专题6 二次函数应用题专项 单元复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题6 二次函数应用题专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 3 【题型1 图形问题】 3 【题型2 图形运动问题】 11 【题型3 拱桥问题】 17 【题型4 销售问题】 21 【题型5 投球问题】 23 【题型6 喷水问题】 27 【题型7 增长率问题】 30 【题型8 其他问题】 33 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 37 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 56 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・从实际情境提取等量关系，列二次函数解析式，确定自变量取值范围。 ・利用顶点求最值，结合自变量范围判断最值（顶点或区间端点）。 ・销售利润模型：价量变化，构建利润函数求解最大利润。 ・几何面积模型：边长约束，建立面积与边长的函数关系。 ・根据函数值反求自变量，检验结果是否符合实际意义。 ・基础命题：简单面积、利润模型，直接列式求顶点最值；解答基础小问，难度偏低。 ・综合命题：价量联动、边长限制，自变量有边界，需要比较端点与顶点；中档解答题，考查建模与区间最值。 ・素养命题：真实生活情境，条件较多，弱化固定套路，重点考查数学建模。 考情解码： ・模块地位：二次函数核心应用，承接一元二次方程应用题，中考函数必考应用题型。 ・考频与分值：月考期中期末必考；中考中档解答题，分值 8–10 分。 ・高频考法：销售利润最值；几何面积最值；给定函数值反向求变量。 ・失分规律：忘记标注自变量取值范围；直接套用顶点，忽略区间端点；价量增减关系写反；解出结果不检验实际意义，忽略自变量范围是最主要丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 图形问题】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小确定最佳方案即可． 【详解】解：方案1：设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米， 矩形的面积为， 则矩形面积的最大值为； 方案2：过点作， 设长为，， 由勾股定理得， 等腰三角形的面积为， 则， 令得：， 因此，等腰三角形的面积最大值为； 方案3：设半圆的半径为，半圆的弧长为， 由围栏长度得，解得， 则半圆的面积为， 取，则， 由于， 因此，最佳方案是方案3， 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 【变式1-2】（八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边，上的点（不与A，D，C重合），其中，过点E，F分别作的平行线交，于G，H两点，顺次连接E，F，H，G四点．甲，乙，丙三位同学给出了三个结论： 甲：随着长度的变化，可能存在； 乙：随着长度的变化，四边形的面积存在最大值，不存在最小值； 丙：当四边形的面积是菱形的面积的一半时，四边形一定是正方形．下列说法正确的是（   ）      A．甲，乙，丙都对 B．甲，丙对，乙不对 C．甲，乙对，丙不对 D．甲不对，乙，丙对 【答案】C 【分析】证明四边形为矩形，得出，当时，，根据，得出，得出当为中点时，为中点，此时，根据四边形为矩形，，得出，判断甲正确； 设，，则，，，，则，，得出，，，，证明，得出，即，得出，求出，根据，得出有最大值，根据E、F不与A，D，C重合，得出四边形无最小值，判断乙正确； 根据当、分别为、中点时，、H分别为、中点，得出，，求出，但，，此时矩形不是正方形，判断丙错误． 【详解】解：∵四边形为菱形，如图，    ∴平分，，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴当时，， ∵，   ∴， ∴当为中点时，为中点， ∴此时， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，故甲正确； ∵，， ∴设，，则，， 设，，则，， ∵，， ∴四边形为平行四边形，   ∴，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵E、F不与A，D，C重合， ∴四边形无最小值，故乙正确； 当、分别为、中点时，、H分别为、中点， ∴，， ∴， 但， ∴， ∴此时矩形不是正方形，故丙错误； 综上分析可知，甲，乙对，丙不对，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和判断，菱形性质，中位线性质，三角形相似的性质，二次函数应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和性质，证明四边形为矩形． 【变式1-3】（九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，然后证明≌，则，，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出的长度． 【详解】解：根据题意， ∵， 令，则，， ∴点A的坐标为：， 过点C作轴，垂足为E，过点D作，交延长线于点F，设点，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：，； ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点B的横坐标为， ∴的长度为； 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【题型2 图形运动问题】 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出函数解析式，然后进行判断即可． 【详解】解：∵正方形中， ∴，，， 当在左侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向上，顶点在原点的抛物线的一部分； 当在右侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向下，顶点在的抛物线的一部分； 综上，y关于x的函数图象大致是选项C中的函数图象． 【变式2-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴， ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象D符合题意． 【变式2-2】（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津·期末）如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，列方程求解，当为直角三角形时，的值；证得，根据全等三角形的性质得到、，再列式计算；根据，结合面积关系列出方程求解即可． 【详解】解：是等边三角形 ，为直角三角形 ， 故①正确； 过点Q作于点H，如图： 、、 ， 、、 、 即， 故②③正确； 解得或（舍去） 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：D． 【题型3 拱桥问题】 【例3】（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的函数表达式和水面宽度求出水面的纵坐标，进而得到水面离桥拱顶的高度． 【详解】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行， ，关于轴对称， ， ，， 将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为， 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降． 故选：C． 【题型4 销售问题】 【例4】（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元， 由题意得，， ∵， ∴当，即时，w最大，最大值为1800， ∴售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误； 当时， ， ∴售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确； 当时， ， 当时， ， ∴售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确； 故选：C． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是元/件，下列说法错误是（   ） A．销售量可以表示为 B．销售额可以表示为 C．所获利润可以表示为 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用.能根据题意得出等量关系，根据等量关系列出函数关系式是解决此题的关键，根据销售量原销量多经销的销量即可列出关系式即可判断A；根据销售额销售量批发单价列出关系式即可判断B；根据所获利润销售量×单利润即可列出函数关系式即可判断C；再根据二次函数的性质即可求出所获利润有最大值，即可判断D． 【详解】解：根据题意： A、销售量可以表示为：，故选项A正确，不符合题意； B、销售额可以表示为：，故选项B错误，符合题意； C、所获利润可以表示为：，故选项C正确，不符合题意； D、所获利润可以表示为：，则当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．由“每天的利润每日销售量每盒利润”可列出y与x之间的函数表达式． 【详解】解：由题知：日销售量为盒， 每盒利润为元， ， 故选：D． 【题型5 投球问题】 【例5】（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 【变式5-1】（九年级上·河南周口·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度时，．其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，或，故④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型． 【变式5-2】（九年级下·福建福州·期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是 B． C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网并会出界 【答案】D 【分析】根据顶点式的特征即可判断A选项；将点代入函数解析式中即可求得的值，即可判断选项；分别求出和的函数值，再分别和、比较大小即可判断、选项． 【详解】解：球的运行的高度与运行的水平距离满足关系式， 当时，取得最大值， 运行的最大高度时，故A错误； 球从点正上方的A处发出， 的图象经过点， ， 解得：，故B错误； 当时，， ， 球会过球网， 当时，， ， 球会出界，故C选项错误，D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握用待定系数求二次函数解析式以及将实际问题转化为二次函数问题是解题关键． 【变式5-3】（九年级上·云南昆明·期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球离地面高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论不正确的是（    ） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球在第9秒时落地 C．足球距离地面的最大高度为20米 D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降 【答案】C 【分析】先根据表格中的数据运用待定系数法求出足球离地面高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的函数关系式，再根据函数图象与性质求解即可 【详解】解：设足球离地面高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的函数关系式为：， 把代入得， ， 解得， ∴ A. ，足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A说法正确，不符合题意； B. 对于，令，得，解得，，所以，足球在第9秒时落地，故选项B说法正确，不符合题意； C. 中，，抛物线开口向下，有最大值为，即足球距离地面的最大高度为米，故选项C说法错误，符合题意； D.抛物线开口向下，对称轴为直线，所以足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降说法正确，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 【题型6 喷水问题】 【例6】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 【变式6-1】（九年级上·山东德州·期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确， 当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误 当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式6-2】（九年级上·山西吕梁·期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是(   )    A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 【答案】B 【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3， 把A（0，2.25）代入，得 2.25=a+3， a=-0.75． ∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3． 当y=0时， 0=-0.75（x-1）2+3， 解得：x1=-1（舍去），x2=3． OB=3米． 故选：B． 【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式． 【变式6-3】（九年级下·全国·期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确； ∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误； 解方程﹣x2+2x+=0， 得x1=﹣，x2=， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确． 故选C． 【点睛】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 【题型7 增长率问题】 【例7】（八年级上·全国·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∴第一次降价后的价格是a×(1−x)， 第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2 ∴y=a(1−x)2. 故选D. 【变式7-1】（八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式7-2】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一月份生产汽车200辆，二、三月份的增产率均为，三月份的产量为， ∴二月份的产量为， ∴三月份的产量为， ∴与的函数解析式为． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【题型8 其他问题】 【例8】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，若“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数解析式，当“水火箭”升空的高度为时，它飞行的时间t为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】令，则，解方程即可． 【详解】解：令，则， 解得，． 【变式8-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据垂线段最短，得到当垂直时，最小，结合，即当时，，构造直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出和的值，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：由题意，当垂直时，最小，此时； ∵图象过点， ∴当时，， 如图，构造直角三角形，其中，，，则， ∴， ∴，即； ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵图象经过和两点， ∴关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，，当时，， 故图象与轴交点的纵坐标为221，点不在该函数图象上； 综上：只有C选项正确. 【变式8-2】（2026·四川成都·二模）成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】C 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】 解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D正确，不符合题意． 【变式8-3】（2025·河南信阳·三模）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 【答案】C 【分析】设，鸭舍的面积为，则，根据矩形面积公式列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 2.（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点A出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为（）．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线l，直线l扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映y与x之间函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别画出对应的示意图求出对应的函数关系式，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设该同学在点，直线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴； 如图所示，当时， ∵直线与垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作于点H，于点G， 同理可得，， ∴； 如图所示，当时，， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 如图所示，当时，， 同理可得， ∴， ∴ ； 综上所述，能反映y与x之间函数关系的图象是A选项中的图象． 3．（26-27九年级上·湖北·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设矩形一边长为，再结合周长表示另一边长，从而得到面积的二次函数表达式，接着配方求出矩形的最大面积为，根据面积不能超过最大值，对比选项选出答案． 【详解】解：设这个矩形的一条边长为，面积为， ∵这个矩形的周长是， ∴另一边长为：， ∴， ∵， ∴当为时，矩形面积最大，最大面积为：， ∴， 选项C ：，符合题意． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 5．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 7．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系， 由题意得，，，， 设经过A、B、三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、B、三点的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 故选：C． 8.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，某社区计划修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离在米处达到最高，最高为米，水管的长度为米，水柱落地处离池中心的距离为___________米． 【答案】3 【分析】根据题意可知抛物线顶点坐标为，且经过点，设顶点式求出解析式，令即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵水管的长度米，抛物线经过点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， 解得，（舍去）， ∴水柱落地处离池中心的距离为米． 9．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）若飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后，滑行________m才能停下来． 【答案】600 【分析】飞机着陆后停下来时滑行距离达到最大，因此只需要求出给定二次函数的最大值即可． 【详解】解：， 整理得， ∵， ∴有最大值，当时，取得最大值，即飞机滑行后停下来． 10．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称两点求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 11．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）实心球是湖州市中考体育考试选测项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从轴上的点处出手．实心球行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系为，那么该男生本次投掷可得________________________分．（参考数据：） 湖州市体育中考评分标准（实心球男） 掷实心球（） 分值（分） 注：掷实心球距离为（），当，得分，当，得分，当，得分…依次类推，当时，得分． 【答案】9 【分析】将代入，求出抛物线的表达式，再求出时x的值，即可知该男生投掷实心球的水平距离，对照表格即可知该男生投掷实心球的得分． 【详解】解：将代入， 得， ∴， ∴， 当时，， 解得：，（舍去）， ∴该男生投掷实心球的水平距离为9.64米， ∵， ∴该男生本次投掷可得9分． 12．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：单价每涨价1元，月销售量就减少 (1)填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为　　　　　元，月销售量可以表示为　　　　　，月销售利润（单位：元）与x之间的函数关系式为　　　　　； (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)，， (2)当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元 【分析】（1）根据利润售价成本；月销售量原来的销售量减少的数量；总利润单个利润总数量进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论将二次函数配方成顶点式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润为元，月销售量可以表示为， ∴月销售利润y与x之间的函数关系式为； （2）解：， ， 当时，y最大为，此时的销售价（元）， 当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元． 13．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）某学校劳动研学实践基地现有苹果树100棵，研学小组计划增种一批苹果树，以此探究果树种植数量与产量之间的关系．经查阅基地监测数据：若增种苹果树，果树之间的间距变小，光照、养分被分摊，单棵苹果树产量会随之下降．已知单棵苹果树的产量（千克）与增种苹果树的数量（棵）满足函数关系： (1)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，研学基地可以收获果实8250千克？ (2)当增种果树多少棵时，基地的总产量（千克）最大？最大产量是多少？ 【答案】(1)增种果树棵时，研学基地可以收获果实8250千克； (2)增种果树棵时总产量最大，最大产量为千克． 【分析】（1）根据增种后的果树棵数和单棵产量列一元二次方程求解即可； （2）先根据题意得出关于的二次函数，再根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 整理得，， 解得：，， 在投入成本最低的情况下， ， 答：增种果树棵时，研学基地可以收获果实8250千克； （2）解：由题意可得，， ，， 当时，有最大值为， 答：增种果树棵时总产量最大，最大产量为千克． 14．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分三种情况讨论上的最小值，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提， ∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值： 时，； 时，； 由于， ， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ， 的取值范围为． 15．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台的高度为，火炬的高度为，距发射台的水平距离为，在处的发射装置向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度时，相应的水平距离为．请你判断该火球能否点燃目标？并说明理由． 【答案】该火球能点燃目标，理由如下： 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点，点， 设此抛物线的解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 此抛物线对应的函数解析式为， 当时，， 该火球能点燃目标． 【分析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点，点，设此抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线解析式，求出当时的值，与点纵坐标比较即可判断． 【详解】略 16．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） (1)求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少； (3)求花圃的最大面积． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)花圃的最大面积为 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出函数关系式，根据矩形的边长为正数，以及与墙平行的边的长度不能超过墙长，求出自变量的范围即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时， 解得（舍去）或； 答：的长为； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大为； 故花圃的最大面积为. 17．（26-27九年级上·广东·阶段检测）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出的值． （2）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得：， 解得． （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况：①当对称轴时，即， 当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， ②当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） ③当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 当与离对称轴直线一样近时， 则， 解得， ∴当时， 当或时， 此时，故舍去； 综上：或． 18．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 57 页 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题6 二次函数应用题专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 图形问题】 4 【题型2 图形运动问题】 5 【题型3 拱桥问题】 7 【题型4 销售问题】 8 【题型5 投球问题】 9 【题型6 喷水问题】 11 【题型7 增长率问题】 12 【题型8 其他问题】 13 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 15 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 23 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・从实际情境提取等量关系，列二次函数解析式，确定自变量取值范围。 ・利用顶点求最值，结合自变量范围判断最值（顶点或区间端点）。 ・销售利润模型：价量变化，构建利润函数求解最大利润。 ・几何面积模型：边长约束，建立面积与边长的函数关系。 ・根据函数值反求自变量，检验结果是否符合实际意义。 ・基础命题：简单面积、利润模型，直接列式求顶点最值；解答基础小问，难度偏低。 ・综合命题：价量联动、边长限制，自变量有边界，需要比较端点与顶点；中档解答题，考查建模与区间最值。 ・素养命题：真实生活情境，条件较多，弱化固定套路，重点考查数学建模。 考情解码： ・模块地位：二次函数核心应用，承接一元二次方程应用题，中考函数必考应用题型。 ・考频与分值：月考期中期末必考；中考中档解答题，分值 8–10 分。 ・高频考法：销售利润最值；几何面积最值；给定函数值反向求变量。 ・失分规律：忘记标注自变量取值范围；直接套用顶点，忽略区间端点；价量增减关系写反；解出结果不检验实际意义，忽略自变量范围是最主要丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 图形问题】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边，上的点（不与A，D，C重合），其中，过点E，F分别作的平行线交，于G，H两点，顺次连接E，F，H，G四点．甲，乙，丙三位同学给出了三个结论： 甲：随着长度的变化，可能存在； 乙：随着长度的变化，四边形的面积存在最大值，不存在最小值； 丙：当四边形的面积是菱形的面积的一半时，四边形一定是正方形．下列说法正确的是（   ）      A．甲，乙，丙都对 B．甲，丙对，乙不对 C．甲，乙对，丙不对 D．甲不对，乙，丙对 【变式1-3】（九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点 的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则 长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【题型2 图形运动问题】 【例2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（25-26九年级上·天津·期末）如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 拱桥问题】 【例3】（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【变式3-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【题型4 销售问题】 【例4】（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是元/件，下列说法错误是（   ） A．销售量可以表示为 B．销售额可以表示为 C．所获利润可以表示为 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 【变式4-2】（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 【题型5 投球问题】 【例5】（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（九年级上·河南周口·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度时，．其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【变式5-2】（九年级下·福建福州·期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是 B． C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网并会出界 【变式5-3】（九年级上·云南昆明·期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球离地面高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论不正确的是（    ） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球在第9秒时落地 C．足球距离地面的最大高度为20米 D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降 【题型6 喷水问题】 【例6】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（九年级上·山东德州·期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 【变式6-2】（九年级上·山西吕梁·期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是(   )    A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 【变式6-3】（九年级下·全国·期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 增长率问题】 【例7】（八年级上·全国·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式7-2】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【题型8 其他问题】 【例8】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，若“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数解析式，当“水火箭”升空的高度为时，它飞行的时间t为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 【变式8-2】（2026·四川成都·二模）成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【变式8-3】（2025·河南信阳·三模）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 2.（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点A出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为（）．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线l，直线l扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映y与x之间函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖北·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 5．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 7．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，某社区计划修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离在米处达到最高，最高为米，水管的长度为米，水柱落地处离池中心的距离为___________米． 9．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）若飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后，滑行________m才能停下来． 10．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 11．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）实心球是湖州市中考体育考试选测项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从轴上的点处出手．实心球行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系为，那么该男生本次投掷可得________________________分．（参考数据：） 湖州市体育中考评分标准（实心球男） 掷实心球（） 分值（分） 注：掷实心球距离为（），当，得分，当，得分，当，得分…依次类推，当时，得分． 12．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：单价每涨价1元，月销售量就减少 (1)填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为　　　　　元，月销售量可以表示为　　　　　，月销售利润（单位：元）与x之间的函数关系式为　　　　　； (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 13．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）某学校劳动研学实践基地现有苹果树100棵，研学小组计划增种一批苹果树，以此探究果树种植数量与产量之间的关系．经查阅基地监测数据：若增种苹果树，果树之间的间距变小，光照、养分被分摊，单棵苹果树产量会随之下降．已知单棵苹果树的产量（千克）与增种苹果树的数量（棵）满足函数关系： (1)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，研学基地可以收获果实8250千克？ (2)当增种果树多少棵时，基地的总产量（千克）最大？最大产量是多少？ 14．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 15．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台的高度为，火炬的高度为，距发射台的水平距离为，在处的发射装置向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度时，相应的水平距离为．请你判断该火球能否点燃目标？并说明理由． 16．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） (1)求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少； (3)求花圃的最大面积． 17．（26-27九年级上·广东·阶段检测）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 18．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 57 页 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $