26.4.2 商品利润最大问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 26.4 第2课时 商品利润最大问题 专项练习（约1400字） ## 一、知识梳理 ### 核心公式 1. 单件利润 = 售价 − 进价 2. 总利润 = 单件利润 × 销售量 调价规律：涨价，销量减少；降价，销量增加。 设涨价（或降价）$x$元，构造总利润$y$关于$x$的二次函数：$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a eq0)}$ - $\(a<0\)$，开口向下，顶点处有**最大利润**。 > ⚠重点：**自变量取值限制** 1. 售价不能低于成本； 2. 销售量$\(>0\)$； 3. 题目经常附加条件：涨价最多不超过多少、售价为整数等。 > 如果顶点横坐标不在取值范围内，最值在区间端点取得。 > 易错提醒 1. 涨价$x$元，新售价=原价$\(+x\)$；降价$x$元，新售价=原价$-x$； 2. 销量变化：每涨1元，销量减少多少；不要把增减数量写反； 3. 分清：单件利润不是售价； 4. 应用题必须检验自变量是否符合实际意义，最后写**答**。 ## 二、基础专项练习 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 某商品进价30元，售价每件50元，每周卖200件；每涨价1元，每周少卖5件。设涨价$x$元，单件利润为（） A.$50\(+x\)$ B.$20\(+x\)$ C.$30\(+x\)$ D.$20-x$ 2. 总利润$y=-2x^2+80x+1200$，当$x$为多少时利润最大（） A.$20$ B.$40$ C.$80$ D.$1200$ 3. 商品每件进价40元，售价60元，每降价1元，多卖10件。若降价$x$元，销量是（） A.$10x$ B.$\(200+10x\)$ C.$200-10x$ D.$60-x$ 4. 利润函数$y=-3x^2+42x+180$，$\(a<0\)$，$0\le x\le10$，对称轴$\(\(x=\)7\)$，则最大利润在（） A.$\(\(x=\)7\)$ B.$\(\(x=\)10\)$ C.$\(\(x=\)0\)$ D.$\(\(x=\)3\)$ 5. 关于商品利润问题，说法正确的是（） A.顶点一定是实际最大利润 B.总利润=售价×销量 C.涨价，销售量一般会减少 D.单件利润=进价−售价 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 进价20元，售价35元，每件利润____元。 2. 商品原价每件40元，可售100件；每涨价1元少卖4件，涨价$x$元，销售量=________。 3. 利润$y=-x^2+14x+32$，当$\(x=\)$____，利润最大。 4. 进价50元，售价70元，每周卖80件；每降价1元多卖5件，降价$x$元，单件利润=________。 5. $y=-4x^2+32x+120$，最大利润=________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（16分）某商品进价每件40元，现在售价每件60元，每周可以卖出300件。市场调查：每涨价1元，每周少卖10件。设每件涨价$x$元，总利润为$y$元。 (1) 写出$y$与$x$的函数关系式，并写出自变量$x$取值范围； (2) 涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 2.（20分）商店销售一款纪念品，进价20元，原售价每件36元，每天可卖40件。每降价1元，每天多卖出5件。设每件降价$x$元，总利润$y$元。 (1) 求$y$关于$x$的函数解析式； (2) 当售价定为多少时，每天利润最大，最大利润是多少？ 3.（24分）某水果进价每千克10元，售价16元，一天能卖120千克。市场反映：每涨价1元，日销量减少10千克。规定售价不能高于25元。设每千克涨价$x$元，日利润$y$元。 (1) 写出$y$与$x$函数关系式及自变量取值范围； (2) 涨价多少元，日利润最大，最大利润多少？ ## 三、参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：单件利润$50\(+x\)-30=20\(+x\)$ 2.A 解析：对称轴$\(x=\)-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{80}{2\times(-2)}=20$ 3.B 4.A 解析：对称轴$\(\(x=\)7\)$在区间$0\le x\le10$内，顶点取最大值 5.C ### 填空题 1.$15$ 2.$100-4x$ 3.$7$ 4.$20-x$ 5.$184$ ### 解答题 1.解： (1)单件利润：$60\(+x\)-40=20\(+x\)$；销量：$300-10x$ $$ \begin{align*} y&=(20\(+x\))(300-10x)\\ &=-10x^2+100x+6000 \end{align*} $$ $\begin{cases}20\(+x\)\(>0\)\\300-10x\(>0\)\end{cases}$，得$\boldsymbol{0\le x<30}$ (2)$a=-10<0$，对称轴$\(x=\)-\dfrac{100}{2\times(-10)}=5$ $\(x=\)5$时，$y_{max}=-10\times25+100\times5+6000=6250$ 答：涨价5元时利润最大，最大利润6250元。 2.解： (1)单件利润：$36-x-20=16-x$，销量：$\(40+5x\)$ $$ \begin{align*} y&=(16-x)(\(40+5x\))\\ &=-5x^2+40x+640 \end{align*} $$ (2)对称轴$\(x=\)-\dfrac{40}{2\times(-5)}=4$ $\(x=\)4$，售价$=36-4=32$元，$y_{max}=-5\times16+40\times4+640=720$ 答：售价定为32元，最大利润720元。 3.解： (1)单件利润：$16\(+x\)-10=6\(+x\)$；销量：$120-10x$ 售价限制：$16\(+x\)\le25 \Rightarrow x\le9$，且$x\ge0$ $$ \begin{align*} y&=(6\(+x\))(120-10x)\\ &=-10x^2+60x+720 \end{align*} $$ 自变量范围：$\boldsymbol{0\le x\le9}$ (2)$a=-10<0$，对称轴$\(x=\)-\dfrac{60}{2\times(-10)}=3$，$\(\(x=\)3\)$在取值范围内。 $y_{max}=-10\times9+60\times3+720=810$ 答：涨价3元，最大日利润810元。 ## 四、练习小结 利润应用题固定四步： 1. 设涨价/降价$x$； 2. 写出**单件利润**、**销售量**； 3. 总利润=单件利润×销量，列出二次函数； 4. 求对称轴，结合实际$x$范围判断最大值。 两类题型：涨价（销量减少）、降价（销量增加），中考必考大题。最容易丢分的地方： ① 销量表达式列错；② 忘记求自变量取值范围；③ 不检验顶点是否在范围内。 需要我生成**不带答案的学生版**，方便直接打印做题吗？ 人教版数学（新教材）九年级上册 26.4.2商品利润最大问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/10 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 会应用二次函数的性质解决实际问题. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1) 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式. 探究新知 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 每件涨价x元时，每星期少卖_____件，实际卖出_________件， 销售额为________________元，买进商品需付______________元． 因此，所得利润________________________________， 即 ， 其中，______________________. 10x (300-10x) (60+x)(300-10x) 40(300－10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) y＝－10x2＋100x＋6 000 0≤x≤30，x 为整数 由于每涨价1元，每星期要少卖出10件，而每星期可卖出300件，因此最多涨价30元. 探究新知 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 根据上面的函数，填空： 当x＝______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元， 即定价_____元时，利润最大，最大利润是___________． y＝－10x2＋100x＋6 000 ＝－10(x-5)2+6 250. 5 5 65 6 250元 探究新知 解：设降价x′元时利润最大，则每星期可多卖20x′件，实际卖出(300+20x′)件， 每星期售出商品的利润y′=(60-40-x′)(300+20x′)， 即 y′=-20x′2+100x′+6 000=-20(x′-2.5)2+6 125，其中0≤ x′ ≤20， x′ 为整数， ∵ x′为整数， ∴在降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6 120元. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解． 探究新知 思考：由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 综合上述两种情况，可知定价65元时，利润最大. 探究新知 知识点1 简单销售问题中的利润问题 1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润（元）与降价 （元） 之间的关系式是 ，则获得的利润最大为( ) D A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元 返回 举一反三 8 2.某种商品每件进价为20元，调查发现：在某段时间内若以每件 元 ，且为整数出售，可卖出 件，要使利润最大， 每件的售价应为( ) B A.24元 B.25元 C.28元 D.30元 返回 举一反三 9 3.[淮安中考改编] 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价 元 … 25 28 31 … 日销售量 件 … 15 12 9 … 举一反三 10 （1）求与之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）； 解：设与之间的函数解析式为 ， 将，；，分别代入，得 解得 与之间的函数解析式为 . 举一反三 11 （2）当每件玩具的售价定为多少元时，可使日销售额 （元）最大？ 最大为多少元？ 解：由题意得 ， ， 当时， 有最大值，最大值为400， 当每件玩具的售价定为20元时，可使日销售额最大，最大为400元. 返回 举一反三 12 某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村. 具体销售相关信息梳理如下表： 例1 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售 探究新知 解：设该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润为w元， 当22≤x≤30时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625. ∵ -1<0,对称轴为直线x=45, ∴ 当x<45时，w随x的增大而增大. ∵ 22≤x≤30， ∴当x=30时，w取得最大值，w最大值=-(30-45)2+625=400. 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 探究新知 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 当30<x≤45时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450. ∵ -2<0，对称轴为直线x=35，30<x≤45， ∴当x=35时，w取得最大值，w最大值=450. ∵ 450>400, ∴当销售价格定为35元/kg时，每天获得的销售利润最大，最大利润是450元. 探究新知 1. 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设旅行团的人数为x,旅行社可获得的营业额为W元. 当0≤x≤20时，W=2 100x. ∵W随x的增大而增大， ∴当x=20时，W取得最大值，最大值为42 000； 当x>20时，W=[-30(x-20)+2 100]x=-30(x-45)2+60 750, ∴当x=45时，W取得最大值，最大值为60 750. ∵60 750>42 000, ∴当x=45时，W取得最大值60 750. 答：当旅行团的人数为45时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是60 750元. 探究新知 知识点2 “每……每……”的销售利润问题 4.当进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2 000件， 售价每上涨1元，月销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数 （件）与衬衣售价 （元/件）之间的函数关系式为_________________， 每月利润（元）与衬衣售价 （元/件）之间的函数关系式为________ ________________________. 返回 举一反三 17 5. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销 售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期 间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20 顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶 头盔的售价为( ) C A.60元 B.65元 C.70元 D.75元 返回 举一反三 18 6.［教材 探究1变式］某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月 销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每 降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售， 但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价 元，每天的销售利润 为 元. （1）求与 之间的函数关系式； 解：由题意，得 . 举一反三 19 （2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解： 每辆轮椅的利润不低于180元， ，解得 . ， 当时，随 的增大而增大， 当时， 取得最大值，最大值为 . 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. 返回 举一反三 20 7.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么每 天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少， 即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨价 元， 销售利润为元，则可列关系式为 .对所列 关系式中出现的代数式，下列说法错误的是( ) A A. 表示涨价后商品的单价 B. 表示涨价后少售出商品的数量 C. 表示涨价后售出商品的数量 D. 表示涨价后商品的单价 返回 举一反三 21 8.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第 天 ，且为整数的售价为（元/千克）.当 时， ；当时，.销量（千克）与 的函数关系 式为 ，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价 为15元/千克，设第天的销售额为 （元）. （1）____， ____； 30 举一反三 22 （2）写出第天的销售额与 之间的函数关系式； 解：依题意，得 当时， ， 当时， ， 举一反三 23 （3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元. 解：当 时， ， 当时，，解得 ， 为正整数， 第24天至第30天，销售额超过500元， （天）. 答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元. 返回 举一反三 24 9.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销 售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价 （元）满足如图所 示的一次函数关系. 举一反三 25 （1）求与 的函数解析式. 解：设与的函数解析式为 ， 把和分别代入，得解得 与的函数解析式为 . 举一反三 26 （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是 多少？ 解：设日销售利润为 元， 根据题意，得 ， ， 当时， 有最大值，最大值为450， 糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. 举一反三 27 （3）若超市决定每销售一盒糖果就向儿童福利院赠送一件价值为 元 的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元， 求 的值. 举一反三 28 解：设赠送礼品后，日销售利润为 元， 根据题意，得 ， 当时， 有最大值，为 ， 举一反三 29 当糖果日销售获得的最大利润为392元时， ， 整理得，解得， . 当时， ， 则每盒糖果的利润为 ，不符合实际，舍去， 的值为2. 返回 举一反三 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $