精品解析：河北保定市唐县第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由点，得，由直线的方向向量为得，因此. 2. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算. 【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得. 故. 故选：C 3. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 4. 已知直线，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 5. 在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，. . 6. 设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 7. 已知在菱形 中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】设菱形的边长为1，由，可得和均为边长为1的等边三角形. 取中点，连接、，由等边三角形性质得，，故为二面角的平面角， 由题意，该二面角为直二面角，故，即. 以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与所成角为，， 则，即异面直线与所成角的余弦值为. 8. 已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论错误的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过点与直线平行的直线方程是 【答案】BC 【解析】 【详解】先把直线化成斜截式：，斜率. A选项：设倾斜角为，则，，所以倾斜角， A正确； B选项：直线，斜率，，两直线不垂直，B错误； C选项：由点到直线的距离公式得， C错误； D选项：与直线平行的直线斜率为，过点，由点斜式方程得，整理得 ，D正确. 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据圆的方程求得圆心和半径，根据直线的方程求得直线所过定点，通过判断定点在圆内，知直线与圆必相交；对于B，直接求圆和轴的交点，进而求得圆被轴截得的弦长；对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，直线与垂直，根据垂直直线斜率关系，求得直线的斜率为，从而求得直线的方程；对于D，求圆心到直线的距离，结合半径做出判断. 【详解】由题可知圆的圆心，半径. 由直线，得，所以直线过定点. 对于A，因为，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确； 对于B，当时，，所以，或.所以圆被轴截得的弦长为，所以B正确； 对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时，直线与垂直，因为的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.所以C不正确； 对于D，当时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为，因为，所以圆上存在四个点到直线的距离为2，所以D正确. 故选：ABD. 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 13. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆方程的标准形式列式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先由的斜率结合垂直关系得的斜率，再用点斜式求的方程； （2）先联立求交点，再分截距为0和不为0两种情况求的方程. 【小问1详解】  直线整理为斜截式方程得，故的斜率，因为与垂直，所以的斜率， 又过点，由点斜式方程得：，整理得 【小问2详解】 联立，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为，将代入得，解得，故方程为，即； ② 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，即，将代入得，故方程为，即； 综上，的方程为或. 16. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. （1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； （2）若，的面积为4，求b的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【小问1详解】 已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 17. 如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证： （1）CM面； （2）面面. 【答案】（1） 以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设为平面的一个法向量， 由 得 令，得， ，则，又平面， 平面. （2） 如图，取的中点，连接， 则. . 又， ，又平面, 平面，又平面， 平面平面 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，由法向量与方向向量的关系即可证明线面平行， （2）根据空间向量垂直可证明线面垂直，进而根据面面垂直的判断定理即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程； （2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程. 【小问1详解】 变形为， 令，解得：， 故定点的坐标为， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 19. 如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，. （1）求证：平面； （2）设与底面所成角的正切值为. （i）求面与面所成的二面角的正弦值； （ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为底面，面，所以， 又为棱上的点，， 取的中点，所以， 又，所以， 又因为，，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，平面， 所以平面； （2）（i）；（ii）存在，为的中点 【解析】 【分析】（1）先由底面得 ，再取中点证，算出并由勾股定理得，最后依据线面垂直判定定理证平面； （2）（i）由线面角定义得，求出后建空间直角坐标系，求平面法向量与平面法向量，用向量夹角公式算余弦值，再求正弦值； （ii）设，利用点到平面距离公式列方程求，确定为中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为底面，所以与底面所成角为， 所以在中，， 又，所以， 如图，以为轴，轴，轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 由，即，即， 取，可得， 又由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角为， 所以， 所以， 又由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角为， 所以平面与平面所成的二面角的正弦值为； （ii）假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，由（i）可得， 所以， 又由（i）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以，所以为的中点， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，则的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或2 5. 在三棱柱中，设，，，M是上靠近B点的三等分点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在菱形 中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论错误的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过点与直线平行的直线方程是 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 14. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. （1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； （2）若，的面积为4，求b的值. 17. 如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证： （1）CM面； （2）面面. 18. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 19. 如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，. （1）求证：平面； （2）设与底面所成角的正切值为. （i）求面与面所成的二面角的正弦值； （ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $