精品解析：黑龙江哈尔滨市群力经纬中学2026-2027学年九年级上学期数学10月阶段学情检测数学试卷

群力经纬中学2026—2027学度上学期 九年级十月份数学学科阶段测试试卷 考试须知：本次考试为闭卷考试形式，考试时间为120分钟，试卷总分为120分，请同学们认真阅读试题，并在相应的位置上填写出答案． 一、选择题：（共10题，每题3分） 1. 一个数的倒数是-2，则这个数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3. 据统计，2026年“十一”期间某景区接待游客约为人，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（ ）． A. 2 B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏．当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（ ） A. 30 B. 36 C. 37 D. 43 8. 如图，点E是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 9. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. 100（1＋x）2＝81 B. 81（1＋x）2＝100 C. 100（1－x）2＝81 D. 81（1－x）2＝100. 10. 如图1，在矩形的边上有一点E，连接，点P从点A出发沿以的速度运动到点C，图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：s）的变化的函数图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 13. 计算的结果是___________． 14. 多项式分解因式的结果是_____． 15. 不等式组的解集是________． 16. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 17. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 18. 定义一种新运算*，规定运算法则为：，则当时，x的值为________． 19. 已知等腰中，，，高，则的值为____． 20. 如图，中，，，点D为边上动点，连接，过点C作且，连接交边于点F，连接．则下列结论正确的是________（填序号）①；②；③；④点G在射线上，连接，过点G作于点H，若，则周长的最小值是8；⑤． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中x=2cos30o+3tan45 o. 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． （1）如图，作的角平分线； （2）如图，在边上画点E，连接，使得； （3）连接，并直接写出的面积． 23. 群力经纬中学为了增强学生勤俭节约的意识，随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额（单位：元），根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： （1）求本次接受调查的学生人数为多少人？ （2）图1中m的值为________；这组学生零花钱数据的中位数是________；在图2中补全条形统计图； （3）群力经纬中学共有约2000名学生，请估算全校学生一周的零花钱共多少元？ 24. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE． （1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍． 25. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 26. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若于E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，F为中劣弧上一点，连接、，若，，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，若． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点D在线段上，设，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作射线轴，延长到点，连接并延长交于点，连接，若，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 群力经纬中学2026—2027学度上学期 九年级十月份数学学科阶段测试试卷 考试须知：本次考试为闭卷考试形式，考试时间为120分钟，试卷总分为120分，请同学们认真阅读试题，并在相应的位置上填写出答案． 一、选择题：（共10题，每题3分） 1. 一个数的倒数是-2，则这个数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知-2和互为倒数． 【详解】解：一个数的倒数是-2，则这个数是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．做这类题时学生可以逆向思维． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，选项A错误． ，选项B正确． ，选项C错误． ，选项D错误． 3. 据统计，2026年“十一”期间某景区接待游客约为人，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合． 【详解】解：A.正方形是轴对称图形，该选项不符合题意； B. 平行四边形不是轴对称图形，该选项符合题意； C. 矩形是轴对称图形，该选项不符合题意； D. 菱形是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得AB的长度，然后利用锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4， ∴AB＝， ∴cos∠ABC＝， 故选：B． 【点睛】考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：方程两边同乘， 得， ， ， ， ， 检验：当时，， 即是原方程的解． 7. 学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏．当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（ ） A. 30 B. 36 C. 37 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】观察第个图案，有个镂空的等边三角形；第个图案，有个镂空的等边三角形；，总结出规律，把代入计算即可得出答案； 【详解】解：第个图案（1个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， 第个图案（2个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， 第个图案（3个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， 第个图案（4个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：（个）， …… 第个图案（n个灰色等边三角形）：镂空的等边三角形有：个， 当时（6个灰色等边三角形），镂空的等边三角形有个． 8. 如图，点E是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形可得，结合和，求出，即可求出． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，即， ， ， ， ， ， ． 9. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. 100（1＋x）2＝81 B. 81（1＋x）2＝100 C. 100（1－x）2＝81 D. 81（1－x）2＝100. 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）=81，把相应数值代入即可求解．根据题意列出一元二次方程即可； 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，第一降价后的价格为，第二次降价后的价格为，即： 100（1－x）2＝81 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． 10. 如图1，在矩形的边上有一点E，连接，点P从点A出发沿以的速度运动到点C，图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：s）的变化的函数图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为9，横坐标为6，得的最大面积为9，此时、重合，，，通过图象知道点到达终点时，的面积是6，此时、重合，，得的长． 【详解】解：∵是矩形， ∴ 由图象可知，当、重合，，， 可得：， 当、重合时，，可得：． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】∵ 分式的分母不能为， ∴ ， 解得 ． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 13. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式进行化简，然后合并同类二次根式进行计算． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的减法，正确化简计算是本题的解题关键． 14. 多项式分解因式的结果是_____． 【答案】b(a+1)(a-1). 【解析】 【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可． 【详解】原式=b(a2-1)=b(a+1)(a-1). 故答案为b(a+1)(a-1). 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 16. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 17. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 【答案】2π 【解析】 【详解】分析：根据弧长公式可得结论． 详解：根据题意，扇形的弧长为=2π， 故答案为2π 点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 18. 定义一种新运算*，规定运算法则为：，则当时，x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，将对应数值代入得到一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】∵ 规定新运算，， ∴， 两边同时除以， 得 移项得． 19. 已知等腰中，，，高，则的值为____． 【答案】或2 【解析】 【分析】分两种情况：当高在内部时，当高在外部时，分别利用勾股定理，并结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：如图，当高在内部时， ， ∵，高， ∴， ∴， ∴； 如图，当高在外部时， ， ∵，高， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或2． 20. 如图，中，，，点D为边上动点，连接，过点C作且，连接交边于点F，连接．则下列结论正确的是________（填序号）①；②；③；④点G在射线上，连接，过点G作于点H，若，则周长的最小值是8；⑤． 【答案】 ①③④⑤ 【解析】 【分析】利用SAS判定，进而判断①；利用全等三角形面积相等及割补法计算四边形面积判断②；利用全等三角形对应角相等及三角形外角性质推导角度关系判断③；将问题转化为“将军饮马”模型，利用轴对称求线段和最小值判断④；利用等腰直角三角形三线合一性质及勾股定理推导线段平方关系判断⑤ 【详解】解：①∵， ∴， ， ，即， 在和中， ， ，故①正确； ② ， ， ， ，， ， ，故②错误； ③∵，， ∴， ， ， ∵，， ， ∴， ∵是和的外角， ， ，故③正确； ④周长，已知为固定值，故当最小时，周长最小， 如图，过点作直线，交于点，延长至点，使，连接，， 又，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为， 即的最小值为， ∴周长的最小值为，故④正确； ⑤ 如图，过点作于点， 是等腰直角三角形， 是中点，， 在中，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是 ①③④⑤． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中x=2cos30o+3tan45 o. 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： = = = 当 = = 原式= 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． （1）如图，作的角平分线； （2）如图，在边上画点E，连接，使得； （3）连接，并直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据等腰三角形三线合一解题； （2）构造以为斜边的等腰直角三角形，延长交于点； （3）过点作交于点，设，则，，结合列方程计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点作交于点， ∵， ∴， 其中，， 设，则，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 化简得， ∴， 解得， ∴， ∴． 23. 群力经纬中学为了增强学生勤俭节约的意识，随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额（单位：元），根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： （1）求本次接受调查的学生人数为多少人？ （2）图1中m的值为________；这组学生零花钱数据的中位数是________；在图2中补全条形统计图； （3）群力经纬中学共有约2000名学生，请估算全校学生一周的零花钱共多少元？ 【答案】（1）人 （2），元， 补全条形统计图如下， （3）元 【解析】 【分析】（1）利用部分的实际数据除以占比即可得出总数； （2）根据实际数据和总数求出部分占比，利用中位数的定义求出中位数，求出部分数据补全条形统计图即可； （3）求出样本的加权平均数，然后根据样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生人数为（人）； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 该组数据的中位数是排序后的第位数和第位数的平均数， 第位数和第位数都为， ∴该组数据的中位数为（元）； 元的人数为（人）， 补全条形统计图如下， 【小问3详解】 解：（元）， （元）， 答：全校学生一周的零花钱共元． 24. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE． （1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍． 【答案】 （1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE， ∴DE∥AC， ∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA， ∵∠ACB＝90°，BE＝AE， ∴CE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵AF＝AE， ∴∠F＝∠AEF， ∴∠F＝∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形ACEF是平行四边形； （2）FG，CG，CD，DB 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形； （2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝AB， 由（1）知CE＝AB， ∴AC＝CE＝BE， 又∵四边形ACEF为平行四边形 ∴四边形ACEF为菱形， ∴AE⊥CF， ∵CE＝BE， ∴∠B＝∠DCE＝30°， ∴∠BED＝∠BAC＝60°， ∵DF∥AC， ∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴BD＝CD＝DE， ∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°， ∴∠CED＝60°， ∴∠FEG＝∠CED， ∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°， ∴△EFG≌△ECD（AAS）， ∴EG＝DE，FG＝CD， ∴FG＝DE， ∵CG＝FG， ∴CG＝DE， ∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质以及直角三角形的性质，是解题的关键． 25. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 （2）购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元 【解析】 【分析】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，且，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台， 且，即，且为非负整数， 根据题意，得， 由，得随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元． 26. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若于E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，F为中劣弧上一点，连接、，若，，，求线段的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，则有， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简得， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，过点作交于点，则有， 由（1）知，，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，结合圆周角定理即可证明； （2）过点作交于点，则有，证明，进而证明； （3）连接，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，证明，得到，求出的长，证明，求出的长，证明，得到，结合勾股定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点， 由（2）知，，， 设，则，，，，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴， 即，解得， ∴， ∴，，， 由（2）知，则， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，若． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点D在线段上，设，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作射线轴，延长到点，连接并延长交于点，连接，若，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 或 ． 【解析】 【分析】（1）由 得 ，从而 、，用待定系数法求直线的解析式； （2）由 得 ，以 为底、点 到 轴的距离 为高，用三角形的面积公式求 与 的函数关系式； （3）由 ，作以 为圆心、 为半径的 ，证得点 在 上，得 ；设 ，由 得 ，延长 交射线 于点 ，利用 的两个 8 字形相似用 表示 、，在 Rt 中用勾股定理表示 ，由 建立方程，解得 或 （两解），最后作 轴，由 分别求出两种情况下点 的坐标． 【小问1详解】 解：直线交y轴正半轴于点A， 令，则， 所以，， 因为， 所以， 则， 因为点B在x轴负半轴， 所以， 把代入中，可得， 解得， 所以 【小问2详解】 解：因为，点D在线段上， 所以， 在中，， S与t之间的函数关系式 【小问3详解】 解：以 为圆心、 为半径作 ，则 ，点 、 在 上， 是圆心角． 在 的优弧 上任取一点 ，则 （圆周角定理），且优弧 与圆心 在直线 的同一侧， ∵ 点 与点 在直线 的同侧， ∴ 点 与点 在直线 的同侧， ∵ ，且点 、 在弦 的同侧， ∴ 、、、 四点共圆， ∵ 过不共线的三点 、、 的圆就是 ， ∴ 点 在 上， ∴ ． 设 （），∵ ，∴ ， ∵ 点 在线段 上， ∴ （）． 延长 交射线 于点 ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． ∵ ， ∴ 在 Rt 中，， ∴ ． ∵ 点 在线段 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 两边平方，得 ， ∵ ， ∴ ， 展开，得 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ 或 （经检验，两根均符合题意）． 情况一： 时，，，， ∴ ，， 过 作 轴于 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． 情况二： 时，，，， ∴ ，， 过 作 轴于 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． 综上，点 的坐标为 或 ． 第1页/共1页 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