26.4 第3课时 抛物线形问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.4 第3课时 实际问题与二次函数 —— 抛物线形问题（人教版） ## ✅核心思路 拱桥、隧道、投篮、喷泉等实物轮廓是抛物线，**建立平面直角坐标系**，把实际问题转化成二次函数。 ### 解题步骤 1. **建坐标系**（最关键！一般把顶点放在$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})}$轴上，简化计算） - 优先：抛物线顶点为$((0,0))$，对称轴为$(\boldsymbol{y})$轴，解析式设$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=ax^2}$ - 或者顶点$((0,k))$，解析式$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=ax^2+k}$ 2. 把已知实物中的长度，转化为坐标系里**点的坐标** 3. 将点代入解析式，求出$a$，得到函数 4. 根据问题求对应$x$或$(\boldsymbol{y})$，再转回实际长度作答 > > 重要提醒：坐标是有正负的，但**实际长度一定取正数** ## 📖经典例题（拱桥问题） 有一座抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？ 解： ①建系：以拱顶为原点，水平向右为$x$轴，竖直向下为$(\boldsymbol{y})$轴 解析式：$(\boldsymbol{y})=ax^2$ 水面宽4m，拱顶离水面2m，水面端点坐标$((2,2))$ ②代入$((2,2))$： $2=a\cdot 2^2 \Rightarrow 4a=2 \Rightarrow a=\dfrac12$ 抛物线：$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=\dfrac12x^2}$ ③水面下降1m，此时$(\boldsymbol{y})=3$ $3=\dfrac12x^2 \Rightarrow x^2(=6) \Rightarrow x=\pm\sqrt6$ 此时水面宽：$2\sqrt6$ m ④宽度增加量：$2\sqrt6-4$ 答：水面宽度增加$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(2\sqrt6-4)}$米。 > > 另一种建系方式：水面中点为原点，拱顶$((0,2))$，解析式$(\boldsymbol{y})=ax^2+2$，水面两点$(-2,0),((2,0))$，也可以算出，**坐标系选择不同，解析式不同，但最终实际长度答案不变**。 ## ⚠高频易错点 1. 坐标和实际长度**不要混淆**；纵坐标不一定代表高度，要看坐标系怎么建 2. 求宽度：算出$x$，宽度=$|x_1-x_2|$ 3. 看清题意：问**现在宽度**还是**增加了多少**（大坑！） 4. 单位统一 ## 📝基础过关 一座抛物线拱桥，顶点在$((0,4))$，过点$((3,0))$，解析式设$(\boldsymbol{y})=ax^2+4$，代入求$a$。 答案 $0=a\cdot3^2+4 \Rightarrow 9a=-4 \Rightarrow a=-\dfrac49$，解析式$\bolds\(\boldsymbol{y}\)mbol{\(\boldsymbol{y}\)=-\dfrac49x^2+4}$ # 📚练习题 ## 一、填空题 1. 喷泉水流轨迹是抛物线，顶点$((0,3))$，过$((2,0))$，解析式________。 ## 二、解答题 2. 某隧道截面是抛物线，顶点距地面6m，地面宽度12m。建立坐标系，顶点$((0,6))$。 (1)求抛物线解析式； (2)一辆高4.5m，宽4m货车，能否安全通过隧道？ 3. 篮球投篮，球的运动轨迹为抛物线。以出手点水平位置为x轴，竖直向上(\boldsymbol{y})轴，抛物线顶点$((4,4))$，球出手点$(0,\dfrac53)$，求抛物线解析式。 参考答案 1.$\(\boldsymbol{y}\)=-\dfrac34x^2+3$ 2.解： (1)顶点$((0,6))$，设$(\boldsymbol{y})=ax^2+6$，地面端点$((6,0))$ 代入：$0=36a+6 \Rightarrow a=-\dfrac16$ 解析式：$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=-\dfrac16x^2+6}$ (2)车高4.5，令$(\boldsymbol{y})=4.5$ $4.5=-\dfrac16x^2+6 \Rightarrow \dfrac16x^2=1.5 \Rightarrow x^2=9$，$x=\pm3$ 此时宽度$(=6)$m，$(6>4)$，**可以安全通过**。 3.解：顶点$((4,4))$，设顶点式$(\boldsymbol{y})=a(x-4)^2+4$ 代入$(0,\dfrac53)$ $\dfrac53=a(0-4)^2+4 \Rightarrow 16a=\dfrac53-4=-\dfrac73$ $a=-\dfrac7{48}$ 解析式：$\bolds(\boldsymbol{y})mbol{(\boldsymbol{y})=-\dfrac7{48}(x-4)^2+4}$ ## 本章小结（26.4三类应用题） 1. 几何面积最值：矩形篱笆，二次函数求面积最大值 2. 销售利润最值：总利润=单件利润×销量 3. 抛物线模型：拱桥、投篮、喷泉，建坐标系求解析式 二次函数整章新课到此结束。你想要： ① 二次函数整章综合复习提纲 ② 一套全章综合测试卷（带解析） ③ 只给无答案练习题用来刷题？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.4 第3课时 抛物线形问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 理解实物抛物线与二次函数图象的对应关系，掌握建立适当平面直角坐标系解决实物抛物线问题的核心方法； 能准确将实际问题中的长度、高度转化为坐标系中点的坐标，并解决拱桥、投篮等实际问题； 经历 实物观察→抽象建模→坐标系优化→求解解析式→解决实际问题的完整过程，进一步发展数学建模能力。 学习目标 1.上节课我们学习了用二次函数解决最大利润问题，解决这类实际最值问题的一般步骤是什么呢？ 回顾 1.分析题意，确定变量 2.分类讨论，建立模型 3.确定范围，求解最值 4.比较结果，得出方案 ①拱桥的轮廓 ②篮球投篮的轨迹 ③喷泉水柱等 我们知道二次函数的图象是抛物线，本身就是生活中许多物体的形状，比如： 今天我们就来学习如何把这些实物抛物线转化为数学模型. 当堂检测 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4米时，水面宽是10米，突降暴雨后水面上升1米，此时水面宽为多少？ 二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何建立适当的平面直角坐标系？ O x y O x y O x y 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2. 由抛物线经过点(5，−4),可得−4=a×5². 解得a= 因此，这条抛物线对应的二次函数为y＝x2. 当水面上升1m时,水面的纵坐标为−3. 因此，3＝x2，解得x=±， 所以，暴雨后水面上升1米，此时水面宽为米. 二次函数的三种形式 一般式：y = ax² + bx +c (a≠0) 1 顶点式：y = a(x−h)² + k (a≠0) 2 交点式：y = a(x−x1)(x−x2) (a≠0) 3 顶点在x轴上：y = a(x−h)² (a≠0) 顶点在y轴上：y = ax² + k (a≠0) 顶点为原点：y = ax² (a≠0) 已知抛物线上的任意三点 已知抛物线与x轴的交点 已知抛物线的顶点 o x y o x y 二次函数的形式 o x y o x y o x y o x y 顶点式 交点式 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以6:5战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．求这条抛物线的表达式． 解：由题意可得：点B的横坐标为 ， 设这条抛物线的表达式为 ， 将 ， 代入解析式得 ， 解得 ，∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面2 m，水平地面上的点O，B之间的距离为3 m．(1)求该抛物线的函数表达式； (1)解：由题意， ， ， 设该抛物线的函数表达式为 ． 将点A，B代入，得 ， 解得 ， ∴该抛物线的函数表达式为 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1.28 m，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (2)解：由(1)知，抛物线的函数表达式为 ， 当 时，得 ， 解得 ， ， ∴ ， 活动区域在水平方向上的最大宽度为1.8 m． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面CPD可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度AB=24米，竖直支撑AC=BD=1米，最高点P到AB的距离为5米； 素材3：两灯笼ME，NF之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线(直线OP)为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：由题意可知，点D(12,1)，P(0,5)． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为 ， 将点D(12,1)代入得， ， 解得 ， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为 ； (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若 米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． (2)解：由题意知 ， ，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当 时， ， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为3.5米． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘OPA两翼端点的水平距离OA=160 m，沙丘弧顶最高点P到OA的距离为64 m，抛物线的对称轴垂直于OA，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨(M、N在抛物线上，点M在点N的左侧). (1)求抛物线状沙丘OPA的函数表达式； (1)解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为 ， 故设抛物线的函数表达式为 ． 将点 代入，得 ，解得 ， ∴抛物线状沙丘的函数表达式为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 轴于点E ， 轴于点F，若 ，求M、N两点之间的距离． (2)解：令 ，得 ， 解得 ， ， ∴ ， ∴M、N两点之间的距离为110 m． 1. 返回 [连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为________m. 8 举一反三 17 返回 2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 举一反三 返回 3. [广东中考]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式． 举一反三 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)， 即A(0.85，0.18)． 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.001 5， 将A(0.85，0.18)的坐标代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝ ， ∴该抛物线的解析式为y＝ x2＋0.001 5. (建立平面直角坐标系不唯一，所求解析式不唯一) 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门 (1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的解析式为： ， ∵经过点 ， ，解得： ， 抛物线的解析式为 ， 当 时， ，∴不能射进球门； （忽略其他因素）； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ (2)解：设向后方移动n m ，则移动后的抛物线的解析式为： ， ∵经过点 ， ，即 ， 或 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴向后移动1m才能让足球经过点O正上方2.25m处． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为x轴，1 dm为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线 的一部分，点P从点M(6,n)处出手，矩形ABCD为壶, ， ， .如图 ， ，若点M为抛物线的顶点，且抛物线经过点N(16,9) ． (1)求抛物线的解析式； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)求抛物线的解析式； (1)解： 由题意，设抛物线的解析式为 ， ∵过点 代入得： ， ∴ ， 抛物线解析式为 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：抛物线经过点 时， ，∴ ， 抛物线经过点 时， ， ， 当 时，P落在BC上． (2)竖直提高点P的出手位置（点M），使点P落在BC上（不含边界），求n的取值范围． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1）,其截面（如图2）由矩形ABCD和抛物线的一部分DMC构成（点M为最高点）, A,B在水平地面上，曲线ADMCB为大棚外沿，CD为大棚的加固钢架．以AB所在的直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系．已知AB=20 m，AD=2 m大棚最高点M到水平地面的距离为8 m． (1)求曲线DMC所在抛物线的表达式． (1)解：由题意可知， ． 设曲线DMC所在抛物线的表达式为 ， 代入，得 ，解得 ， ∴曲线DMC所在抛物线的表达式为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架EF,EH,GF，其中点E,F在曲线上DMC（点F在点E右侧且不与点C重合），点H,G在AB上，且四边形EFGH为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米． (2)解：设点F的坐标为 的长度之和为w m，可得 ， 则 ． ，∴当 时，取最大值 ， 答：三条钢架的长度之和最多是 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面5 m且与地面平行的一条直线上，每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过3 m，最外侧的2个补光灯安装在曲线DMC上．求至少需要安装几个补光灯（参考数据： ）． (3)解：当 时， ，解得 ， ∴最外侧的2个补光灯之间的距离为 ，约为 ． ∵每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过 ， 如果中间安装3个补光灯，检验： ，不符合要求； 如果中间安装4个补光灯，检验； ，符合要求； 如果中间安装5个补光灯，检验： ，符合要求． 综上可知，至少要安装6个补光灯． 返回 4. [唐山路北区期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(　　) A．5秒 B．10秒 C．1秒 D．2秒 D 举一反三 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s＝－5t2＋30t，遇到刹车时，汽车从刹车到停下来共用了________． 5. 返回 3 s 举一反三 某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)近似满足函数关系y＝ax2＋bx(a≠0)．由电子监测获得滑行时间x与滑行距离y的几组数据如下： 返回 6. 滑行时间x/s 0 2 4 6 8 10 滑行距离y/m 0 114 216 306 384 450 (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式y＝ax2＋bx(a≠0)； 举一反三 返回 解：根据表格可以得出函数图象过点(2，114)，(4，216)， 举一反三 (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 解：根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来， 此时滑行距离y取得最大值， ∴飞机着陆后滑行600 m才能停下来，此时滑行的时间是20 s. 返回 举一反三 7. [石家庄期中]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8 cm，杯底CD＝4 cm，且AB∥CD，杯深12 cm.如图②，将盛有部分水的该水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即∠ABP＝45°)．嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：图①中，玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2－16； 结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5 cm. A．Ⅰ不对，Ⅱ对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 B 返回 举一反三 返回 8. [保定一模如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2 m的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知A点距离地面2 m，窗上沿B距离地面14 m. (1)以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； 举一反三 解：由题意知A(0，2)，B(2，14)， 设水流抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋14， 把A(0，2)的坐标代入，得2＝a(0－2)2＋14，解得a＝－3， ∴水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14. 返回 举一反三 返回 (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6 m处，且比窗上沿B低2 m的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？(不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据： ≈2.45，结果精确到0.1 m) 举一反三 解：由题意知，失火中心点坐标是(2.6，12)． 方案一：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当x＝2.6时，y＝－3×(2.6－2)2＋14＝12.92， 即抛物线向下平移12.92－12＝0.92(m)≈0.9 m， 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当y＝12时，12＝－3(x－2)2＋14， 返回 举一反三 返回 ∴抛物线向左平移2.817－2.6＝0.217(m)≈0.2 m， 抛物线正好经过失火中心． ∴消防员把喷水头向下平移0.9 m或向左平移0.2 m， 可以使水流刚好落在失火中心． 举一反三 返回 9. [陕西中考]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线L1的函数解析式； 举一反三 返回 解：∵BO＝4 m，∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0，4)． 设抛物线L1的函数解析式为y＝a(x－0)2＋4. ∵AC＝16 m，∴结合二次函数图象的对称性得A(－8，0)， C(8，0)， 将C(8，0)的坐标代入y＝a(x－0)2＋4， 举一反三 (2)已知抛物线L3的函数解析式为y＝ (x－4)2，NQ＝ m，求MN的长． 整理得x2－12x＋36＝0，(x－6)2＝0，解得x1＝x2＝6， ∵点M，N在L1上，MN∥AC，∴MN＝2×6＝12(m)． 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 抛物线形问题与二次函数 回归 建立恰当的直角坐标系 实际问题 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 数学模型 转化 实物中的抛物线形问题 二次函数的图象和性质 关键 拱桥问题 喷泉问题 球类轨迹问题 ...... 谢谢观看 THANKS A， ∴解得 ∴函数关系式为y＝－x2＋60x. ∵y＝－x2＋60x，且－<0，∴当x＝－＝20时，y取得最大值，最大值为－×202＋60×20＝600，　 解得x1＝2＋，x2＝2－(舍去)， ∵2＋≈2.817， 得0＝64a＋4，则a＝－，∴y＝－x2＋4. － 解：由(1)得抛物线L1的函数解析式为y＝－x2＋4. ∵NQ⊥AC，抛物线L3的函数解析式为y＝－(x－4)2， ∴NQ＝yN－yQ＝－x2＋4－＝， $