顶点纵坐标 ✖不在区间内：看增减性，在区间端点取最值 5. 写出答案，作答。 ## 四、基础过关 1. $y=-2x^2+8x+1$，$a$___0，有最___值；当$(x=)$***时，最值=***。 2. 用40m篱笆围矩形，设长$x$，面积$y$，函数式：____________。 答案 1.$<$；大；$2$；$9$ 2.$y=x(20-x)=-x^2+20x$ ## 五、易错题 √/× 1. $y=-x^2+4x$，直接说最大值4，不用考虑x范围（×，实际应用题必须看x取值） 2. $(\boldsymbol{(a>0)})$，二次函数一定有最小值（√，但要看x能不能取到顶点） 3. 周长固定矩形，长宽相等时面积最大（√） # 练习题 ## 一、填空题 1. 用总长80m篱笆围一个矩形场地，一边长$x$，面积$y$，解析式____________，$(x=)$****时面积最大，最大面积****。 ## 二、解答题 2. 用长为40m的篱笆围成矩形菜园，求矩形面积的最大值。 3. 如图，用一段长30m的篱笆靠墙围成矩形，墙足够长，垂直墙的一边为$x$m，面积$y\mathrm{m^2}$ (1)写出$y$与$x$函数关系式，并写自变量取值范围； (2)当$x$取何值，面积最大？最大面积多少？ 参考答案 1.$y=-x^2+40x$；20；400 2.解：设一边$x$，另一边$20-x$ $y=x(20-x)=-x^2+20x$，$a=-1<0$ 对称轴$\(x=\)10$，$03.解： (1)垂直墙边长$x$，平行墙边长$30-2x$ $y=x(30-2x)=-2x^2+30x$ $\begin{cases}x>0\30-2x>0\end{cases}$，$\boldsymbol{(\boldsymbol{0<x<15})}$ (2)$a=-2<0$，对称轴$(x=)7.5$，在取值范围 $(x=)7.5$，$y_{max}=112.5$ 答：$(x=)7.5\mathrm{m}$，最大面积$112.5\mathrm{m^2}$ ## 补充 下一课是**26.4第2课时 销售利润最值问题**，是考试大题高频考点，要不要继续？ 也可以给你一份无答案版本单独刷题。 人教版（新教材）数学九年级上册 26.4(第1课时)实际问题与二次函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，掌握利用二次函数顶点公式求实际问题中最值的方法. 能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值； 经历 “实际问题→建立二次函数模型→求解最值→解释实际意义” 的全过程，培养数学建模能力和分析解决问题的能力。 学习目标 回顾 1.二次函数 () 开口方向由什么决定？ 2.二次函数的顶点坐标是什么？ 3.当和时，函数分别在什么位置取得最大值或最小值？ 开口方向 时，开口向上 时，开口向下 顶点坐标 顶点横坐标： 顶点纵坐标： 最值 当时，函数有最小值； 当时，函数有最大值。 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：由题意该抛物线的顶点坐标为 和点 ， 设其顶点式为 ，把点A代入后得， ，解得 ， 该抛物线的函数表达式为 ； 春节期间小明买了一款合格的烟花“窜天猴”，为了安全燃放，他把烟花放置在一根 固定在地面且与地面垂直（垂足为O）的竹竿上点燃，燃放点A处的高度为 ，烟 花“窜天猴”点燃后的飞行轨迹为抛物线的一部分，到达最高点时，水平距离为 ，竖直高度为 ．以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求“窜天猴”点燃后的飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若“窜天猴”的落地点为C，求OC的长． (2)解：令 得 ， 化简得 ，即 ， 或 ， 解得 或 ， ∵点C的横坐标为正数， 点C的坐标为 ， ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了15m时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为(15,0)，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为(20,3)，求小强下滑前的竖直高度（OA即的长）． 解：设抛物线的解析式为： ，把 (20,3)代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为： ， 把 代入得： ,∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 水平距离x（单位：m） 20 30 40 50 60 竖直高度y（单位：m） 48 50 48 42 32 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的x与y的几组数据． (1)建立适当的平面直角坐标系， 根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为 ， 设二次函数的解析式为 ，将点 代入，解得 ， ∴二次函数的解析式为 ， 将 代入，得 ， 解得 或 （负值，舍去）， ∴运动员水平位置为80m时，运动员才能落地. (2)运动员水平位置为多少时，运动员才能落地？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙长12m），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积为60m2？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)(4≤x<10)，当S＝60时， 即 −2x2+20x＝60， 整理得，x2−10x+30=0， 判别式Δ =b2−4ac=(−10)2−4×1×30=−20<0 , 因此，该方程无实数根，即这个矩形菜园的面积不能为60m2. 一元二次方程无实数解， 即该实际问题无解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积为48m2？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)(0<x<10)，当S＝48时， 即 −2x2+20x＝48， 整理得，x2−10x+24=0，解得x1=4，x2=6， 因此，当垂直于墙的边长为4 m或6 m时，这个矩形菜园的面积为48m2. 在实际问题中，自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长为正数，即x>0,且20−2x>0,于是，自变量的取值范围是0<x<10. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙长12m），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积为42m2？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)(4≤x<10)，当S＝42时， 即 −2x2+20x＝42， 整理得，x2−10x+21=0，解得x1=3(舍)，x2=7， 因此，当垂直于墙的边长为7 m时，这个矩形菜园的面积为42m2. 此时，自变量的取值应满足： x>0, 且0<20−2x≤12, 解得4≤ x<10. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(20−2x)， 即 S＝−2x2+20x(0<x<10)， 当时，S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2. 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.设：自变量（一般设某条边为x，）与因变量（设“面积”为y）； 2.列：出y与x的函数关系式（一般为二次函数）； 3.找：出自变量的取值范围； 4.求：利用配方法或顶点公式，求出最值；若自变量的取值范围不包括顶点横坐标，则须利用增减性求出最值； 5.检：查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内； 6.作答：. 1. 返回 [甘肃中考]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　) A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m B 举一反三 15 返回 2. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h＝－t2＋12t＋1.则“水火箭”升空的最大高度为________． 37 m 举一反三 返回 3. 如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系 　 (1)铅球推出的水平距离OA的长是多少？ 解得x＝10或x＝－2(舍去)， ∴铅球推出的水平距离OA的长是10 m. 举一反三 返回 (2)铅球推出的过程中最大高度是多少？ 解：∵y＝ ∴顶点的坐标为(4，3)． ∵ <0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是3 m. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用27m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(27−3x) m,则矩形菜园的面积S＝x(27−3x)， 即 S＝−3x2+27x(0<x<9)， 当时，S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为4.5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为60.75m2. 注意菜园中间还有篱笆，在计算时应该考虑进去，即平行于墙的边长为(27−3x) m. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(22−2x) m,则矩形菜园的面积S＝x(22−2x)， 即 S＝−2x2+22x(0<x<11)， 当时，S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5.5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为60.5m2. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园开一个宽为2米的门，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 菜园 墙 门 菜园开一个宽为2米的门，则平行于墙的边长为(22−2x) m.此时，自变量的取值应满足：x>0,且22−2x>0, 解得0 <x<11. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设平行于墙的边长为x m， 则垂直于墙的边长为 m, 则矩形菜园的面积S＝x x2+22x(0<x≤40)， 当S＝315时，x2+22x ＝315，解得x1=45(舍)，x2=21， 因此，当平行于墙的边长为21 m时，菜园的面积为315 m2. 如图，利用一面墙（墙的长度为40m），用60m长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园两侧各开一个宽为3米的门，如何围才能使菜园的面积为315 m2？ 菜园 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：由题意 ， ， .， ， 由 ， ，解得 ， ∴x的取值范围为 . ∴S关于x的函数表达式为 （ ）； 如图，某农户准备用长24米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB=x米．设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米． (1)求S关于x的函数表达式； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)山羊的活动范围的面积S能否达到35平方米？ (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． (3)解：二次函数 中， ， 将 ， 代入 得 ，此时 ， ∴S的最大值为59.5平方米． (2)解：令 ，代入得 ， 整理得： ，解得 或 ，均满足 ， ∴面积能达到35平方米； 返回 4. [教材P51例2变式]泰安中考]改编如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是(　　) A．420 m2 B．450 m2 C．480 m2 D．500 m2 B 举一反三 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B出发沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)BP＝________cm，BQ＝________cm. (用含t的代数式表示) 返回 5. (12－2t) 4t 举一反三 返回 (2)t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 解：由(1)得BP＝(12－2t)cm，BQ＝4t cm， ∴S＝ ×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36. ∵－4<0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 cm2. 举一反三 用总长为a米的材料做成如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②所示，则a的值是(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 返回 6. B 举一反三 返回 7. 如图，将小球沿着与地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间t/s 0 0.5 2 飞行高度h/m 0 8.25 24 举一反三 返回 (1)求小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式(不写自变量取值范围)； 解：由题意可设h关于t的二次函数关系式为h＝at2＋bt， 将(0.5，8.25)，(2，24)代入得 ∴h关于t的二次函数关系式为h＝－3t2＋18t. 举一反三 返回 (2)若小球飞行时间不超过4 s，则小球飞行高度能否达到15 m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由； 解：能．当h＝15时，－3t2＋18t＝15， 解得t1＝1，t2＝5(舍去)． ∴若小球飞行时间不超过4 s，小球飞行高度能达到15 m， 此时t＝1. 举一反三 返回 (3)当t的值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 解：h＝－3t2＋18t＝－3(t－3)2＋27. ∵－3<0， ∴当t的值为3时，小球飞行的高度最大，最大高度是27 m. 举一反三 返回 8. 【情境题 方案策略型】某校准备在校园里利用围墙(墙可用最大长度为25.2 m)和48 m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形农场．某数学兴趣小组设计了三种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙)，请根据设计的方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度(AE)为2 m的矩形水池，且需保证总种植面积为185.52 m2，试确定CG的长； 举一反三 解：由题意得BC＝(48－25.2)÷3＝7.6(m)， ∴Ⅰ，Ⅱ两块矩形的面积为7.6×25.2＝191.52(m2)． 设水池的长为a m，则水池的面积为2×a＝2a(m2)， ∴191.52－2a＝185.52，解得a＝3， ∴DG＝3 m，∴CG＝CD－DG＝25.2－3＝22.2(m)． 返回 举一反三 返回 (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：设BC＝x m，总种植面积为S1 m2，则CD＝(48－3x)m， ∴S1＝x(48－3x)＝－3(x2－16x)＝－3(x－8)2＋192. ∵－3<0，且易知7.6≤x<16， ∴当x＝8时，S1有最大值，最大值为192， 即BC应设计为8 m，总种植面积最大，最大面积为192 m2. 举一反三 返回 (3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留1 m宽的门，且使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：设BC＝y m，总种植面积为S2 m2， 则CD＝48＋3－3y＝51－3y(m)， ∴S2＝y(51－3y)＝－3(y2－17y)＝ ∵－3<0，且易知 举一反三 返回 ∴易得当y＝8.6时，S2有最大值，最大值为216.72， 即BC应设计为8.6 m，总种植面积最大，最大面积为216.72 m2. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实际问题 实际问题 与 二次函数 实际问题 模型 数学模型 转化 回归 几何面积 自由落体 关键 注意 建立函数关系 最值有时不在顶点处 谢谢观看 THANKS 解：将y＝0代入y＝－x2＋x＋， 得0＝－x2＋x＋，整理得(x－10)(x＋2)＝0， y＝－x2＋x＋. －x2＋x＋＝－(x－4)2＋3， － 解得 －3＋216.75， 8.6≤y≤， $