26.3 第2课时 求一元二次方程根的近似值 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

## 拓展知识点 1. 抛物线与 y 轴交点：令\(x=0\)，得\(y=c\)，交点\(\boldsymbol{(0,c)}\) 2. 抛物线与 x 轴两交点之间距离：\(|x_1-x_2|\) ## 三、基础例题 例：二次函数 \(y=x^2-2x-3\) 令\(y=0\)，\(x^2-2x-3=0\)，解得\(x_1=3,x_2=-1\) \(\Delta =(-2)^2-4\times1\times(-3)=16>0\) 抛物线和 x 轴交于\((-1,0)\)、\((3,0)\)，方程两个不等实根。 例：\(y=x^2-4x+4\) \(\Delta=16-16=0\)，方程有两个相等实根\(x_1=x_2=2\)，抛物线与 x 轴只有 1 个交点\((2,0)\)。 例：\(y=x^2+2x+3\) \(\Delta=4-12=-8<0\)，方程无实数根，抛物线与 x 轴**没有交点**。 ## 四、基础过关 1. 二次函数\(y=x^2-5x+6\)，令\(y=0\)，方程是________，\(\Delta=\)____，抛物线与 x 轴有___个交点。 2. 抛物线\(y=x^2-6x+m\)与 x 轴只有一个交点，则\(m=\)____。 3. 若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)无实数根，则抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与 x 轴交点个数为____。 <details> <summary>答案</summary> 1.$x^2-5x+6=0$；1；2 2.$9$ 3.$0$ </details>## 五、易错题 判断√/× 1. 抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与 x 轴有交点，则\(\Delta\ge0\)（√） 2. \(\Delta>0\)，抛物线一定经过 x 轴两个点（√） 3. 方程无实根，函数图像一定在 x 轴上方（×，要看a正负；\(a<0\)图像全部在 x 轴下方） ## 六、练习题 ### 一、选择题 1. 抛物线\(y=x^2-4x+3\)与 x 轴交点个数（） A.0 B.1 C.2 D. 无法确定 2. 若抛物线\(y=2x^2+3x+m\)与 x 轴只有一个交点，则m的值为（） A.\(\dfrac98\) B.\(-\dfrac98\) C.\(\dfrac89\) D.\(-\dfrac89\) ### 二、填空题 3. 二次函数\(y=-x^2+2x+3\)，对应方程\(-x^2+2x+3=0\)的根是________；抛物线与 x 轴交点坐标________。 4. 抛物线\(y=x^2-2x+k\)与 x 轴有两个交点，则k的取值范围________。 ### 三、解答题 5. 已知二次函数\(y=x^2-2x-8\) (1) 求判别式\(\Delta\)； (2) 求抛物线与 x 轴交点坐标； (3) 写出当\(y=0\)、\(y>0\)、\(y<0\)时，x的取值范围。 <details> <summary>参考答案</summary> 1.C 2.A 3.$x_1=3,x_2=-1$；$(3,0),(-1,0)$ 4.$k<1$5. 解： (1)\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-8)=36>0\) (2) 令\(y=0\)，\(x^2-2x-8=0\)，\((x-4)(x+2)=0\)，\(x_1=4,x_2=-2\) 交点：\((4,0),(-2,0)\) (3)\(y=0\)时，\(x=4\)或\(x=-2\) \(y>0\)，\(x>4\)或\(x<-2\) \(y<0\)，\(-2<x<4\) </details>要不要继续下一节**26.3 第 2 课时 用二次函数求一元二次方程的近似根**？或者我给你一份本节不带答案的练习题？ 相关视频 今天 23:05 一元二次方程根的判别式是什么？ 如何用配方法将一般式化为顶点式？ 求抛物线与x轴交点坐标的步骤是什么？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.3 第2课时 求一元二次方程根的近似值 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系.能根据二次函数图象判断一元二次方程根的情况，反之亦然. 会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。 初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法； 通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的抽象概括能力。 学习目标 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用函数的图象求下列方程组的解： (1) ; (1) 解：分别画出两个函数的图象， 其交点为 ， ， 因此方程组的解为 ， . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用函数的图象求下列方程组的解： (2) . (2) 解：分别画出两个函数的图象， 其交点为 ， 因此方程组的解为 . 根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，下面来看一个实际问题. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵．基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少0.1万棵，设每棵定价提高到t元(30<t≤50)，每年的销售总收入为y万元． ①求y关于t的函数关系式； 解：①由题意得，销售量为 （万棵）， ∴每年的销售总收入 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵．基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少0.1万棵，设每棵定价提高到t元(30<t≤50)，每年的销售总收入为y万元． ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求t的值． 解：②由题意得 ， 整理得 ， 解得 ， ， ∵30<t≤50 ， ∴ . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx＋0.8，求a,b的值； (1)解：由题意得，抛物线经过 ，对称轴为直线 ， ∴ ,解得 ； ∴ ， ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ (2)解：由(1)可得原抛物线的表达式为 ， 配方可得 ， 由题意，新抛物线的表达式为 ，即 ， 当y=0时， ， 解得 ， （舍去），∴ （米）, ∴改造后圆形喷水池的直径至少18米． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)用描点法作二次函数y=x2+2x−10的图象； 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x−10=0的根吗？ (2)观察估计二次函数y=x2+2x−10的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在−5与−4之间,另一个在2与3之间 (可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). 分别约为−4.3和2.3. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)确定方程x2+2x−10=0的解.由此可知,方程x2+2x−10=0的近似根为:x1≈−4.3,x2≈2.3. 其横坐标一个在−5与−4之间, 约为−4.3. 其横坐标另一个在2与3之间, 约为2.3. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)确定方程x2+2x−10=0的解.由此可知, 方程x2+2x−10=0的近似根为:x1≈−4.3,x2≈2.3. 由画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.你能求出此方程正根更加精确值吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于方程x2+2x−10=0的解.我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，例如，取2和3的平均数2.5，当x=2.5时，y=1.25>0，与自变量为2时的函数值异号，所以这个根在2和2.5之间，再取2和2.5的平均数2.25，当x=2.25时，y=−0.4375<0，与自变量为2.25时的函数值异号，所以这个根在2.25和2.5之间. 重复上述步骤，可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 归纳总结 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般步骤 ①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； ②观察估计二次函数的图象与直线y=h的交点的横坐标； ③确定一元二次方程ax2+bx+c=h的解. 1. 返回 [邯郸校级期中]如图，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解x的范围是(　　) A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 C 举一反三 14 返回 2. 下表是小江对方程x2－9.25x＋10＝0的一个解x进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的x的范围是__________． 1<x<1.5 x 0 0.5 1 1.5 2 x2－9.25x＋10 10 5.625 1.75 －1.625 －4.5 举一反三 返回 3. 根据表格写出一元二次方程x2＋x－1＝0的小于0的近似解x≈______．(精确到小数点后一位) －1.6 x －1.7 －1.65 －1.6 －1.55 －1.5 x2＋x－1 0.19 0.07 －0.04 －0.15 －0.25 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：一元二次方程 的根，就是二次函数 中函数值y=0时对应的自变量x， 下列表格中是二次函数 的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程 的一个近似根是（   ） A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 观察表格可知：当x=6.8时，y=−0.1，最接近0；当x=6.9时，y=0.2，距离0比−0.1更远； 又∵y在x=6.8到x=6.9之间由负变正，说明y=0的根在6.8和6.9之间， ∴x=6.8对应的函数值更接近0，∴一元二次方程的一个近似根是6.8． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（ ） A． B．C． D． 解：利用二次函数和一元二次方程的性质． 由表格中的数据看出−0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选C． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，点 ， 在二次函数 的图象上，则方程 的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 解：由图象可知， 当x=2.26时，y=−0.32；当x=2.56时，y=0.41； ∴当y=0时，2.26<x<2.56， ∴选项C符合. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________. 3 −1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集 就是函数 y = ax2 + bx+ c 的图象在x轴以上的部分（红色部分）所对应的x的取值范围. 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集 就是函数 y = ax2 + bx+ c 的图象在x轴以下的部分（绿色部分）所对应的x的取值范围. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 −1 2 x y O y = −x2+x+2 利用函数图象解下列方程和不等式： (1)① −x2+x+2=0； ② −x2+x+2>0； ③ −x2+x+2<0. ①x1 = −1，x2 = 2 ③x＜−1或 x＞2 ②−1＜x＜2 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2 O x y y = x2−4x+4 ①x1 =x2 = 2 ③无实数解 ②x ≠ 2 利用函数图象解下列方程和不等式： (2)① x2−4x+4=0； ② x2−4x+4>0； ③ x2−4x+4<0. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ①无实数解 ③xx为全体实数 ②无实数解 利用函数图象解下列方程和不等式： (3)① −x2+x−2=0； ② −x2+x−2>0； ③ −x2+x−2<0. x y O y = − x2+x −2 一元二次不等式的解法 Δ = b2−4ac 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 没有实数根 x＜x1或x＞x2 x ≠ x1的一切实数 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 x1 = x2 = 对于三个数a,b,c，用 表示这三个数中最小的数，例如 , ，那么 的最大值为______． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：作出 的图象， 如图，实线部分即的 的函数图象， ，解得x=0或x=3， 当x=0时，y=1， 所以 的最大值为1． 返回 4. 利用函数图象求一元二次方程 x2－2x－2＝0的近似解(精确到0.1)． 解：方程 x2－2x－2＝0的根是抛物线y＝ x2－2x－2与x轴 交点的横坐标． 作出二次函数y＝ x2－2x－2的图象，如图所示． 由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1和0之间， 另一个在4和5之间． 先求－1和0之间的根， 举一反三 返回 当x＝－0.8时，y＝－0.08； 当x＝－0.9时，y＝0.205， 因此，x＝－0.8是方程的一个近似根， 同理，x＝4.8是方程的另一个近似根． 所以方程 x2－2x－2＝0的两个近似根是x1＝－0.8，x2＝4.8. 举一反三 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的一个交点为(－2，0)，且对称轴为直线x＝2，则ax2＋bx＋c＋1＝0的根(x1<x2)的范围是(　　) A．－2<x1<x2<2 B．－2<x1<x2<4 C．x1<－2<x2<6 D．－2<x1<x2<6 返回 5. D 举一反三 对于抛物线y＝x2－4x－6. (1)将抛物线的解析式化为顶点式； 返回 6. 解：y＝x2－4x－6＝(x2－4x＋4)－4－6＝(x－2)2－10. 举一反三 (2)补全下列表格，在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线； 返回 x …   0 2   6 … y …           … 解：补全表格如下： x … －2 0 2 4 6 … y … 6 －6 －10 －6 6 … 抛物线如图所示． 举一反三 (3)结合图象，当－2<x<3时，y的取值范围为__________； (4)结合图象及所学习的知识，估算x2－4x－6＝0的两个近似根为__________________(精确到0.1，误差不超过0.2)． 返回 －10≤y<6 x1＝－1.2，x2＝5.2 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解不等式 二次函数 转化为 一元二次方程 的应用 利润问题、抛物线形问题等 实际应用 求近似解 ①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象 ②观察估计二次函数的图象与直线y=h的交点的横坐标 ③确定一元二次方程ax2+bx+c=h的解 x2 x1 O x y ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 x =x1，x= x2 x < x1 或 x >x2 x1< x <x2 谢谢观看 THANKS $