精品解析：广东江门市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

江门一中2026-2027学年度第一学期第一次段考高二数学试卷 命题人：郑秀芹 审题人：施敏仪 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 10个数据的75%分位数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以第75%分位数是第个数，即 2. 已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（ ） A. 7，8 B. 4，2 C. 2，4 D. 7，7 【答案】A 【解析】 【详解】设原数据为， 由题设得原数据的平均数，方差． 新数据满足，即． 根据平均数的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的平均数为． 根据方差的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的方差为．  因此新数据的平均数为7，方差为8． 3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与互为对立 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件的关系与运算判断A，B；利用互斥事件与对立事件的意义判断C，D作答. 【详解】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确； 事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确； 事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确； 事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确. 故选：B 4. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图表一一分析即可. 【详解】对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，， 故不小于周岁人群参保总费用最少，故A错误； 对于选项B，由扇形统计图可知，周岁以下参保人群约占参保人群的，故B正确； 对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确； 对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确； 故选：A． 5. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 6. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 7. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助列举法计算即可求解概率. 【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数， 有，，，，，， ，，，共10种情况， 其中三个数之和不超过8的有： ，，，，共4种情况， 所以这三个数之和不超过8的概率为. 8. 已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求出，，，利用向量共面，即存在实数，使得，列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） A. 高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B. 高三学生被抽到的概率最大 C. 高三学生被抽到的概率最小 D. 每名学生被抽到的概率相等 【答案】AD 【解析】 【分析】确定分层抽样的抽样比可得A正确，由分层抽样遵循每个个体被抽到的概率相等的特点可得D正确. 【详解】根据分层抽样比可确定高三学生被抽出的人数为，即A正确； 抽样方法中，每种抽样方式都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点， 每个学生被抽到的机会均为，即选项BC错误，D正确. 故选：AD 10. 已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可． 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：，又， 所以，选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论正确的是（    ） A. 直线平面 B. 存在点，使得 C. 面积的最小值是 D. ，，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，取特殊位置的点，举出反例，即当与重合，当与重合时，可以得到直线和平面不平行，从而得到结论；选项B，建立空间直角坐标系，设，，则，利用向量的坐标公式求出的坐标，假设存在点，使得，则，利用向量的数量积公式得解；选项C，由点得到在上的投影，利用两点间的距离公式求解；选项D，取的中点，通过线段成比例得到 ，利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义得到，同理，，从而得到是和的公垂线段，则此时的为最小值，求出 ，从而得到的最小值. 【详解】选项A，因为点在上，点在上，且， 所以当与重合，当与重合时，满足， 但是直线与平面不平行，故选项A错误； 选项B，以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2 ， 则， 点在线段上运动，设，，则， ，， 则，解得， 则， ，即， ，即， 假设存在点，使得， 则，即， 即， 解得，解得， 因为，所以， 故存在点，使得，故选项B正确； 选项C，，点在上的投影为， 则点到的距离为， 则的面积为， 当时，的面积取最小值，且最小值为， 故选项C正确； 选项D，，，取的中点，连接交于， 连接交于，连接，此时为最小值， 因为为的中点，所以，， 则，， 则，则，且， 连接，因为是正方形，所以， 因为是正方体，所以平面， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 同理，，因为，所以，， 则是和的公垂线段，则此时的为最小值， 因为，，所以， 则的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量平行于向量，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 13. 如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，设，． （1）若，求实数的值； （2）在方向上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出向量坐标，线性组合写出，利用向量垂直等价数量积为，建立一元二次方程求解参数； （2）算出，代入投影向量公式，结合数量积与向量模，计算得到投影向量坐标． 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， ， 因为，所以， 即，解得或； 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 16. 长方体中，，，分别为中点，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，因为为 中点，且， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又分别为的中点， 所以，所以， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证，结合长方体线面垂直性质证，由线面垂直判定定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用（1）的结论，取作为平面的法向量，代入点到平面距离公式，求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ， 由平面，得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离． 17. 学校共有500名学生，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示． 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 50 100 150 125 m （1）求和的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前的学生为“优秀”，试估计优秀分数线． （3）这次考试中有名学生的成绩为：．已知这8个成绩的平均数，方差，若再增加两名学生的和这个成绩，求这个成绩的平均数与标准差．（参考数据：，，） 【答案】（1），，平均成绩为 （2）优秀分数线约为 （3）平均数与标准差分别为和 【解析】 【分析】（1）利用总人数减去前四组频数求出，用组频率除以组距得，取每组区间中点值乘以对应频率相加算出平均分； （2）前优秀对应第百分位数，累加低分段频率至后，在内列方程补齐频率，解出分数线； （3）先通过加权平均求人新均值，再由方差公式反推原人平方和，加上新增分数平方，代入方差公式求得方差后开方得到标准差． 【小问1详解】 ， 设该校学生这次测验的平均成绩为； 【小问2详解】 学校规定成绩为前的学生为“优秀”，即求第百分位数， 设优秀分数线为，，解得， 所以优秀分数线约为； 【小问3详解】 方法一： 这10个成绩的平均数为， 因为原8个成绩的方差， 所以， 所以10个成绩的方差， 即这10个成绩的平均数与标准差分别为和． 方法二： 原8名学生的成绩的平均数为，方差为． 再新增加两名学生的成绩的平均数为， 方差为， 此时这10个成绩的平均数为， 这10个成绩的方差为， 即这10个成绩的平均数与标准差分别为和． 18. 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； （2）为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式，计算一等奖对应样本数占总样本数的比值即可. （2）①通过对立事件概率公式，用1减去两次均未获得一等奖的概率得到；②分别计算、、，验证是否满足独立事件判定条件即可。 【小问1详解】 记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. 【小问2详解】 乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. （1）证明：平面； （2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 【答案】（1） 连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）确定三棱锥外接球的球心为，求出及球的半径，即可得出的范围； （3）确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，， 所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径， 因为，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2026-2027学年度第一学期第一次段考高二数学试卷 命题人：郑秀芹 审题人：施敏仪 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 10个数据的75%分位数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 2. 已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（ ） A. 7，8 B. 4，2 C. 2，4 D. 7，7 3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与互为对立 4. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 5. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（   ） A. B. C. D. 8. 已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） A. 高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B. 高三学生被抽到的概率最大 C. 高三学生被抽到的概率最小 D. 每名学生被抽到的概率相等 10. 已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与独立 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论正确的是（    ） A. 直线平面 B. 存在点，使得 C. 面积的最小值是 D. ，，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量平行于向量，则__________． 13. 如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是__________． 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，设，． （1）若，求实数的值； （2）在方向上的投影向量（用坐标表示）． 16. 长方体中，，，分别为中点，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 学校共有500名学生，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示． 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 50 100 150 125 m （1）求和的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前的学生为“优秀”，试估计优秀分数线． （3）这次考试中有名学生的成绩为：．已知这8个成绩的平均数，方差，若再增加两名学生的和这个成绩，求这个成绩的平均数与标准差．（参考数据：，，） 18. 某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； （2）为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. （1）证明：平面； （2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $