26.4 第2课时 利润最值问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的利润最值问题，系统梳理核心公式、函数特征及解题步骤，通过实际销售问题导入，衔接二次函数图像与性质，构建从理论公式到实际模型的学习支架。 其亮点在于分层次设计练习与探究案例，如农产品销售分段函数分析、钢笔降价促销等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理最值条件、用数学语言表达函数模型的能力。课堂小结提炼“审设列解检答”步骤，助力学生掌握解题逻辑，教师可通过此资料提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4 第2课时 利润最值问题 2026年8月3日 人教版九年级上册26.4第2课时 利润最值问题同步练习题 一、知识梳理 利润最值问题是二次函数在实际生活中最典型的应用题型之一，核心是利用二次函数的顶点最值求解销售中的最大利润。初中阶段销售问题核心公式：单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售数量。在实际销售场景中，商品售价发生变化时，销售量会随之反向变化，由此可建立售价与总利润的二次函数模型，进而求解最大利润。 此类问题的函数特征：根据题意列出的总利润函数通常为开口向下的二次函数，二次项系数小于0，函数图象顶点为最高点，因此顶点处对应的函数值即为最大利润，对应的自变量取值即为获得最大利润的商品定价。解题时必须结合实际销售场景确定自变量取值范围，售价、销量均为正数，且取值多为正整数。 通用解题步骤：第一步，梳理题干条件，明确商品进价、原售价、原销量，以及售价每变化一次对应的销量变化量；第二步，设定自变量，通常设售价上涨或下调$x$元，或直接设定售价为$x$元；第三步，分别表示出单件利润和实际销售量，代入总利润公式建立二次函数解析式；第四步，利用顶点公式求出最值及对应自变量的值；第五步，检验自变量是否符合实际取值范围，最终确定最大利润与对应定价。 常见易错点：忽略自变量实际取值限制、混淆涨价与降价对应的销量变化关系、忘记统一单位。熟练掌握建模方法，可解决各类商场销售、商品售卖、涨价促销等利润最值问题，是中考二次函数实际应用题的高频考点。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 某商品进价为10元，售价为$x$元，销量为$(50-x)$件，则总利润的表达式为（） A.$x(50-x)$ B.$(x-10)(50-x)$ C.$10(50-x)$ D.$(x-10)x$ 2. 若总利润函数为$y=-2x^2+40x+120$，则该函数的最值情况是（） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 无最值 D. 无法确定 3. 某商品售价每涨价1元，销量减少5件，若原销量为100件，涨价$x$元后，销量为（） A.$100+5x$ B.$100-5x$ C.$5x-100$ D.$100-x$ 4. 利润函数$y=-x^2+30x$的最大利润为（） A.$15$ B.$225$ C.$30$ D.$450$ 5. 求解销售利润最大值时，最终自变量取值必须满足（） A. 任意实数 B. 售价为正、销量为正 C. 仅售价为正 D. 仅销量为正 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 一件商品进价20元，售价$x$元，则单件利润为________元。 2. 总利润二次函数开口向下时，函数顶点对应的函数值为________利润。 3. 已知利润函数$y=-5x^2+50x$，则最大利润为________，此时$x=$________。 4. 商品降价促销时，售价降低，销量会随之________（填“增加”或“减少”）。 5. 某商品进价8元，售价15元，卖出20件，总利润为________元。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 总利润一定随售价的升高而不断增大。（） 2. 二次函数利润模型中，开口向下才有最大利润。（） 3. 求解利润最值无需考虑销量是否为正数。（） 4. 单件利润=售价−进价，是建立利润模型的核心公式。（） 5. 售价每上涨，销量一定会减少，二者呈反向变化。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）某商店售卖纪念品，每件进价10元，根据市场调查：当售价为20元时，每天可卖出40件，售价每涨价1元，日销量减少2件。设每件涨价$x$元，每天总利润为$y$元。 （1）写出$y$与$x$的函数关系式； （2）求涨价多少元时，每天总利润最大； （3）求出最大利润。 2. （11分）某文具店销售钢笔，每支进价12元，原售价20元，每天可售出30支。现降价促销，每降价1元，每天多卖出5支。设降价$x$元，日利润为$y$元。 （1）求利润$y$关于$x$的函数解析式； （2）求最大日利润及对应的售价。 3. （12分）某商场销售一款饰品，进价为每件15元，售价为$x$元时，每周销量为$(120-2x)$件。 （1）求每周总利润$w$与售价$x$的函数关系式； （2）求售价为多少元时，每周利润最大； （3）求出最大周利润。 参考答案 一、选择题：1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 二、填空题：1.$x-20$；2.最大；3.$125，5$；4.增加；5.$140$ 三、判断题：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 四、解答题 1. 解：（1）单件利润$(20+x-10)=(10+x)$元，销量$(40-2x)$件，$y=(10+x)(40-2x)=-2x^2+20x+400$；（2）$a=-2$，顶点横坐标$x=5$，涨价5元时利润最大；（3）最大利润$y=450$元。 2. 解：（1）单件利润$(20-x-12)=(8-x)$元，销量$(30+5x)$件，$y=(8-x)(30+5x)=-5x^2+10x+240$；（2）$x=1$时利润最大，最大利润245元，对应售价19元。 3. 解：（1）单件利润$(x-15)$元，$w=(x-15)(120-2x)=-2x^2+150x-1800$；（2）顶点横坐标$x=37.5$，售价37.5元时利润最大；（3）最大利润为612.5元。 本套习题聚焦二次函数利润最值核心模型，重点训练销售问题建模、自变量范围分析、最大利润求解，贴合中考高频考点，题型由浅入深，适配课时巩固、课后作业与专项复习。 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1) 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 每件涨价x元时，每星期少卖_____件，实际卖出_________件， 销售额为________________元，买进商品需付______________元． 因此，所得利润________________________________， 即 ， 其中，______________________. 10x (300-10x) (60+x)(300-10x) 40(300－10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) y＝－10x2＋100x＋6 000 0≤x≤30，x 为整数 由于每涨价1元，每星期要少卖出10件，而每星期可卖出300件，因此最多涨价30元. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 根据上面的函数，填空： 当x＝______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元， 即定价_____元时，利润最大，最大利润是___________． y＝－10x2＋100x＋6 000 ＝－10(x-5)2+6 250. 5 5 65 6 250元 解：设降价x′元时利润最大，则每星期可多卖20x′件，实际卖出(300+20x′)件， 每星期售出商品的利润y′=(60-40-x′)(300+20x′)， 即 y′=-20x′2+100x′+6 000=-20(x′-2.5)2+6 125，其中0≤ x′ ≤20， x′ 为整数， ∵ x′为整数， ∴在降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6 120元. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解． 思考：由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 综合上述两种情况，可知定价65元时，利润最大. 1. 返回 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则最大利润为(　　) A．15元 B．400元 C．800元 D．1 250元 D 考试考法 7 返回 2. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　) A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 B 考试考法 某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村. 具体销售相关信息梳理如下表： 例1 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售 解：设该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润为w元， 当22≤x≤30时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625. ∵ -1<0,对称轴为直线x=45, ∴ 当x<45时，w随x的增大而增大. ∵ 22≤x≤30， ∴当x=30时，w取得最大值，w最大值=-(30-45)2+625=400. 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 当30<x≤45时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450. ∵ -2<0，对称轴为直线x=35，30<x≤45， ∴当x=35时，w取得最大值，w最大值=450. ∵ 450>400, ∴当销售价格定为35元/kg时，每天获得的销售利润最大，最大利润是450元. 返回 3. [石家庄期末]嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%. (1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； 考试考法 解：根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400) ＝－10x2＋400x＋300x－12 000 ＝－10x2＋700x－12 000. ∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于 成本价的50%， 即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45. 返回 考试考法 返回 (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 解：在w＝－10x2＋700x－12 000中， a＝－10，b＝700，c＝－12 000， ∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值， 即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 考试考法 1. 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设旅行团的人数为x,旅行社可获得的营业额为W元. 当0≤x≤20时，W=2 100x. ∵W随x的增大而增大， ∴当x=20时，W取得最大值，最大值为42 000； 当x>20时，W=[-30(x-20)+2 100]x=-30(x-45)2+60 750, ∴当x=45时，W取得最大值，最大值为60 750. ∵60 750>42 000, ∴当x=45时，W取得最大值60 750. 答：当旅行团的人数为45时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是60 750元. 举一反三 2. 生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元.预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解：设该商品的产量为x件，生产这种商品的利润为W元. 根据题意，得W=(50-10﹣)x-500=﹣(x-160)2+2 700. ∵50-10﹣>0，∴0<x<320. ∵﹣<0, ∴当x=160时，W取得最大值，W最大值=2 700. 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2 700元. 举一反三 返回 4. 某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 考试考法 [烟台中考]改编每年5月的第三个星期日为全国助残日，为践行“科技助残，共享美好生活”理念，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； 5. 返回 考试考法 (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，解得x≤20. ∵y＝ x2＋20x＋12 000＝ (x－25)2＋12 250， ∴当x＝20时，y取得最大值，为 ×(20－25)2＋12 250＝12 240. 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大， 最大利润为12 240元． 返回 考试考法 某商店购进一批单价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，则可列关系式为y＝(30＋x－20)(400－20x)．对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是(　　) A．(30＋x－20)表示涨价后每件商品的单价 B．20x表示涨价后每天少售出商品的数量 C．(400－20x)表示涨价后每天售出商品的数量 D．(30＋x)表示涨价后每件商品的单价 返回 6. A 考试考法 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS ∴－＝－＝35. 解：由题意，得y＝(200－x)· ＝－x2＋20x＋12 000. － － － $