26.4 实际问题与二次函数 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 第1课时 最大高度与最大面积问题 人教版九年级上册 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 情境导入 问题：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2−4x−5; (配方法) (2)y=−x2−3x+4.(公式法) 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，−9）；最小值：−9. （2）开口方向：向下；对称轴：x= ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 回顾导入 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t−5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球达到最大高度？小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 问题1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 先判断是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 问题3 当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？ 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2（0≤t≤6） 试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题： ∵0≤3≤6， 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 例1 求下列函数的最大值与最小值： x 0 y 解： −3 1 （1） 当 时，y最小值= 当 时， 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 解： O x y 1 −3 （2） 即x在对称轴的右侧. 当 时， 函数的值随着x的增大而减小. 当 时， 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 方法指导：当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 探究点1：用配方法或公式法求二次函数的最(小)值 新知探究 例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示其邻边的长？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 矩形面积=长×宽 邻边长为(30−l)米 S=(30−l)l=−l2+30l 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 11 解：根据题意得 S=l(30−l)， 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时，S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O 问题4 当l是多少米时，场地的面积S最大？ 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 【变式】 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. 60-2x x x (1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？ 分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m. 矩形菜园的面积S=_________________________. 想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60−2x≤32，即14≤x＜30. (60−2x) x(60−2x)＝−2x2＋60x 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 ∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2. 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60−2x)m. ∴矩形菜园的面积S＝x(60−2x)＝−2x2＋60x. ∵S＝−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450， 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 由题意得0＜60−2x≤32，即14≤ x＜30. 根据题意，求出自变量的取值范围 写出二次函数解析式，化为顶点式 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 (2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜 园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m， 由（1）知 S＝−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450. 问题1 与(1)有什么区别？ 试一试 在(2)中，求自变量的取值范围. 21≤ x ＜30. 是否依然在x=15时，S取得最大值？ 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？ 当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小， 当 x =21时，S取得最大值， 此时S=−2×(21−15)2+450=378m2. 方法指导：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值. 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x＞0， 故0＜x＜2. 矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是： 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 即 配方得 所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5. x=1满足0＜x＜2，这时 因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2. 探究点2：二次函数与图形面积问题 新知探究 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 探究点2：二次函数与图形面积问题 【归纳总结】 新知探究 19 1. 新情境 生活实际 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4m，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数解析式y＝ax2＋ x，则水流喷出的最大高度 为（　A　） A A. m B. 5m C. m D. 6m （第1题） 随堂练习 2. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系： h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间为 　2　s. 2　 3. 已知一个直角三角形的两直角边长之和为20cm，则该直角三角形的最大面积为（　B　） A. 25cm2 B. 50cm2 C. 100cm2 D. 200cm2 B 4. 某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）.计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积最大为 　144　m2. 144　 5. 教材变式题 有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8cm，用这块材料剪出一个▱EFDB，其中，点D，E，F分别 在BC，AB，AC上，则剪出的▱EFDB的最大面积是　4　cm2. 4 　 6. 如图，用一根60cm长的铁丝制作一个“日”字形矩形框架ABCD，铁丝恰好全部用完. （1） 若所围成的矩形框架ABCD的面积为144cm2，则AB的长为多少？ 解：设AD的长为xcm，则AB的长为 cm. （1） 由题意，得x· ＝144，解得x＝12或x＝18. ∴ ＝12或 ＝8.∴ AB的长为12cm或8cm （第6题） （2） 求矩形框架ABCD的最大面积. 解：（2） 设矩形框架ABCD的面积为Scm2，则S＝x· ＝－ （x－15）2＋150.∵ － ＜0，∴ 当x＝15时，S取得最大值，为150.∴ 矩形框架ABCD的最大面积为150cm2 （第6题） 7. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝－ x2＋ x＋ .有下列结论： ① 这名男生铅球推出的水平距离为10m； ② 铅球到达的最大高度为2.5m； ③ 当铅球的高度为1.5m时，推出的水平距离为2m或6m. 其中，正确的个数是（　B　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）.在运动过程中，四边形PABQ的最小面积为 　15cm2　. （第8题） 15cm2　 9. 教材变式题 一题多解 某抛物线形拱桥的截面图如图所示，水面的宽AB为8米.AB上的点E到点A的距离AE＝1米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF＝ 米.以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.求： （第9题） 解：（1）解法一：设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.由题意，得A（0，0），B（8，0），F ，代入，得 解得 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ x2＋2x （第9题） （1） 该抛物线所对应的函数解析式； 解法二：∵ 抛物线过点A（0，0）和B（8，0），∴ 对称轴为直线x＝4.设顶点坐标为（4，k），则抛物线对应的函数解析式可设为y＝a（x－4）2＋k，将A（0，0）和F 代入，得 解得 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x－4）2＋4 （2） 拱桥顶面离水面AB的最大高度. 解：（2） 解法一：将y＝－ x2＋2x化为顶点式为y＝－ （x－4）2＋4，∴ 最大高度为4米 解法二：由y＝－ （x－4）2＋4，可知最大高度为4米 （第9题） 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1） 经过几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？ 解：（1） 设运动时间为ts，则PB＝（6－t）cm，BQ＝2tcm，则S△PBQ＝ PB·BQ，即 （6－t）×2t＝8，解得t＝2或t＝4.∴ 经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2 （第10题） （2） 经过几秒时，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？ 解：（2） 设运动时间为ts，则PB＝（6－t）cm，BQ＝2tcm，则S△PBQ＝ PB·BQ＝－t2＋6t.当t＝－ ＝3时，S△PBQ有最大值，最大值为－32＋6×3＝9，则五边形APQCD的面积的最小值为6×12－9＝63（cm2）.∴ 经过3s时，五边形APQCD的面积最小，最小是63cm2 （第10题） 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 $