精品解析：广东省多校2026-2027学年高二第一学期第一次教学质量检测数学试题

2026～2027学年度第一学期第一次教学质量检测 高二数学 2026.10.15 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，则直线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式以及定义即可求出． 【详解】因为，设直线的倾斜角是，所以且， ． 故选：B． 2. 与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用所求直线上的点关于轴的对称点在已知直线上，求解即可. 【详解】在所求直线上任取一点， 此点关于轴的对称点在直线上， 代入得，即. 3. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面平行时，其方向向量与平面法向量垂直，数量积为0的性质列方程求解. 【详解】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的一个法向量垂直， 则， 所以. 4. 圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设的半径为，的半径为， 由题意得，，，，，，则， 可得两圆内切，即两圆的公切线条数为. 5. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以， 又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即. 故选：D 6. 中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【详解】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 8. 在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面平行的性质得到交线，以为原点，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的一个法向量，利用空间向量的线面角公式求解． 【详解】在正方体中，上底面下底面， 平面，平面同时与平面、平面相交， 平面平面，平面平面， 故由面面平行的性质定理，可得， 以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则，，，，， 所以，即为直线的方向向量， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 在轴的截距为 B. 过定点 C. 若，则 D. 若，及轴围成的三角形面积为，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：令，即可得直线在轴的截距；对于B：整理可得，即可得过定点；对于C：根据直线平行可知斜率相等，列式求解并代入检验；对于D：求直线与轴的交点，以及两直线的交点，进而列式求解即可. 【详解】对于选项A：对于直线：，令，解得， 所以直线在轴的截距为，故A错误； 对于选项B：对于直线：，即为， 所以过定点，故B正确； 对于选项C：因为直线的斜率，直线的斜率， 若，则，即， 此时直线：，符合，所以，故C正确； 对于选项D：由题意可知：且， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 联立方程，解得， 由题意可得，即， 当，即时，则，解得或； 当，即时，则，无解； 综上所述：或，故D正确. 10. 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D. 直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【解析】 【分析】将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即 ，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 11. 棱长为1的正方体的表面有点，且满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点满足 C. 当时，有且仅有一点到直线的距离是它到平面的距离的两倍 D. 当时，点的轨迹长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建系标点，对于A：先判断P点的轨迹，再将问题平面化即可求解；对于B：利用空间向量证明线线垂直；对于C：根据空间的距离公式运算求解即可；对于D：分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即可得轨迹长. 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 则，即， 对于选项A：当时，可知为线段上的点， 将平面和平面沿展开为同一个平面如图， 连接，则的最小值即为，故A正确； 对于选项B：当时，则，可得，， 可得，则， 即满足条件的P点有无数个，故B错误； 对于选项C：当时，即，则， 可得，，， 则在上的投影为， 则点P到直线的距离； 平面ABCD的一个法向量为，， 则点P到平面ABCD的距离为； 当点到直线的距离是它到平面的距离的两倍， 则，整理可得， 且，解得，， 所以仅存在一个点P满足条件，故C正确； 对于选项D：当时，则， 且，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹长为，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线围成的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用曲线的对称性以及圆面积公式、扇形的面积公式分析计算即可. 【详解】由曲线围成的图形如图所示： 要计算曲线围成的面积，只需计算第一象限内围成的面积，然后乘以4即可， 当曲线方程化为， 这是一个以为圆心，为半径的圆， 该圆刚好经过原点以及坐标轴上的和． 第一象限内的面积是这个圆在内的部分，由圆的面积为， 它超出第一象限的部分，是被轴（弦长为2）和轴（弦长为2）切下的两个弓形， 由于弦长等于2，半径为，满足，这意味着圆心角为， 单个月牙弓形面积， 所以第一象限内的面积， 因此曲线围成的总面积为：． 13. 平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行四边形所在直线求交点，以及边长和高，再代入面积公式，即可求解. 【详解】联立，得， 联立，得， 点和两点间的距离为， 又平行线和间的距离为， 所以该平行四边形的面积. 14. 用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为， 则，解得， 即点，同理可得点， 若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与圆、圆都相离，不合题意， 因此可设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为， 所以直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为， 则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． （1）用、、表示； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据数量积的运算计算，进而可得. 【小问1详解】 连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． 【小问2详解】 因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 16. 已知圆C经过，两点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：根据待定系数法求圆的方程即可；法二：利用圆的弦和圆心的性质求出圆心所在直线，与已知联立得出圆心坐标，进而得到半径，即可求解； （2）法一：由题可知，再求出切线的长，接着根据等面积法求即可；法二：由圆的切线的性质，得到点，在以为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解公共弦的方程，进而根据弦心距公式计算即可. 【小问1详解】 法一：因为圆的圆心在轴上， 所以设圆的标准方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 法二：AB的中点坐标为，直线AB的斜率， 所以线段AB的垂直平分线的斜率， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即， 又因为圆C的圆心在x轴上， 所以联立方程，得，即圆心，圆C的半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 法一：因为，， 所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为、，所以 所以四边形的面积，解得； 法二：由题意且，所以在以为直径的圆上， 圆的方程为，即， 又圆的方程为， 所以两圆的公共弦的方程为：， 圆心到的距离， 所以. 17. 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，点是边的中点． （1）求的坐标； （2）求的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出直线与直线垂直，求出直线的方程，与直线方程联立可得点坐标，再由中点坐标公式可得答案； （2）在平分线上取一点，过点作轴的平行线，在该直线上点右侧取一点，则，再利用两角和的正切展开式求出，最后利用直线点斜式方程可得答案. 【小问1详解】 对于边上的高所在直线的方程， 当时，代入解得，即点在直线上， 因为是边的中点，点在直线上，则点也在直线上， 点与点重合，故直线与直线垂直. 由可得，则， 由得：，即， 解得，则， 为中点，则，即； 【小问2详解】 在平分线上取一点，则， 过作轴的平行线，在该直线上点右侧取一点， 则， ， 由得：， 即，即所求平分线所在直线的方程为． 18. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在平面中，过作于． ∵平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面， ． ， ，， ， ，即． ，平面，， 平面． 平面． ． （2）存在，点为靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）先通过底面角度关系证明，再结合面面垂直的性质定理，证明 平面，从而由线面垂直推出线线垂直;（2）法 1（向量法）：建立空间直角坐标系，用参数表示点的位置，分别求出两个平面的法向量，根据二面角的余弦值列方程求解参数，确定点的位置;法 2（几何法）：用等体积法求出点到平面的距离，构造二面角的平面角，结合余弦定理建立关于参数的方程，求解得到点的位置。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：以为原点，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系． 由（1）得：，， ，，，，． 取中点，连接，，则，． ，， ，． 平面，平面， ． ，平面，且， 平面． ， ，． 设， 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 取，，则，则． 易知为平面的其中一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 解得（舍去）或， ∴存在这样的点，此时点为靠近点的三等分点． 法2：同法1可得平面，． 平面， ， ． 同样设，（） ，， ， ， 过作平面于，过作于， 则为平面与平面的夹角． 由体积相等得：， ，， ，，① ，② ∴由①②得：（舍去）或， ∴存在这样的点，此时点为靠近点的三等分点． 19. 已知点，关于原点对称，点在直线上，，过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为． （1）求的半径； （2）若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为，，是垂足，问：是否存在一定点，使得为定值． 【答案】（1）或 （2）存在，使得． 【解析】 【分析】（1）由题意可设点的坐标为，圆的半径为，，利用垂径定理即可列式求得值，进一步得到圆的半径为或． （2）由，得，则圆的方程为．设点，，当直线的斜率存在时，设直线，联立直线方程与圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线，斜率之和为，可得．代入，可得直线方程，再由直线系方程证明直线恒过定点，然后证明直线的斜率不存在时不合题意，即可证明直线恒过定点，从而得到当为，的中点时为定值． 【小问1详解】 圆过点，，圆心在的垂直平分线上， 由已知点在直线上，且点，关于原点对称， 点在直线上，则点的坐标为． 圆与直线相切，圆的半径为， 连接，由已知得， 又，故可得， 整理得，解得或， 故圆的半径为或． 【小问2详解】 由（1）及可知，则圆的方程为， 设，， 当直线的斜率存在，则可设直线的方程为， 代入圆方程可得：，则，得， 且，， 所以 ． 又直线，斜率之和为，， 得． 代入，得， 直线恒过定点． 当直线的斜率不存在时，，，， 直线，斜率之和为，，解得， 但，且，故不合题意，舍去． 综上，直线恒过定点． 又，是垂足，所以当为，的中点时，则， 此时． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一次教学质量检测 高二数学 2026.10.15 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，，则直线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 2. 与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 在轴的截距为 B. 过定点 C. 若，则 D. 若，及轴围成的三角形面积为，则或 10. 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D. 直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 11. 棱长为1的正方体的表面有点，且满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一点满足 C. 当时，有且仅有一点到直线的距离是它到平面的距离的两倍 D. 当时，点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线围成的面积为_________． 13. 平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为______． 14. 用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． （1）用、、表示； （2）求． 16. 已知圆C经过，两点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的值． 17. 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，点是边的中点． （1）求的坐标； （2）求的平分线所在直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知点，关于原点对称，点在直线上，，过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为． （1）求的半径； （2）若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为，，是垂足，问：是否存在一定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $