精品解析：广东江门市广东实验中学附属江门学校2026-2027学年高二第一学期第一次阶段考数学试题

省实江门学校2026学年第一学期第一次阶段测试 高二数学 命题人：蒋雪琼 审核人：袁陶 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，4，1，8，6的80%分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】将样本数据从小到大排序，计算80%分位数对应的位置，再根据分位数的定义计算结果. 【详解】排序数据：将样本数据从小到大排列为：，样本容量， 计算分位数位置：根据百分位数计算规则，位置，为整数，  ， 故该组数据的80%分位数为7. 2. 某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 【答案】175 【解析】 【分析】根据随机数表抽样规则，从指定起始位置向右逐次读取三位编号，舍去超出001~900范围的编号，统计得到第5个有效编号即可. 【详解】读取规则为从随机数表第1行第4列开始向右连续读取，每次取3位数字，凡不在001~900范围内的编号跳过，与已读取编号重复的也跳过： 首次读取得到260，属于有效范围，为第1个样本编号； 接下来读取得到004，属于有效范围，为第2个样本编号； 继续读取得到984，超出最大编号900，舍去；继续读取得到012，属于有效范围，为第3个样本编号； 继续读取得到866，属于有效范围，为第4个样本编号； 继续读取得到175，属于有效范围，为第5个样本编号。 因此得到的第5个样本的编号为175. 3. 某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 4. 一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】袋子内红球的个数约为（个）. 5. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将正四面体连续抛掷两次，则一共有个样本点； 其中两次向下的面上数字之积为偶数的情况包含两次都是偶数、或者一奇一偶 （包含第一次是奇数，第二次是偶数；第一次是偶数，第二次是奇数）两类， 包含样本点， 故概率为． 6. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 7. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 8. 如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，，其中，，由求出的值，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设点，，其中，， ，， 因为，则，解得，故. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为与互斥，所以， 即，A正确； 对于B，因为与互斥，所以，即，B错误； 对于C，因为与互斥，所以，因此， 故，C正确； 对于D，因为， 当与互斥时，，因此，D正确． 10. 科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据，，，，，已知该组数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A,，A正确； 对于B,，B错误； 对于C,，C正确； 对于D,，D正确． 11. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 C. 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D. 在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用向量夹角为钝角列式计算判断A，应用点关于面对称判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，应用投影向量计算判断D. 【详解】向量，，若夹角为钝角，则 且不共线，所以且， 则实数t的取值范围为，A选项错误； 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，B选项正确； 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成， 四边形为平行四边形，，又， ， ，， 因为在空间四边形中，与成角，或， 又，， 当时，，，即此时两点间的距离为； 当时，，，即此时两点间的距离为； 综上所述：两点间的距离为或，C选项错误； 在空间四边形ABCD中，，，则与的夹角为， 则在上的投影向量为，D选项正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为空间向量，， 所以. 13. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设一班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；二班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；名同学的总平均分为，总方差为. ∴ . ∵ 分层合并方差公式为， 代入得， 即总方差为. 14. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三事件乘积独立条件推出的元素个数与元素个数的倍数关系，分情况筛选，再结合独立锁定必含数字 2，结合不独立排除数字，最终统计出符合条件的集合共个. 【详解】由，可得 设事件包含样本点个数为，事件包含样本点个数为，则， 因为，所以，即 因为，包含个样本点，所以，即， 若，则，即，则，，与题意不符； 若，则，，则，所以， 即中有个数来自，个数来自，又，且， 所以，即若，则或，此时，与题意不符； 所以或， 若，则，与题意不符； 综上，满足条件的事件的个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，. （1）求，，； （2）求与所成角的余弦值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合向量平行、垂直的坐标运算求，即可得，，； （2）先求与，结合向量的坐标运算求夹角余弦值. 【小问1详解】 因为，，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得， 即，， 若，则，解得，即. 【小问2详解】 因为，，， 则，， 可得，，， 所以与所成角的余弦值为. 16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）填空：______； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 【答案】（1）0.005 （2）中位数为80；75 （3）89. 【解析】 【小问1详解】 ，故. 【小问2详解】 前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为80； 前两组频率之和为，则样本数据的第35百分位数落在第三组. 设第35百分位数为，则，解得， 【小问3详解】 由题意，成绩在，内的人数分别为30，20， 所以成绩在内的平均数为：， 所以，成绩在内的平均数为89. 17. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 样本空间中共有10个基本事件， 事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，故，共1个基本事件， 因此； 【小问3详解】 设事件为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以. 18. 已知平行六面体． （1）求的长度？ （2）求证：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） ， 则，则. （3） 【解析】 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【小问1详解】 设，， ，，， 则 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 19. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． （1）假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【解析】 【分析】（1）（i）根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解；（ii）根据题意，得到，代入计算，即可得到答案； （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”，分①第一局乙获胜，第二局乙获胜；②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，三种情况讨论，结合概率的乘法和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 （i）乙连胜两局获胜最终获胜的概率为； （ii）比赛结束时乙获胜的概率为 . 【小问2详解】 设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 则事件包含3种情况：①第一局乙获胜，第二局乙获胜； ②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； ③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 所以， 同理可得, 所以 因为，所以，即， 所以乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实江门学校2026学年第一学期第一次阶段测试 高二数学 命题人：蒋雪琼 审核人：袁陶 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，4，1，8，6的80%分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 3. 某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 200 4. 一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 5. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，若将正四面体连续抛掷两次，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 7. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 8. 如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据，，，，，已知该组数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 C. 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D. 在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则 _______． 13. 某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 14. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，. （1）求，，； （2）求与所成角的余弦值. 16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）填空：______； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 17. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 18. 已知平行六面体． （1）求的长度？ （2）求证：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 19. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． （1）假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $