精品解析：河北唐山市开滦第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

唐山市开滦一中2026—2027年度第一学期高二年级限时练 出题人：金艳锐 审题人：冯丽梅 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 点到直线的距离为． A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：；，若，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 或1 5. 如图，在平行六面体中，与相交于点，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且满足，下列选项正确的是（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 当取最小值时，平面与平面夹角的正切值为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 与始终垂直 三.填空题： 本题共3小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 过点的直线的方向向量为，则的值为______. 13. 在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，则长为_____. 14. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是___________. 四.解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 16. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． （1）用表示向量； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 在平面直角坐标系xOy，已知的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，，且的面积为4. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）请写出n与m的关系式；(用m表示n) （3）BC边上中线AD的方程为，求点A的坐标. 19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，M是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市开滦一中2026—2027年度第一学期高二年级限时练 出题人：金艳锐 审题人：冯丽梅 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知：，则. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题. 2. 点到直线的距离为． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由点到直线的距离公式可得 ． 故选． 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间中坐标关于面的对称性质确定坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D. 4. 已知直线：；，若，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行得到方程，解出后验证即可. 【详解】由题知直线的斜率为，由，得直线的斜率存在， 且，解得或1. 当时，直线重合，不合题意； 当时，平行，所以. 故选：A． 5. 如图，在平行六面体中，与相交于点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】由图可得 . 故选：B 6. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由光学知识可知点关于轴的对称点在反射光线上，利用两点坐标写出直线方程即可. 【详解】由题知，点关于轴的对称点在反射光线上， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：B. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，进而求得在上的投影向量的长度，进而结合勾股定理求解即可. 【详解】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以， 所以在上的投影向量的长度为：， 所以到直线的距离为. 故选：C. 8. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量，结合数量积的运算律求出二面角的余弦值. 【详解】如图，在矩形中，分别过、作的垂线，垂足记为， 在矩形中，，，. ，所以.同理. ，同理， 所以. 折叠之后，，，， . ，. 所以 得. 设二面角的平面角为，因为与的夹角是. . 得. 所以二面角的余弦值为. 二､多选题：（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行、垂直的判定条件分析A、B项，通过分离参数求解直线恒过定点判断C项，结合x轴截距的定义求直线斜截式判断D项。 【详解】选项A：若，根据两直线平行的判定条件，得，解得或， 检验可知两值对应的直线均不重合，满足平行要求. 选项B：若，根据两直线垂直的判定条件，得，整理为， 解得或，并非只有 选项C：将直线的方程变形为，令，解得，即直线恒过点. 选项D：若直线在轴上的截距为6，即过点， 代入方程得，解得， 此时的方程为，斜截式为，与选项中表达式不符. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用向量夹角公式可得；对于B：先得到的坐标，再平方即得答案；对于C：利用平行四边形的面积公式可得；对于D：利用投影向量公式可得. 【详解】选项A：， 模长：，， 故， 因此 ，故选项A正确； 选项B：，， 故，故选项B错误； 选项C：以，为邻边的平行四边形的面积，故选项C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为， 而，， 故，故选项D正确. 11. 在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且满足，下列选项正确的是（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 当取最小值时，平面与平面夹角的正切值为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 与始终垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，分别表示线段长度、平面法向量、三棱锥体积与向量，依次对四个选项进行计算验证，判断正误. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 正方体棱长为，设，， 则、、、、、. 对于A，. 当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，当取最小值时，，、. 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以，故， 所以当取最小值时，平面与平面夹角的正切值为，故B错误； 对于C，. 三棱锥的高为， . 当且仅当时，等号成立，故三棱锥的体积的最大值为，故C正确； 对于D，，. . 所以，与始终垂直，故D正确. 三.填空题： 本题共3小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 过点的直线的方向向量为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的方向向量为，故， 而，故，故， 故，. 13. 在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，则长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将分解为，利用空间向量数量积的运算性质求其模长. 【详解】由平行六面体的结构特征可得， 因为底面是正方形，故，即， 由题意得，， 因此， 同理可得， 所以  ， 因此，即的长为. 14. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到斜率与的关系式,从而得斜率的取值范围，然后可确定倾斜角的取值范围. 【详解】①若，则直线的方程为， 此时直线的倾斜角； ②若， 将直线的方程转化为斜截式得， 则直线的斜率为， ， ， 即， 因为倾斜角， 所以， 综合①②可得:. 故答案为：. 四.解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点关于直线对称的方法求解即可； （2）分直线过原点和不过原点两种情况，结合截距式求解即可. 【小问1详解】 由，得，即， 设关于直线对称的点为， 则有， 解得，即， 即点关于直线对称点的坐标为； 【小问2详解】 因为， 当所求直线过原点时，满足在轴上的截距是在轴上的截距的2倍， 此时所求方程为，即； 当所求直线不过原点时， 设所求直线方程为， 代入，得，解得， 所以直线方程为，即， 综上，所求直线方程为或. 16. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 17. 如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． （1）用表示向量； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算得：，又，代入化简得结果； （2）由题意可得，，由向量的夹角的余弦公式求解即可; （3）先求出正四面体的高，由是的中点，可得到平面的距离是正四面体的高的一半，即可得答案. 【小问1详解】 因为， 又， 所以； 【小问2详解】 正四面体棱长为，故， 且任意两向量夹角为， 即， ，， 又， 且， ， 异面直线所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设底面正三角形的外心为,连接, 则为正四面体的高， 由正弦定理可得， 所以， 因为是中点， 故点到平面的距离是点到平面距离的一半， 即. 18. 在平面直角坐标系xOy，已知的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，，且的面积为4. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）请写出n与m的关系式；(用m表示n) （3）BC边上中线AD的方程为，求点A的坐标. 【答案】（1） （2）或 （3）或(2，3) 【解析】 【分析】(1)由直线方程的两点式求直线BC的方程； (2)求出，由的面积为4知A到直线BC的距离，代入点到直线距离公式得n与m的关系式； (3)将BC中点坐标代入求得值，A(m，n)代入中线所在直线方程得，联立（2）中n与m的关系式，解方程组得n与m的值. 【小问1详解】 由B(2，1)，，可得直线BC的斜率． 故直线BC的方程为 化为一般式方程为 【小问2详解】 由B(2，1)，，， 由S=4，可以得出BC边上的高为 根据点A到直线BC距离公式得 即或① 【小问3详解】 由B(2，1), ，可得BC的中点D的坐标为(0，2) 又由AD的方程，则有，解得 故AD数方程为 由A(m，n)，可得，② 由第(2)问知，联立①②可得或， 故点A的坐标为或(2，3) 19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，M是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值：若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明： ，M是的中点.，， 平面平面， 平面平面，平面， 平面，平面， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，是正三角形， 两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，， ，0，， 设是平面BCE的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面ABE垂直，是平面ABE的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故 二面角的余弦值为 【小问3详解】 假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为． 0，，， 设，， 则， 直线与平面所成的角为， ， 由，解得， 线段上是否存在点P，使得直线与平面所成的角为45°，且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $