26.4 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题（课件）--2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹问题，通过生活中拱桥、喷泉等实例导入，连接二次函数解析式与性质，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过拱桥水位变化、铅球轨迹等案例引导建立坐标系、推导解析式，培养数学眼光与建模意识。分层练习题结合中考真题，跟踪训练用两种方法判断船能否通过，发展数学思维。课堂小结提炼“审设列解检答”步骤，助学生用数学语言表达问题，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.4 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 抛物线形实物及运动轨迹问题专项练习 （人教版数学九年级上册 26.4 第3课时） 一、基础知识点梳理 本节课重点利用二次函数模型解决抛物线形实物、运动轨迹实际问题，是二次函数综合应用的重要题型。常见场景包括拱桥、隧道、投篮轨迹、抛射物体运动等。解题核心步骤：建立平面直角坐标系，优先将抛物线顶点、端点落在坐标轴上简化计算；根据已知点坐标，用顶点式或一般式求出抛物线解析式；利用解析式求解高度、宽度、距离、最值等实际问题。解题关键：结合实际意义取舍自变量，图象最高点对应物体最大高度，端点坐标对应实物边界或落点位置。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 某拱桥为抛物线形，顶点在原点，开口向下，解析式为y=-0.02x²，则桥面最高点坐标为________。 2. 篮球投篮轨迹满足y=-0.1(x-2)²+3，篮球飞行的最大高度为________m。 3. 抛物线形隧道解析式y=-0.05x²+3，当x=0时，隧道最大高度为________m。 4. 物体抛射轨迹y=-0.2x²+1.6x，抛物线对称轴为直线________，对应物体飞行最高点水平位置。 5. 已知拱桥抛物线过(-10,0)、(10,0)、(0,4)，则拱桥的最大高度为________m，拱桥跨度为________m。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 研究抛物线形实物问题首要步骤是（） A. 测量实物尺寸 B. 建立平面直角坐标系 C. 直接计算长度 D. 估算数值 2. 物体飞行轨迹y=-0.3(x-4)²+5，下列说法正确的是（） A. 最大高度4m B. 最大高度5m C. 落地横坐标4 D. 开口向上 3. 抛物线拱桥解析式y=-0.04x²+2.5，拱桥的最大高度为（） A. 0.04m B. 2.5m C. 5m D. 10m 4. 若抛射轨迹抛物线开口向下，说明物体运动状态为（） A. 持续升高 B. 先升高后降落 C. 持续降落 D. 匀速运动 5. 已知抛物线隧道y=-0.06x²+2.1，车辆通行的最大安全高度为（） A. 2.1m B. 0.06m C. 1.5m D. 无法确定 （三）解答题（共60分） 1.（20分）一座抛物线形拱桥，建立坐标系，顶点在原点，开口向下，拱桥跨度20m，最大高度5m。（1）求拱桥抛物线解析式；（2）求距离桥中点5m处的桥身高度。 2.（20分）篮球投篮轨迹可看作抛物线，篮球出手点坐标(0,2)，最高点坐标(4,3.6)。（1）求抛物线解析式；（2）求篮球落地时的水平距离。 3.（20分）平抛物体的运动轨迹为抛物线y=-0.1x²+0.8x+1。（1）求物体飞行的最大高度；（2）求物体从抛出到落地的水平飞行距离。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. (0,0) 解析：顶点在坐标原点，为拱桥最高点。 2. 3 解析：顶点纵坐标即为轨迹最大高度。 3. 3 解析：x=0时取最大值，为隧道最高高度。 4. x=4 解析：对称轴x=-b/2a=1.6÷0.4=4。 5. 4、20 解析：顶点纵坐标为最大高度，左右交点间距为跨度。 （二）选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.A （三）解答题 1. 解：（1）设解析式y=ax²，代入(10,0)、(0,5)得y=-0.05x²+5；（2）x=5时，y=3.75m，此处桥高3.75m。 2. 解：（1）设顶点式y=a(x-4)²+3.6，代入(0,2)得a=-0.1，解析式y=-0.1(x-4)²+3.6；（2）令y=0，解得x=10，落地水平距离10m。 3. 解：（1）配方得y=-0.1(x-4)²+2.6，最大高度2.6m；（2）令y=0，取正根x≈9.05m，水平飞行距离约9.05m。 （字数：1012） 情境导入 1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点) 2. 利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点) 3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策． 学习目标 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等． 生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？ 怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？ 情境导入 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m. 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系（如图）. 探究新知 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 设这条抛物线表示的二次函数为 y=ax2. 由抛物线经过点 (5,-4)，可得 -4=a×52. 解得 a= 因此，这条抛物线对应的二次函数为 y=x2. y/m x/m 探究新知 当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为-3. 令 -3， 解得 ， 所以这时水面的宽度为 8.7（m ）. y/m x/m 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 探究新知 1. 返回 [连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为________m. 8 举一反三 7 返回 2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 举一反三 2. 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：方法一 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2m, ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当x=2时，y=﹣x2=﹣. ∵﹣> -1， ∴ 这艘船能从这座拱桥下通过. y=x2 跟踪训练 探究新知 2. 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：方法二 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2 m， ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当﹣x2=﹣1时， 解得x1=，x2=﹣. ∵ x1-x2=5>4, ∴这艘船能从这座拱桥下通过. y=x2 跟踪训练 探究新知 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高+0.5），看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小）. 探究新知 1.如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据， 若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建 立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为 ⁠ ⁠. y＝－ x2　 当堂检测 2. [一材多题]小明在校运动会上掷铅球. (1)第1次掷球时，铅球行进高度h(m)和飞行时间t(s) 满足的函数解析式为h＝－t2＋t＋，则当铅球距 离地面的高度最大时，飞行时间为 s. 2　 当堂检测 (2)第2次掷球时，如图，铅球行进高度y(m)与水平 距离x(m)之间的函数解析式为y＝－(x＋1)(x－7)， 铅球落到A点处，则OA＝ m. [等价设问]小明此次掷球的成绩是 m. 7　 7　 当堂检测 3.跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳 的手间距为4m，距地面均为1m，丙、丁两名同学 分别站在距甲同学拿绳的手水平距离1m，2.5m处. 绳子在甩到最高处时，刚好通过他们的头顶.已知丙 同学的身高是1.5m，建立如图所示的直角坐标系， 请你算一算丁同学的身高. 当堂检测 解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点. 代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋. ∵丁同学头顶的横坐标为1.5， ∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625，即丁同学的身 高为1.625m. 解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点. 代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋. ∵丁同学头顶的横坐标为1.5， ∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625， 即丁同学的身高为1.625m. 当堂检测 返回 3. [广东中考]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式． 举一反三 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)， 即A(0.85，0.18)． 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.001 5， 将A(0.85，0.18)的坐标代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝ ， ∴该抛物线的解析式为y＝ x2＋0.001 5. (建立平面直角坐标系不唯一，所求解析式不唯一) 返回 举一反三 返回 4. [唐山路北区期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(　　) A．5秒 B．10秒 C．1秒 D．2秒 D 举一反三 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s＝－5t2＋30t，遇到刹车时，汽车从刹车到停下来共用了________． 5. 返回 3 s 举一反三 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 二次函数模型 抛物线形问题 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS A， $