26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第3课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过“温故知新”回顾y=ax²的平移规律，引导学生猜想新函数的平移方式，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养几何直观，通过喷水池实例渗透模型意识，用表格对比性质强化推理。多样化练习与结构化小结帮助学生深化理解，教师可借此提升教学效率。

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 向上k 个单位 向下k 个单位 抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到? y=ax2 y=ax2+k y=ax2-k y=a(x+h)2 向左h个单位 y=a(x-h)2 向右h个单位 上加下减常数项 括号内左加右减 注：假设k＞0，h＞0. 猜想： 抛物线y=a(x-h)2+k由抛物线y=ax2怎样平移得到? 温故知新 探究：画出函y=-(x+1)2-1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解：先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=- (x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 探索新知 描点、连线，画出函数的图象. y=-(x+1)2-1 开口_______， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 向下 直线x=-1 (-1, -1) 探索新知 y=-(x+1)2 思考：抛物线y=-(x+1)2-1与抛物线y=- x2有什么关系？ y=- x2 y=- x2 y=- (x+1)2 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 向下平移1个单位 还有其他的平移方法吗？ y=-(x+1)2-1 探索新知 y=- x2 y=- x2 向下平移1个单位 y=- x2+1 y=- x2-1 y=- (x+1)2-1 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 思考：抛物线y=-(x+1)2-1与抛物线y=- x2有什么关系？ y=-(x+1)2-1 探索新知 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同. 归纳： 抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 (a≠0)有什么关系？ 归纳小结 y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 简记为： 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 将抛物线y= x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( ). A. y= (x-2)2+3 B. y= (x+3)2+2 C. y= (x-3)2+2 D. y= (x+2)2+3 C 对应练习 y=ax2 y=a(x-h)2+k 开口方向 a>0时开口向上，a<0时开口向下 对称轴 x=0 x=h 顶点坐标 (0, 0) (h, k) 顶点式 y=ax2、 y=ax2+k、y=a(x-h)2是特殊的顶点式. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,k） x=h时，y最大值=k 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2； （3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6. 开口向上，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，5），当x<-3时，y随x的增大而减小，当x>-3时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-2），当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. 开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，7），当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，-6），当x<-2时，y随x的增大而增大，当x>-2时，y随x的增大而减小. 对应练习 2.说出下列二次函数的最大值或最小值： (1) y= (x+2)²－2; (2) y= － (x － 1)²+2. 当x=-2时， y最小值=-2. 当x=1时， y最大值=2. 对应练习 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？ 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 例题解析 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-1.6)2+3（0≤x≤3.6）. 由这段抛物线经过点(3.6,0)可得 0=a(3.6-1.6)²+3. x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08m. 解得a= - . 因此y= - (x-1.6)2+3（0≤x≤3.6）. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2.顶点坐标是(h, k)； 3.对称轴是直线x=h. 性质 平移规律 左右平移：自变量左加右减 上下平移：常数项上加下减 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同. 课堂小结 1.二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象大致是( ) B A B C D 课堂练习 2.[2025·六安金安区期中]已知抛物线y＝(x－h)2＋4经过 (－3，m)和(5，m)两点，则h的值为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 A 3.填写下表： 抛物线 对称轴 顶点坐标 最值 y＝(x＋2)2＋3 y＝－2(x－1)2＋2 y＝(x－2)2－1 y＝－(x＋1)2－2 直线x＝－2 (－2，3) y＝3 直线x＝1 (1，2) y＝2 直线x＝2 (2，－1) y＝－1 直线x＝－1 (－1，－2) y＝－2 4.若二次函数y＝a(x＋3)2－a2有最小值，且图象经过点 (0，－10)，则a＝　 　. 　10　 5.若点A(－1，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝－(x－3)2＋a上，则y1与y2的大小关系是　 　.(用“＞”连接)  　y2＞y1　 6.已知二次函数y＝－(x－1)2＋5的图象如图所示. (1)该抛物线与y轴的交点坐标是　 　；  (2)当y的值随x的值增大而减小时，x的取值范围是 　 　；  (3)当0＜x＜3时，求y的取值范围. 解：(3)当0＜x＜3时，y的取值范围是1＜y≤5. 　x＞1　 　(0，4)　 7.将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是( ) A.y＝(x＋1)2＋2 B.y＝(x－1)2－2 C.y＝(x＋1)2－2 D.y＝(x－1)2＋2 C 已知平移方式求解析式→已知解析式求平移方式 要得到抛物线y＝－(x－2)2＋1，需将抛物线y＝－x2( ) A.向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 B.向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B 8.把二次函数y＝－(x－h)2＋k的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数 y＝－(x＋1)2－1的图象.试确定h，k的值. 解：h＝－3，k＝－5. 9.若抛物线y＝2(x－m－1)2＋2m＋4的顶点在第二象限，则m的取值范围是( ) A.m＞1 B.m＜2 C.1＜m＜2 D.－2＜m＜－1 D A.m≤－1 B.m＞－1 C.0＜m＜2 D.－1≤m＜2 10.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象如图所示，当m＜x＜2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) D 11.若某条抛物线和抛物线y＝－3x2的形状相同，且顶点坐标是(－6，1)，则此抛物线的解析式为　 _ _ 　.  或y＝3(x＋6)2＋1　 　y＝－3(x＋6)2＋1 12.[2025·合肥庐阳中学期中]已知二次函数y＝－(x＋1)2＋2. (1)该抛物线的顶点坐标为　 　；  (2)当－2≤x≤2时，该函数的最大值为　 　；  (3)当1≤x≤3时，该函数的最大值为　 　.  　－2　 　2　 　(－1，2)　 13.如图，网格中的每个小正方形边长均为1个单位长度，将抛物线y1＝x2－1向右平移2个单位长度得到抛物线y2. (1)请直接写出抛物线y2的解析式； (2)求图中阴影部分的面积； (3)若将抛物线y2沿x轴翻折，得到抛物线y3， 求抛物线y3的解析式. 解：(1)y2＝(x－2)2－1. (2)观察题图可知阴影部分的面积为2×4＝8. (3)y3＝－(x－2)2＋1. 14.如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C. (1)若抛物线经过点B，求它的解析式， 并写出此时抛物线的对称轴及顶点坐标. 解：(1)抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，1). (2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值；若此时(即yc取最大值时)抛物线上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小. (2)yc有最大值为1；当x1＞x2≥0时，y1＜y2. (3)[基本思想—分类讨论思想]当线段OA恰好被抛物线分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值. (3)∵抛物线把线段OA分成1∶4两部分， ∴抛物线与OA的交点坐标为(－1，0)或(－4，0). ①把点(－1，0)代入y＝－(x－h)2＋1， 得h＝0或h＝－2. 当h＝－2时，线段OA被分为三部分，不符合题意，舍去. ②把点(－4，0)代入y＝－(x－h)2＋1， 得h＝－5或h＝－3. 当h＝－3时，线段OA被分为三部分，不符合题意，舍去. 综上所述，h的值为0或－5. $