专题 26.11 二次函数复习专题（6）——二次函数区间最值问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二次函数区间最值问题，以“对称轴与区间位置关系”为核心，整合核心原理、三类必考模型、通用口诀及易错点，形成“原理-模型-方法-避错”的递进知识脉络，突出动轴定区间、定轴动区间等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分聚焦定轴定区间常规求解，综合提升突破动轴定区间求参数范围等压轴题，通过“距离法快速比较最值”等技巧培养推理能力。同步检测覆盖选择、填空、解答题，适配不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题 26.11 二次函数复习专题（6）——二次函数区间最值问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】区间最值核心原理 1 【知识点2】三类必考区间最值模型 2 【知识点3】最值判定通用口诀 2 【知识点4】高频易错总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】定轴定区间常规最值求解 3 【题型2】区间单调最值求解 5 三.题型精析（综合提升） 9 【题型3】动轴定区间求参数范围 9 【题型4】定轴动区间求参数范围 12 【题型5】距离法快速比较最值 18 四.同步检测 21 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 32 一.知识梳理 【知识点1】区间最值核心原理 二次函数在全体实数范围内，最值仅在顶点处取得；若限定自变量取值区间，函数最值不一定在顶点，核心由对称轴与区间的相对位置决定。 1. （开口向上）：顶点为最小值点，自变量离对称轴越远，函数值越大； 2. （开口向下）：顶点为最大值点，自变量离对称轴越远，函数值越小。 【要点提示】 1. 求解区间最值，必须对比顶点、区间左右端点的函数值，不可直接默认顶点为最值； 2. 闭区间同时存在最大值和最小值，开区间无端点最值，仅顶点在区间内时有唯一最值； 3. 顶点是否落在自变量区间内，是区间最值分类讨论的核心分界点。 【知识点2】三类必考区间最值模型 模型1 定轴定区间（基础题型） 对称轴、自变量区间均固定，分三种情况： 1. 对称轴落在区间内部：一个最值在顶点，另一个最值在区间端点； 2. 对称轴在区间左侧：函数在区间内单调，最值仅在区间两端点； 3. 对称轴在区间右侧：函数在区间内单调，最值仅在区间两端点。 模型2 动轴定区间（含参压轴题型） 对称轴含参数可左右移动，自变量区间固定，需根据最值位置，分对称轴左、中、右三段分类讨论，反向推导参数取值范围。 模型3 定轴动区间（拔高压轴题型） 对称轴固定，自变量区间含参数可平移，通过讨论区间与对称轴的相对位置，求解参数范围与对应最值。 【要点提示】 1. 动轴、动区间题型必须完整分类讨论，遗漏情况会导致解题错误； 2. 可通过“距离法”快速判断区间端点函数值大小，简化计算； 3. 题干给定自变量取值范围，必须严格限定定义域，不可默认全体实数。 【知识点3】最值判定通用口诀 开口向上：轴内顶点最小，远端最大；轴外单调增减； 开口向下：轴内顶点最大，远端最小；轴外单调增减。 【要点提示】 远端即区间端点中，到对称轴距离更远的一侧端点。 【知识点4】高频易错总结 1. 切勿默认顶点为区间最值，必须结合自变量区间位置判断； 2. 闭区间有完整最值，开区间可能无最值，需区分区间类型； 3. 含参分类讨论时，边界值必须准确包含等号，避免漏解、错解。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】定轴定区间常规最值求解 解题技巧：配方求出对称轴与顶点，分别计算顶点、区间两端点函数值，对比得出最值。 【例题1】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 【答案】当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质． 把二次函数化为顶点式，可知图象的开口方向和对称轴，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，求解即可． 解：∵，， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为4， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 【变式1】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最大值4，再计算出和时对应的函数值，从而得到当时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后计算的值． （1）解：依题意，把，．分别代入， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则， ∵ ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴，， ∴． 【题型2】区间单调最值求解 解题技巧：判断对称轴在区间外侧，函数在区间内全程单调，最值直接取区间端点。 【例题2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． （3）在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数图像及性质： （1）用待定系数法； （2）根据对称轴公式以及函数的单调性确定的取值范围； （3）将函数化为顶点式，得到最小值相等的等式，求出，代入得表达式． （1）解：把代入， 得． （2）解：， 抛物线的开口向上， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大， ， ． （3）解： 二次函数的最小值为， 解得：，（舍）； ， 二次函数的表达式为． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到该抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到对称轴只能在y轴右侧，则．由当时函数的最大值为2，当时，，求出b、c，即可得到答案． 解：由得该抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，则， 由当时，，则， 由得，解得或（舍去）， ∴， 则， 故选：D 【变式2】（2024·浙江宁波·三模）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，当时，，求出，即可得到答案. 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，如图， ∴当时，， 解得， ∴， 故选：D 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可． 【详解】解：当时，， ①当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； ②当且时，即，此时最小值为， 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，， ∴不符合题意； ∴符合题意； 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，，， ∴符合题意，不符合题意， ∴； ③当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或． 故答案为：或． 三.题型精析（综合提升） 【题型3】动轴定区间求参数范围 解题技巧：根据最值出现的位置，锁定对称轴取值范围，列不等式求解参数。 【例题3】（25-26九年级上·山东威海·期中）已知二次函数． （1）试说明：该二次函数的图象与轴必有两个交点． （2）当时，函数有最小值为2，求的值． 【答案】（1）证明：， 当时， ， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）m的值为或4 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据对称轴位置的三种情况，结合函数讨论最小值2时m的值； 解：（1）略 （2）解：二次函数的对称轴为， 且， ∴抛物线开口向上， 分三种情况讨论： 情况一：当时， 即时，函数在上y随着x的增大而增大， 当时，函数取得最小值2， 将代入函数：， 整理得：， 解得或， ， ； 情况二：当，即时函数在顶点处取得最小值， 顶点纵坐标为，由（1）知， 最小值为，但此情况无解； 情况三：当，时，函数在上y随着x的增大而减小， 时，函数取得最小值2， 将代入函数：， 即， 解得或， ， ， 综上：m的值为或 【变式1】（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图象可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．本题主要考查了二次函数图象与性质，解题关键是理解题意，借助函数图象的变化分析求解． 解：函数，且， 该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，该函数有最大值，其最大值为， 若要满足的任意一个的值，都有， 则有，解得， 对于该函数图象的对称轴，的值越小，其对称轴越靠左， 的值越小，满足的的值越小， 当取的最大值，即时，令， 解得，，， 满足的的最大值为， 即的最大值为． 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 由于二次函数开口向上，当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处．通过计算顶点和端点处的函数值，并令其差为5，解方程可得的值． 解：的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，由于，抛物线开口向上，最小值在处，； 最大值在处（因为离对称轴更远），； 由函数y的最大值与最小值的差为5，得：， ， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． （1）若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； （2）当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】（1）．；（2） 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 解：（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 【题型4】定轴动区间求参数范围 解题技巧：顶点最值可取，说明对称轴落在自变量区间内，列不等式组求解参数。 【例题4】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 【变式3】（2025·浙江丽水·一模）已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)直线 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． （1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）令a分别等于，得出，，联立两个式子得出，根据，的值与a无关，得出，求出x的值即可； （3）分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：令a分别等于，得： ，， 联立两式子得：， 化简得：， ∵，的值与a无关， ∴， 解得：，， ∴． （3）解：当时，原式：，对称轴为直线， ①当时，，， 根据题意得：， 即， 解得； ②当时，，， 根据题意得：， 即， 解得：； ③当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， ④当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：或． 【题型5】距离法快速比较最值 解题技巧：开口固定时，端点到对称轴距离越远，函数值越大（开口向上）/越小（开口向下）。 【例题5】（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 【变式1】（第14讲　二次函数的图象与性质（测）-备战2021年中考数学一轮复习讲练测（浙江））已知二次函数y＝2x2+4x，当﹣3≤x≤1.5时，该函数的最大值与最小值的差是（　　） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】解析式化成顶点式，即可求得﹣3≤x≤1.5范围内二次函数的最小值，再根据二次函数关于对称轴对称，找到距离对称轴最远的点即可求得当﹣3≤x≤0时，二次函数的最大值，即可解题． 【详解】解：∵y＝2x2+4x＝2（x+1）2﹣2， ∴对称轴为x＝﹣1，且a＝2＞0， ∴当﹣3≤x≤1.5时，x＝﹣1，二次函数有最小值为﹣2， ∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|1.5﹣（﹣1）|＝2.5， ∴当﹣3≤x≤1.5时，x＝1.5时，二次函数有最大值为2（1.5+1）2﹣2＝10.5， ∴10.5﹣（﹣2）＝12.5， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知函数在时有最大值5，则______． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先证明，再求出抛物线对称轴为直线，进而分当时，当时，两种情况利用最大值为5结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，原函数为，不符合题意， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，则当，且当时，函数有最大值， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·山东泰安·期中）二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 2．（2023·陕西咸阳·二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近函数值越小， 当时， ∵当时，函数的最小值为， ∴，解得（舍去）； 当时，则， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时， ， ∴， 解得； 综上所述，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键， 3．（2024九年级下·福建泉州·学业考试）已知二次函数y＝x2﹣2ax＋5，当3≤x≤7时，y在x＝7取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a≤5 C．3≤a≤5 D．a≥5 【答案】B 【分析】抛物线线开口向上，对称轴为直线x＝a，离对称轴距离越远的点的y值越大，据此讨论． 【详解】抛物线y＝x2﹣2ax＋5对称轴为直线x＝a，且开口向上， ∴x＞a时，y随x增大而增大，x＜a时y随x增大而减小， 当7﹣a≥a﹣3时，即a≤5满足题意， ∴a≤5． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数最值问题，解题关键是根据抛物线开口方向及对称轴结合自变量的取值范围进行讨论． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 5．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最大值出现在端点处，再比较端点和顶点的函数值即可．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，函数值的最大值为． 故选：D． 6．（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）当时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数最值求法，根据已知利用a的取值范围进行分析得出是解题关键．根据当时以及当时、当时，函数最小值2，分别求出的值即可． 【详解】解：图象的对称轴为，开口向上， 当时，函数在处取得最小值2，故解得或； 当时，当时，随的增大而增大，此时函数在处取得最小值2，代入函数式，解得，不合题意，此时； 当时，当时，随的增大而减小，此时函数在处取得最小值2，代入函数式，解得或（不合题意舍去）； 故所有可能取值为； 答案为：D． 7．（2025·陕西榆林·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为，最小值为， 又当时，函数的最小值为， ， ，且当时，函数取得最大值， ， 解得：， 综上所述，m的取值范围是． 故选：C． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的增减性和对称性，注意分类讨论是解题的关键．结合二次函数的图象增减性，对称性，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】解：当时， 二次函数的开口向上， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 当时， 二次函数的开口向下， 此时该函数对称轴为直线， 即当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∵二次函数的自变量x的取值范围为， ∴当时，函数有最小值， ∵二次函数（）在时有最小值， ∴， 解得，； 综上，或， 故选：C． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26九年级上·天津东丽·期中）当时，二次函数的最大值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数在给定范围内的最值问题． 由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标在给定范围内，故最大值在顶点处取得． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为， 由于，且， 故当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， ∴m的最大值为2，最小值为1， ∴， ∴m的最大值与最小值的差为1． 故答案为：1． 11．（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当的情况即可． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为， 即时，， 代入，求得， 的值为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）当时，二次函数有最大值，则的值为__． 【答案】6 【分析】现将二次函数解析式化为顶点式，从而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为：直线， ， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值为6 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，能将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键． 13．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值为，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，二次函数的最小值为0，则___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 分两组情况讨论，当 时，则当 时，有最小值求得 当 时，则 时，y有最小解得 即可解题． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线： 若 ，则 当时，y有最小值，解得： 若 ，在时， y随x的增大而减小， 时，y有最小值， 解得：（不合题意，舍去）， 综上： 故答案为：． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可． 【详解】解：当时，， ①当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； ②当且时，即，此时最小值为， 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，， ∴不符合题意； ∴符合题意； 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，，， ∴符合题意，不符合题意， ∴； ③当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或． 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 18．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点． (1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； (3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式求出m的值，即可求得抛物线的解析式； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标； （3）先求出再（2）的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出n的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， 得：， 解得， ∴． （2）解：， ∴，顶点的坐标为， ∵， ∴当时，的最大值为3， 此时点P的坐标为． （3）解：当时，， 当时，函数有最小值3， ∵时，函数的最小值是7， ∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 综上所述，或． 19．（2025·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（）． (1)求二次函数对称轴． (2)若当时，函数的最大值为10，求此二次函数的最小值． (3)抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将两点式化为一般式，直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，得到时，函数取最大值，求出的值，当时，函数取最小值，代入计算即可； （3）根据，得到不关于对称轴对称，进而得到或，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为：； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为：， 解得：或（舍去）； 当时，函数有最小值为：； （3）∵对于，都有， ∴不关于对称轴对称， ∴或， ∴或， ∵，， ∴， ∴或， ∴或． 20．（2025·浙江丽水·一模）已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)直线 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． （1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）令a分别等于，得出，，联立两个式子得出，根据，的值与a无关，得出，求出x的值即可； （3）分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：令a分别等于，得： ，， 联立两式子得：， 化简得：， ∵，的值与a无关， ∴， 解得：，， ∴． （3）解：当时，原式：，对称轴为直线， ①当时，，， 根据题意得：， 即， 解得； ②当时，，， 根据题意得：， 即， 解得：； ③当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， ④当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.11 二次函数复习专题（6）——二次函数区间最值问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】区间最值核心原理 1 【知识点2】三类必考区间最值模型 2 【知识点3】最值判定通用口诀 2 【知识点4】高频易错总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】定轴定区间常规最值求解 3 【题型2】区间单调最值求解 3 三.题型精析（综合提升） 4 【题型3】动轴定区间求参数范围 4 【题型4】定轴动区间求参数范围 4 【题型5】距离法快速比较最值 5 四.同步检测 6 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 7 一.知识梳理 【知识点1】区间最值核心原理 二次函数在全体实数范围内，最值仅在顶点处取得；若限定自变量取值区间，函数最值不一定在顶点，核心由对称轴与区间的相对位置决定。 1. （开口向上）：顶点为最小值点，自变量离对称轴越远，函数值越大； 2. （开口向下）：顶点为最大值点，自变量离对称轴越远，函数值越小。 【要点提示】 1. 求解区间最值，必须对比顶点、区间左右端点的函数值，不可直接默认顶点为最值； 2. 闭区间同时存在最大值和最小值，开区间无端点最值，仅顶点在区间内时有唯一最值； 3. 顶点是否落在自变量区间内，是区间最值分类讨论的核心分界点。 【知识点2】三类必考区间最值模型 模型1 定轴定区间（基础题型） 对称轴、自变量区间均固定，分三种情况： 1. 对称轴落在区间内部：一个最值在顶点，另一个最值在区间端点； 2. 对称轴在区间左侧：函数在区间内单调，最值仅在区间两端点； 3. 对称轴在区间右侧：函数在区间内单调，最值仅在区间两端点。 模型2 动轴定区间（含参压轴题型） 对称轴含参数可左右移动，自变量区间固定，需根据最值位置，分对称轴左、中、右三段分类讨论，反向推导参数取值范围。 模型3 定轴动区间（拔高压轴题型） 对称轴固定，自变量区间含参数可平移，通过讨论区间与对称轴的相对位置，求解参数范围与对应最值。 【要点提示】 1. 动轴、动区间题型必须完整分类讨论，遗漏情况会导致解题错误； 2. 可通过“距离法”快速判断区间端点函数值大小，简化计算； 3. 题干给定自变量取值范围，必须严格限定定义域，不可默认全体实数。 【知识点3】最值判定通用口诀 开口向上：轴内顶点最小，远端最大；轴外单调增减； 开口向下：轴内顶点最大，远端最小；轴外单调增减。 【要点提示】 远端即区间端点中，到对称轴距离更远的一侧端点。 【知识点4】高频易错总结 1. 切勿默认顶点为区间最值，必须结合自变量区间位置判断； 2. 闭区间有完整最值，开区间可能无最值，需区分区间类型； 3. 含参分类讨论时，边界值必须准确包含等号，避免漏解、错解。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】定轴定区间常规最值求解 解题技巧：配方求出对称轴与顶点，分别计算顶点、区间两端点函数值，对比得出最值。 【例题1】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 【变式1】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【变式2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为_________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【题型2】区间单调最值求解 解题技巧：判断对称轴在区间外侧，函数在区间内全程单调，最值直接取区间端点。 【例题2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． （3）在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式2】（2024·浙江宁波·三模）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则_________． 三.题型精析（综合提升） 【题型3】动轴定区间求参数范围 解题技巧：根据最值出现的位置，锁定对称轴取值范围，列不等式求解参数。 【例题3】（25-26九年级上·山东威海·期中）已知二次函数． （1）试说明：该二次函数的图象与轴必有两个交点． （2）当时，函数有最小值为2，求的值． 【变式1】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为___________． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 【变式3】（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． （1）若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； （2）当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【题型4】定轴动区间求参数范围 解题技巧：顶点最值可取，说明对称轴落在自变量区间内，列不等式组求解参数。 【例题4】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【变式3】（2025·浙江丽水·一模）已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【题型5】距离法快速比较最值 解题技巧：开口固定时，端点到对称轴距离越远，函数值越大（开口向上）/越小（开口向下）。 【例题5】（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【变式1】（第14讲　二次函数的图象与性质（测）-备战2021年中考数学一轮复习讲练测（浙江））已知二次函数y＝2x2+4x，当﹣3≤x≤1.5时，该函数的最大值与最小值的差是（　　） A． B．8 C． D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知函数在时有最大值5，则______． 【变式3】（24-25九年级上·山东泰安·期中）二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 2．（2023·陕西咸阳·二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 3．（2025九年级下·福建泉州·学业考试）已知二次函数y＝x2﹣2ax＋5，当3≤x≤7时，y在x＝7取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a≤5 C．3≤a≤5 D．a≥5 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 5．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）当时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·陕西榆林·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，在时有最小值，则（   ） A．5 B．5或 C．5或 D．或 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26九年级上·天津东丽·期中）当时，二次函数的最大值为______． 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_________． 11．（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是______． 12．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）当时，二次函数有最大值，则的值为__． 13．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，二次函数的最小值为0，则___________． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则_________． 16．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 18．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点． (1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； (3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 19．（2025·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（）． (1)求二次函数对称轴． (2)若当时，函数的最大值为10，求此二次函数的最小值． (3)抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 20．（2025·浙江丽水·一模）已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $