26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.2.2 第3课时 $\boldsymbol{y=a(x-h)^2+k}$ 的图象和性质（顶点式）人教版 ## 一、平移规律（左加右减，上加下减） 由基础抛物线 $\boldsymbol{y=ax^2}$ 平移得到 $\boldsymbol{y=a(x-h)^2+k}$ 1. 左右平移：**左加右减**（只改变括号里的$x$） $(h>0)$：向右平移$h$个单位；$(h<0)$：向左平移$|h|$个单位 2. 上下平移：**上加下减**（末尾常数$k$） $(k>0)$：向上平移$k$个单位；$(k<0)$：向下平移$|k|$个单位 > > 例：$y=(x-2)^2+3$，$y=x^2$先向右移2，再向上移3 > $y=(x+1)^2-4$，$y=x^2$先向左移1，再向下移4 ## 二、图像基本特征 解析式：$\boldsymbol{y=a(x-h)^2+k\quad(a≠0)}$ 1. 图像：抛物线；$|a|$决定开口宽窄，$|a|$越大开口越小 2. 对称轴：**直线 $\boldsymbol{(\boldsymbol{(x=)h})}$** 3. 顶点坐标：$\boldsymbol{(h,\ k)}$（顶点式直接读出顶点） ## 三、函数性质 ### ① $\boldsymbol{(\boldsymbol{(a>0)})}$，开口向上 顶点$((h,k))$是**最低点**，当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(x=)h})}$，$\boldsymbol{y_{(\boldsymbol{y_{最小}=k})}=k}$ - $(x>h)$：$y$随$x$增大**增大** - $(x<h)$：$y$随$x$增大**减小** ### ② $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$，开口向下 顶点$((h,k))$是**最高点**，当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(x=)h})}$，$\boldsymbol{y_{(\boldsymbol{y_{最大}=k})}=k}$ - $(x>h)$：$y$随$x$增大**减小** - $(x<h)$：$y$随$x$增大**增大** ## 四、基础过关 1. 抛物线$y=2(x-3)^2+5$，开口____，顶点____，对称轴____，$(x=)$**时，(\boldsymbol{y*{最小}=k})值=*_。 2. 抛物线$y=-4(x+2)^2-1$，开口____，顶点____，对称轴____，$(x=)$**时，(\boldsymbol{y*{最大}=k})值=*_。 3. $y=3x^2$向左平移2，向下平移5，解析式：________。 答案 1. 向上；$(3,5)$；直线$\(x=\)3$；$3$；$5$ 2. 向下；$(-2,-1)$；直线$\(x=\)-2$；$-2$；$-1$ 3.$y=3(x+2)^2-5$ ## 五、易错题 判断√/× 1. $y=(x-4)^2+1$顶点$(-4,1)$（×，顶点$((4,1))$） 2. $y=-2(x+1)^2+3$开口向下，(\boldsymbol{y_{最大}=k})值是3（√） 3. $y=(x-2)^2-3$由$y=x^2$左移2，下移3（×，右移2，下移3） 4. $(\boldsymbol{(a>0)})$，在$(x>0)$时y一定递增（×，分界是对称轴$(\boldsymbol{(x=)h})$） ## 六、常见题型 1. 直接读出顶点、对称轴、最值； 2. 判断增减性，比较函数值大小； 3. 抛物线平移，求新解析式； 4. 已知顶点和一点，求顶点式解析式。 > > 小结：顶点式优点：一眼看出顶点；后面会学一般式$y=ax^2+bx+c$，两种形式可以互化。 下一节：**二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质（一般式）**，继续吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.2.2(第3课时)二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 掌握二次函数 的图象与性质，能说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。 理解二次函数 与 图象之间的平移关系； 通过类比前两节课的学习方法，培养学生的知识迁移能力和归纳总结能力. 学习目标 回顾 1.二次函数的图象是什么形状？ 2.它的对称轴、顶点坐标、开口方向分别是什么？ 3.它与的图象有什么关系？ 图象 抛物线 对称轴 顶点坐标 时，开口向上 开口方向 时，开口向下 增减性 与的增减性完全一致 的图象可由的图象左右平移得到 情境导入 3 x … −4 −3 −2 … x −1 0 1 … … 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 画函数 的图象 , 指出它的开口方向、对称轴及顶点. −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 O y −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −5.5 −3 −1.5 −1 −1.5 −3 先列表； 再描点、连线. 开口向下； 对称轴是直线 x = −1； 顶点坐标是 (−1，−1). 二次函数 y = a( x − h )2 + k 的图象和性质 y=a(x−h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 顶点坐标 (h，k) (h，k) 最值 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 增减性 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小； x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小. y=a(x−h)2+k称为二次函数的顶点式. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 函数 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 y=2(x−3)2+3 y=−2(x+3)2−2 y=−2(x−2)2−1 y=3(x+1)2+1 向上 x=3 (3,3) 3 x＜3,y随x的增大而减小, x＞3,y随x的增大而增大. 向下 x=−3 (−3,−2) −2 x＞−3,y随x的增大而减小, x＜−3,y随x的增大而增大. 向下 x=2 (2,−1) −1 x＞2,y随x的增大而减小, x＜2,y随x的增大而增大. 向上 x=−1 (−1,1) 1 x＜−1,y随x的增大而减小, x＞−1,y随x的增大而增大. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1)指出抛物线的对称轴； (2)求 a 的值； 解：(1)由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2)∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，−2)， ∴ −2＝a(1 − 3)2 + 2， ∴ a＝−1. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜2) 都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. (3)解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜2) 都在该抛物线上， x=2 m n y2 y1 比较函数值的大小时一般用数形结合 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数 . (1)画出此函数的图象． (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性. (2)解：顶点坐标 ，对称轴是直线 ，开口向下，当 时，y 随 x 的增大而增大， 当 时，y 随 x 的增大而减小． x … −3 −2 −1 0 1 … y … −6 0 2 0 −6 … (1)解：列表如下，函数图象如右图所示： 已知二次函数图象的顶点为 ，且点 在图象上，求此二次函数的解析式． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设抛物线的解析式为 ． 把 代入，得 ， 解得 ． ． 即这个二次函数的解析式为 ． 1. 返回 [石家庄校级期中]二次函数y＝2(x－2)2－1的图象的对称轴是(　　) A．直线x＝－1 B．直线x＝2 C．直线x＝－2 D．直线x＝1 B 举一反三 11 返回 2. [廊坊校级期中]抛物线y＝2(x＋7)2－3的顶点坐标是(　　) A．(7，3) B．(7，－3) C．(－7，3) D．(－7，－3) D 举一反三 返回 3. 关于二次函数y＝－2(x＋1)2＋6的最值情况，下列说法正确的是(　　) A．有最大值－1 B．有最小值－1 C．有最大值6 D．有最小值6 C 举一反三 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 怎样移动抛物线 就可得到抛物线 ？ −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 O y −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 归纳总结 一般地，抛物线y=a(x−h)2＋k与y=ax2形状相同，位置不同. 把抛物线y =ax2向上(下)向右(左)平移, 可以得到抛物线 y =a(x−h)2＋k. 平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 向左(右)平移 |h|个单位 向上(下)平移 |k|个单位 y=ax2 y=a(x−h)2 y=a(x−h)2+k y=ax2 y=a(x−h)2+k 向上(下)平移 |k|个单位 y=ax2+k 向左(右)平移 |h|个单位 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到. y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 抛物线的上下平移 (1)把二次函数y=(x+1)2的图象，沿y轴向上平移3个单位，得到____________的图象； (2)把二次函数_____________的图象，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图象. y=(x+1)2+3 y=x2+3 抛物线的左右平移 (1)把二次函数y=(x+1) 2的图象，沿x轴向左平移3个单位，得到_____________的图象； (2)把二次函数___________的图象，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图象. y=(x+4)2 y=(x+2)2+1 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 将抛物线 绕原点旋转 所得到的抛物线的解析式为__________． 解：对原抛物线配方得 ， 可得原抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线绕原点旋转 后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为 ，二次项系数为−1，因此旋转后抛物线的顶点式为 ， 整理为一般式 ． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. C(3,0) B(1，3) 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高, 高度为3m, 水柱落地处离池中心3m,水管应多长? A x O y 1 2 3 1 2 3 解:如图建立直角坐标系, 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴ 0=a(3−1)2＋3 解得: 因此抛物线的解析式为: y=a(x−1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m. a=− y=− (x−1)2＋3 (0≤x≤3) 返回 4. 二次函数y＝3(x＋2)2－1的图象大致是(　　) D 举一反三 [威海中考]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1 返回 5. C 举一反三 对于二次函数y＝(x－1)2＋2，下列说法正确的是(　　) A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝－1 C．图象有最高点 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 返回 6. D 举一反三 返回 7. 【荣德原创】若二次函数y＝3(x－m)2＋2m的最小值为－2，则该函数图象的顶点坐标为____________． (－1，－2) 举一反三 返回 8. [教材P44习题T6变式]将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝2(x＋2)2＋3 B．y＝2(x＋2)2－3 C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x－2)2＋3 C 举一反三 返回 9. 将抛物线y＝ x2先向______平移______个单位长度，再向________平移__________个单位长度后，得到抛物线y＝ (x＋2)2－5. 左 2 下 5 (或下；5；左；2) 举一反三 25 10. 把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数y＝ (x＋1)2＋3的图象． (1)求a，h，k的值； 解：二次函数y＝ (x＋1)2＋3的图象的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点的坐标为(2，－1)， ∴易得原二次函数的解析式为y＝ (x－2)2－1. ∴a＝ ，h＝2，k＝－1. 返回 举一反三 26 把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数y＝ (x＋1)2＋3的图象． (2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 解：二次函数y＝a(x－h)2＋k，即y＝ (x－2)2－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)． 返回 举一反三 27 返回 11. 若抛物线y＝－2(x＋m－1)2－3m＋6的顶点在第二象限，则m的取值范围是(　　) A．m＜1 B．m<2 C．m>1 D．1<m<2 D 举一反三 28 返回 12. 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向右都平移3个单位长度，那么在新坐标系中，抛物线的解析式是(　　) A．y＝2(x＋3)2－3 B．y＝2(x－3)2＋3 C．y＝2(x－3)2－3 D．y＝2(x＋3)2＋3 A 举一反三 29 13. 已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)在x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　) A．1或－5 B．－1或5 C．1或－3 D．1或3 B 返回 举一反三 14. [邯郸一模]如图，抛物线l1：y1＝a(x＋1)2＋2与l2：y2＝－(x－2)2－1交于点A(1，－2)，以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②l2可由l1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； ③当－3<x<1时，随着x的增大，y1－y2的值先增大后减小． 下列说法正确的是(　　) A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 C 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 平移 二次函数 y=a(x−h)2+k (a≠0) 的图象和性质 左右平移 y = ax2 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. 顶点坐标(h,k)； 3. 对称轴是直线x=h. 图象 y = a(x−h)2 (a≠0， h＞0，k＞0) y = ax2 +k y = a(x−h)2+k 左右平移 上下平移 上下平移 谢谢观看 THANKS － － $