26.4 第2课时 利润最值问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.4 第2课时 实际问题与二次函数——销售利润最值（人教版） ## ✅核心公式（一定要背） 1. **单件利润 = 售价 − 进价** 2. **总利润 = 单件利润 × 销售量** > > 涨价/降价题型通用思路： > 涨价：每涨1元，销量减少；降价：每降1元，销量增加。 > 设涨价（或降价）$\boldsymbol{(\boldsymbol{x})}$元，分别表示出新单价、新单件利润、新销售量，再写总利润$y$的函数。 ## ✅解题步骤 1. 设变量：设涨价（降价）$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元 2. 表示：新售价、单件利润、销售量 3. 列函数：$\boldsymbol{(\boldsymbol{(y=)})}$单件利润 × 销售量 4. 确定自变量取值范围（价格、销量不能负数！） 5. 根据$a$正负判断最值： - $(a<0)$，开口向下，顶点处取得最大值；**一定要检验顶点(\boldsymbol{x})是否在取值范围** 6. 写答案 ## 📖经典例题 某商品进价40元，售价每件60元，每周可卖300件。市场调查：每涨价1元，每周少卖10件。 (1)涨价$(\boldsymbol{x})$元，写出总利润$y$与$(\boldsymbol{x})$关系式； (2)定价多少时，利润最大？最大利润多少？ 解： 单件利润：$(60+(\boldsymbol{x})-40)$元 销售量：$(300-10(\boldsymbol{x}))$件 $$ \begin{align*} y&=(20+(\boldsymbol{x}))(300-10(\boldsymbol{x}))\ &=-10(\boldsymbol{x})^2+100(\boldsymbol{x})+6000 \end{align*} $$ $a=-10<0$，开口向下，有最大值。 对称轴：$(\boldsymbol{x})=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{100}{2\times(-10)}=5$ 自变量范围： $\begin{cases}(\boldsymbol{x})\ge0\300-10(\boldsymbol{x})\ge0\end{cases}\Rightarrow 0\le (\boldsymbol{x})\le30$ $(\boldsymbol{x})=5$在范围内。 $(\boldsymbol{x})=5$，$y_{ma(\boldsymbol{x})}=-10\times 25+100\times5+6000=6250$ 售价：$(60+5=65)$元 答：定价65元，最大利润6250元。 ## ⚠高频易错点 1. 不要忘记：**涨价，销量减少；降价，销量增加** 2. 自变量$(\boldsymbol{x})$的范围：销量不能小于0；价格要大于进价 3. 顶点横坐标如果不在取值区间，**不能用顶点求最值**，要看区间端点 4. 分清：问**涨价多少**，还是问**定价多少**（审题大坑） ## 📝基础过关 某商品进价30元，售价50元，一天卖40件。每涨价1元，少卖2件，设涨价$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元。 单件利润=********；销售量=********； $(\boldsymbol{(y=)})$________________。 答案 $20+\(\boldsymbol{x}\)$；$40-2\(\boldsymbol{x}\)$；$\(\boldsymbol{\(y=\)}\)(20+\(\boldsymbol{x}\))(40-2\(\boldsymbol{x}\))=-2\(\boldsymbol{x}\)^2+0\(\boldsymbol{x}\)+800$ # 📚练习题 ## 一、填空题 1. 进价20元，售价35元，每天卖80件。每降价1元，多卖10件，降价$(\boldsymbol{x})$元，则单件利润=********，销售量=********。 ## 二、解答题 2. 某商品进价每件50元，售价每件80元，每月卖出200件；每涨价1元，少卖5件。设涨价$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元。 (1)写出$y$与$(\boldsymbol{x})$的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，总利润最大？最大利润是多少？ 3. 某文具进价每件10元，售价16元，一天卖60件。调查：每降价1元，多卖15件。设降价$(\boldsymbol{x})$元，总利润$y$元。 (1)求$y$关于$(\boldsymbol{x})$的解析式； (2)降价多少元，利润最大，最大利润多少？ 参考答案 1.$15-\(\boldsymbol{x}\)$；$80+10\(\boldsymbol{x}\)$ 2.解： 单件利润：$80+(\boldsymbol{x})-50=30+(\boldsymbol{x})$，销量：$200-5(\boldsymbol{x})$ (1)$(\boldsymbol{(y=)})(30+(\boldsymbol{x}))(200-5(\boldsymbol{x}))=-5(\boldsymbol{x})^2+50(\boldsymbol{x})+6000$ $a=-5<0$，对称轴$(\boldsymbol{x})=5$，范围：$0\le (\boldsymbol{x})\le40$ (2)$(\boldsymbol{x})=5$在范围内，$y_{ma(\boldsymbol{x})}=6125$ 售价$(=80+5=85)$元 答：售价85元，最大利润6125元。 3.解： 单件利润：$16-(\boldsymbol{x})-10=6-(\boldsymbol{x})$；销量：$60+15(\boldsymbol{x})$ (1)$(\boldsymbol{(y=)})(6-(\boldsymbol{x}))(60+15(\boldsymbol{x}))=-15(\boldsymbol{x})^2+30(\boldsymbol{x})+360$ $a=-15<0$，对称轴$(\boldsymbol{x})=1$，范围$0\le (\boldsymbol{x})\le6$ (2)$(\boldsymbol{x})=1$时，$y_{ma(\boldsymbol{x})}=375$ 答：降价1元，最大利润375元。 要不要我把**26章二次函数整章**整理一份精简背诵提纲，或者出一套本章综合检测卷？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.4 第2课时 利润最值问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型. 能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润； 经历 “分析利润关系→建立二次函数模型→分类讨论求解→得出最优方案” 的过程，进一步提升数学建模能力。 学习目标 回顾 上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？ 1. 建立二次函数模型 2. 确定自变量取值范围 3. 求解函数最值： (1)若顶点横坐标在自变量取值范围内，利用求出； (2)若横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性求出. 4. 解释实际意义 今天我们继续学习二次函数在商业中的应用 —— 最大利润问题. 情境导入 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出(300–10x)件， 销售额为(60+x)(300 –10x)元.买进商品需付40(300 –10x)元. 因此，所得利润y=(60+x)(300 –10x) –40(300 –10x) 即y= –10x²+100x+6000. 其中，0≤x≤30，x为整数. 根据上面的函数，填空： 当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元， 即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 5 5 65 6250 函数的对称轴： x = – = – 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解. 设每件涨价m元时，则每星期售出商品的利润w=(60–40–m)(300 +20m) 即w= –20m²+100m+6000. 其中，0≤m≤20，m为整数. ∵函数的对称轴:m = – = – , ∴当m=2.5时，w最大值=6125，也就是说，在降价的情况下，最大利润是6125元. ∵6125<6250,∴定价65元时，利润最大，最大利润是6250元. 利润问题中的常见公式 利润 收入 = 成本 − 总收入 销售单价 销量 = × 总成本 进货单价 × 销量 = 总利润 销售单价 销量 = × − 进货单价 × 销量 单件利润 销量 × = 销售单价 进货单价 − ( ) 销量 × = 利用二次函数解决实际问题的步骤 审 找出问题中的变量和常量，并分析它们之间的关系 1 设 设适当的未知数 2 列 建立二次函数模型，写出函数解析式以及自变量的取值范围 3 解 根据题目条件，借助函数解析式、图象和性质求解 4 验 检验结果的合理性，必要时进行合理取舍 5 答 确定实际问题的答案 6 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间的函数关系式； (1)解：由题意得： ， 即： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ (2)解： ， ，开口向下，∴当 时，W随x的增大而增大， ， ∴当 时，W最大， 此时 (元)， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 1. 返回 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则最大利润为(　　) A．15元 B．400元 C．800元 D．1 250元 D 举一反三 10 返回 2. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　) A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 B 举一反三 返回 3. [石家庄期末]嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%. (1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； 举一反三 解：根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400) ＝－10x2＋400x＋300x－12 000 ＝－10x2＋700x－12 000. ∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于 成本价的50%， 即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45. 返回 举一反三 返回 (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 解：在w＝－10x2＋700x－12 000中， a＝－10，b＝700，c＝－12 000， ∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值， 即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ， 由题意 ，解得 ．∴y与x的函数关系式为 ． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵ ，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当 时，W最大，W最大=900(元)． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (1)解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得： ， 解得 ， (不符合题意，舍去)． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件， 则 ， ∴当 时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大， 最大利润为3310元． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件．若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买2件A款冰箱贴和3件B款冰箱贴共花费116元，小巴买1件A款冰箱贴和4件B款冰箱贴共花费113元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (1)解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为x元，y元， 根据题意得： ，解得 ． 答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是25元、22元． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：销售单价下降a元，∴销售量为 件， 根据题意得： ， ， ，∴开口向下，∴当 时，W有最大值为4050， 答：当B款冰箱贴销售单价定为22–3=19元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是4050元． (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按(1)中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴300件．销售单价每下降1元，每天可多售出50件．已知B款冰箱贴成本为10元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润W(元)与销售单价下降a(元)(a>0)之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为 件，线下销售的每件利润为y1(元)，线上销售的每件利润为y2(元).如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系． (1)分别求出当 和 时，y1与x之间的函数表达式； (1)解：当 时，设y1与x之间的函数表达式是 ， 点(10，160),(70，130)在线段上，代入可得 ，解得 ， ∴当 时，y1与x之间的函数表达式是 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为 件，线下销售的每件利润为y1(元)，线上销售的每件利润为y2(元).如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系． (1)分别求出当 和 时，y1与x之间的函数表达式； (1)解：当 时，设y1与x之间的函数表达式是 ， 点(90，110),(70，130)在线段上，代入可得 ，解得 ， ∴当 时，y1与x之间的函数表达式是 ； 综上所述， ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：设总的利润为w元， 当 时， ， 当 时，w取得最大值，此时 ； 当 时， ， 当 时，w取得最大值，此时 ； ， ∴当线下的销售量为65件时总利润最大，最大利润是 元． (2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 返回 4. 某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 举一反三 [烟台中考]改编每年5月的第三个星期日为全国助残日，为践行“科技助残，共享美好生活”理念，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； 5. 返回 举一反三 (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，解得x≤20. ∵y＝ x2＋20x＋12 000＝ (x－25)2＋12 250， ∴当x＝20时，y取得最大值，为 ×(20－25)2＋12 250＝12 240. 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大， 最大利润为12 240元． 返回 举一反三 某商店购进一批单价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，则可列关系式为y＝(30＋x－20)(400－20x)．对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是(　　) A．(30＋x－20)表示涨价后每件商品的单价 B．20x表示涨价后每天少售出商品的数量 C．(400－20x)表示涨价后每天售出商品的数量 D．(30＋x)表示涨价后每件商品的单价 返回 6. A 举一反三 返回 7. [内江中考]改编我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元． (1)A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为______元和________元； 40 20 举一反三 返回 (2)根据网上的预约情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念 品(400－m)个， 由题意，得40(400－m)＋20m≤12 000，解得m≥200， ∴m的最小值为200， 即至少需要购进B款纪念品200个． 举一反三 返回 (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价为a(60≤a≤100)元，W(单位：元)表示该商家销售A款纪念品的利润，求W关于a的函数解析式，并求出W的最大值． 举一反三 解：由题意，得W＝(a－40)[200－5(a－60)] ＝(a－40)(200－5a＋300) ＝(a－40)(500－5a) ＝500a－20 000－5a2＋200a ＝－5a2＋700a－20 000 ＝－5(a－70)2＋4 500. ∵－5<0，60≤a≤100， ∴当a＝70时，W最大，最大值为4 500. 返回 举一反三 返回 8. [贵州中考]改编某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)y与x的函数解析式为____________； y＝－2x＋80 举一反三 返回 (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设所获日销售利润为w元， 根据题意，得w＝(x－10)·y＝(x－10)(－2x＋80) ＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450. ∵－2<0，∴当x＝25时，w有最大值450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大， 最大利润是450元． 举一反三 返回 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果的最大日销售利润为392元，直接写出m的值． 解：m的值为2. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 确定最大利润 利润问题 与 二次函数 涨价：要保证销量≥0 降价：要保证单件利润≥0 总利润=单件利润×总销量 总利润=总售价-总成本 建立函数关系 确定自变量的 取值范围 利用配方法或公式法求最大值 结合函数的图象和性质进行分析 谢谢观看 THANKS ∴－＝－＝35. 解：由题意，得y＝(200－x)· ＝－x2＋20x＋12 000. － － － $