河北省唐山市开滦第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级 十月月考考试数学试卷 第 1页 共 4页 开滦二中 2024～2025 学年高二年级第一学期十月月考 数学试卷 命题人：李阳 审核人：周淑俊 说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 2、本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，共 58 分） 一、单选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，总共 40 分） 1.已知直线 过点  3,4 且方向向量为  1, 2 ，则 在 x轴上的截距为（ ） A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 2．已知空间中三点 ， ， ，那么点 到直线 的距离为 ( ) A. B. C. D. 3．若 , ,a b c   为空间的一个基底，下列各组向量中能构成空间的一个基底的（ ） A． , ,a b c b a c        B． 2 , ,a b b a c      C． 2 ,2 ,a b c b a b c          D． , 2 , 2a c b a b c        4. O为空间任一点，若 1 1 4 8 AP OA OB tOC        ，若A，B，C，P四点共面，则 t （ ） A. 1 B. 9 8 C. 1 8 D. 1 4 5．经过直线 1 : 2 1l y x   和 2 : 2 3l y x  的交点，且倾斜角是直线 2l 的倾斜角的两倍的直 线方程为（ ） A. 2 1 0x y   B. 4 3 0x y   C. 4 3 1 0x y   D. 3 4 1 0x y   6．如图，已知大小为60的二面角 l   棱上有两点A， B， AC  ， AC l ，BD  ， BD l ，若 3AC  ， 3BD  ， 7CD  ，则 AB的长度（ ） A．22 B．44 C． 2 10 D． 22 7. 已知直线 : 0l x my  的倾斜角的取值范围为 π π, 4 3       ，则直线 1 : 2 0l x my   的倾斜 角的取值范围为（ ） A. 3π , π 4       B. 2π 3π, 3 4       C. 3π 5π, 4 6       D. π 2π 5π0, , 2 3 6          l l 高二年级 十月月考考试数学试卷 第 2页 共 4页 8．已知 0x y  ，则  22 2 22 2 2 3x y x y x y       的最小值为（ ） A． 2 5 B． 15 C． 17 D． 二、多选题（本题共 3题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分） 9．已知向量 ，则（ ） A． B． ），，上的投影向量为（在 9 4 9 8 9 8ba  C． ba   D． 共面向量 cba   ,, 10． 03)12(:02: 21  yxmlymxl 和直线直线 ，下列说法正确的是（ ） A． 0 2 1 21  mmll 或时，当 ； B． 1// 21 mll 时，当 ； C． 021 21  yxxyllm 的直线方程为：的交点且平行于和时，过直线当 D． 0227:1 21  yxllm 的对称直线方程为关于时，直线当 11. 在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E F G、 、 分别为 1 1BC CC BB、 、 的中点，则下 列选项正确的是（ ） A． 1DD AF B．直线 1AG与 EF所成角的余弦值为 10 10 C．三棱锥G AEF 的体积为 1 3 D．存在实数 、 使得 1       AG AF AE 第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分） 三、填空题（每小题 5分，总共 15 分） 12.已知点 A，B分别是直线 1 : 2 2 0l x y   与直线 2 4 2 1 0:l x y   上的点，则 AB 的最小 值为______________． 13. 14. 如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1(0 1)DM DA      ， 1(0 1)CN CD      ，若 / /MN 平面 1 1AAC C，则线段MN的长度的最小值为________ )3,1,4(),1,2,2(),2,1,2(  cba   |||| ba   22 __________________|,|||),7,2()2,1( 点坐标为则轴上一点，且为，已知点 PPBPAxPBA  高二年级 十月月考考试数学试卷 第 3页 共 4页 四、解答题（本题共 5个小题，共 77 分，用黑色字迹签字笔答在答题卡上，答在 试卷上无效） 15.（本题 13 分）如图所示，平行六面体 中， (1)用向量 表示向量 ，并求 ； (2)求 ． 16．（本小题 15 分）已知 ABCV 的顶点  5,1A ，边 AB上的中线CD所在直线方程为 2 5 0x y   ，边 AC上的高线 BE 所在直线方程为 2 5 0x y   ． （1）求边 BC所在直线的方程； （2）求 的面积． 17．（本小题 15 分）如图所示，三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，侧棱 1AA垂直于底面， 5AB  ， 1 3AA AC  ， 4BC  ，点 P，D分别为 AB， 1C B的中点． (1)求证： BC PD ； (2)求点 C到平面 1PBC 的距离 BCD△ 高二年级 十月月考考试数学试卷 第 4页 共 4页 18.（本小题 17 分）已知直线 l：     073132  ayaxa ， Ra . (1)证明：直线 l过定点 A，并求出点 A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线 l过点 A，且在 y轴上的截距是在 x轴上的截距的 2 1 ，求直线 l 的方程； (3)若直线 l不经过第四象限，求 a的取值范围. 19（本小题 17 分）．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形， PD 底面 ABCD， 2 2PD DC AD   ， E是 PC的中点． (1)求证： PA∥平面 EDB； (2)求平面 EDB与平面 PAD夹角的余弦值； (3)在棱 PB上是否存在一点 F，使直线 EF与平面EDB所成角的正弦值为 6 3 ，若存在，求出 求线段 BF的长；若不存在，说明理由 高二年级 十月月考考试数学答案 第 1页 共 5页 开滦二中 2024～2025 学年高二年级第一学期十月月考 数学答案 一、单选择题 1.A 2．A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C 二、多选题 9．ABD 10．BD 11.BD 三、填空题 12. 13.（1,0） 14. 四、解答题 15.（1）， 则 ， 所以. （6分） （2）由空间向量的运算法则，可得， 所以 ， 2 5 3 3 高二年级 十月月考考试数学答案 第 2页 共 5页 ， 则. （13分） 16.（1）6 5 9 0x y   （2） 4 【详解】（1）因为 AC BE ，所以设直线 AC 的方程为： 2 0x y m   ， 将  5,1A 代入得 11m   ，所以直线 AC的方程为： 2 11 0x y   ， 联立 AC，CD所在直线方程： 2 5 0 2 11 0 x y x y        ，解得  4,3C ， 设  0 0,B x y ，因为D为 AB的中点，所以 0 0 5 1, 2 2 x yD       ， 因为  0 0,B x y 在直线 BE 上，D在CD上， 所以 0 02 5 0x y   ， 0 0 5 12 5 0 2 2 x y      ， 解得 0 01, 3x y    ，所以  1, 3B   ， 3 3 6 4 1 5BC k    ， 所以 BC所在直线的方程为：  63 1 5 y x   ，即6 5 9 0x y   .（10分） （2）点  2, 1D  到直线 BC的距离为： 12 5 9 8 36 25 61 d      ， 又    2 24 1 3 3 61BC      ， 所以 1 8 61 4 2 61BCD S     .（15分） 17．【答案】(1)7分； 高二年级 十月月考考试数学答案 第 3页 共 5页 (2)12 41 41 .（15分） 18.【答案】(1)点A的坐标为  2, 1  (2) 2 0x y  或 2 4 0x y   (3)  7, 1, 3        【详解】（1）证明：整理直线 l的方程，得  2 3 3 7 0x y a x y      ， 所以直线 l过直线 2 3 0x y   与3 7 0x y   的交点， 联立方程组 2 3 0 3 7 0 x y x y        ，解得 2 1 x y      ， 所以直线 l过定点A，点A的坐标为  2, 1  .（4分） （2）当截距为 0时，直线 l的方程为 1 2 y x ，即 2 0x y  ， 当截距不为 0时，设直 l线的方程为 1 x y a b   ， 则 2 1 1 2 a b a b        ，解得 4 2 a b      ， 直线 l的方程为 1 4 2 x y     ，即 2 4 0x y   ， 故直线 l的方程为 2 0x y  或 2 4 0x y   .（10分） （3）当 1a  时，直线 l的方程为 2x   ，符合题意； 当 3 2 a   时，直线 l的方程为 1y   ，不符合题意； 当 1a  ，且 3 2 a   时， 2 3 3 7 1 1 a ay x a a       ， 所以       2 3 2 3 1 00 1 3 7 1 0 3 7 0 1 0 1 a a a a a a a a a                ，解得 1a  或 7 3 a   ， 综上所述，当直线 l不经过第四象限时， a的取值范围是：  7, 1, 3        .（17分） 高二年级 十月月考考试数学答案 第 4页 共 5页 19.(1)证明见解析 (2) 6 6 (3)存在； BF的长为 3 2 或 9 4 【详解】（1）连接 AC，交 BD于点O，连接OE， 点 E是 PC的中点，点O是 AC的中点， 所以 PA∥OE ,OE 平面 EDB , PA平面 EDB， 所以 PA∥平面 EDB；（4分） （2）如图，以向量DA  ，DC  ，DP  为 , ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系， 即  0,0,0D ，  1,2,0B ，  0,1,1E ，则    1,2,0 , 0,1,1DB DE    ， 设平面 EDB的法向量  , ,m x y z ，则 2 0 0 DB m x y DE m y z               ， 令 1y   得 2, 1x z  ，所以平面 EDB的法向量  2, 1,1m   ， 平面 PAD的一个法向量为  0,1,0n  ， 设平面 EDB和平面 PAD的夹角为 ， 则 1 6cos cos , 66 m n m n m n             ， 所以平面 EDB和平面 PAD的夹角的余弦值为 6 6 ；（9分） 高二年级 十月月考考试数学答案 第 5页 共 5页 （3）由（2）知  0,0,0D ，  1,2,0B ，  0,1,1E ，  0,0,2P ，  1,1, 1EB    ，  1, 2,2BP     ，  , 2 , 2 (0 1)BF BP            ，      1,1, 1 , 2 ,2 1 ,1 2 , 1 2EF EB BF                     ， 由（2）知平面 EDB的法向量  2, 1,1m   ， 设直线 EF与平面 EDB的夹角为 ， 则     2 2 2 2 1 1 2 1 2 6sin cos , ,0 1 3(1 ) (1 2 ) ( 1 2 ) 6 EF m                            整理得 28 10 3 0    ，解得 1 2   或 3 , 4   故当 1 2   时， 3 2 BF  ；当 3 4   时， 9 4 BF  则 BF的长为 3 2 或 9 4 ．（17分）