精品解析：黑龙江哈尔滨市松雷中学2026-2027学年九年级上学期数学10月阶段学情检测数学试卷

松雷中学2026-2027学年上学期九年级数学10月月考 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与同类项合并规则逐一判断选项即可． 【详解】解：对于A：与不是同类项，不能合并， A错误，该选项不符合题意； 对于B：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， B正确，该选项符合题意； 对于C：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得， C错误，该选项不符合题意； 对于D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，D错误，该选项不符合题意． 3. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此解答即可． 【详解】解：选项A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 选项D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 4. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 经检验得，是该方程的解， 故选：C． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 6. 如图，绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，根据旋转的性质得出，，，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，且点D在边上，根据图中尺规作图的痕迹，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-基本作图，角平分线的定义与性质，线段垂直平分线的定义与性质，三角形内角和定理等知识，由图中尺规作图痕迹可得平分，是的垂直平分线，结合角平分线和线段垂直平分线的定义与性质分析，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 反比例函数的图象上有，两点．则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数的增减性求解． 直接利用反比例函数的增减性求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，， ∴点A，B均在第四象限， ∵， ∴． 故选：A． 9. 如图，已知在中，为上一点，，分别交，，于点，，，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定推出△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的性质得出比例式即可． 【详解】A、∵EG∥BC，即EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵，故本选项不符合题意； B、∵EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵BDDC，故本选项不符合题意； C、∵EG∥BC，即FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∵，故本选项不符合题意； D、∵EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴， ∵FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能正确的识别图形、灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 地球半径大约是，将数据6370000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为． 12. 函数中自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量的取值范围， 根据分母不能为0，即可得到答案． 【详解】解：函数中，因为分母不能为0， 所以， 因此， 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 14. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式中的两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 15. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，再根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 16. 半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长为， 故答案为：． 17. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：． 18. 如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 故答案为：． 19. 在中，，的面积为9，则的度数为_____度． 【答案】75或15##15或75 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，并分情况讨论是解题的关键． 分两种情况：是锐角三角形和是钝角三角形，分别利用面积求出腰上的高，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：若是锐角三角形，过点C作于点D，如图， ，， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴， ， ， 若是钝角三角形，过点B作于点D，如图， ，， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴， ， ， ． 故答案为：75或15． 20. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中结论正确的序号是_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，可得，即可判定②；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质可得，即可判定①；证明，再根据相似三角形的性质即可判定④，设， 根据勾股定理求得，根据③的结论求得，即可判断③． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，故①正确； ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 设， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，故③不正确； 综上，结论正确的序号是①②④． 三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】分式化简先算括号，除法变乘法，因式分解、约去公因式；再用特殊角三角函数算出字母的值，最后代入最简分式算出最终结果，注意分式分母不为0． 【详解】解： ； 把代入化简后的式子： ． 22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，找一格点，连接和，使是锐角等腰三角形； （2）在图②中，找一格点，连接和，使． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以B为顶点，找一格点，使，即可得出是锐角等腰三角形． （2）找一格点，使得，连接，， 则，则，又，则． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 23. 哈市某中学开展以“过有意义的五一劳动节”为主题的调查活动，围绕“A：旅游、B：适当学习、C：看电影、D：在家休息”四项活动，你最喜欢哪一项进行调查（必选且只选一项），在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，再将调查结果整理后绘制成如图的不完整的统计图，其中最喜欢“看电影”的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供信息解答以下问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有2700名学生，请你估计该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有多少名？ 【答案】（1）90名 （2） （3）720名 【解析】 【分析】（1）根据样本总数频数所占百分比，求得样本总数解答即可． （2）利用频数之和等于样本总数，计算补图即可． （3）利用样本估计总体的思想，计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得最喜欢“看电影”的学生人数18人，占比为， 一共有故（人）． 【小问2详解】 解：根据题意，B类的人数为：（人）． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）， 答：该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有720名． 24. 综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图，四边形中，，（或），则四边形叫做“邻等对补四边形”． （1）概念理解 在以下四种图形中：平行四边形，菱形，矩形，正方形．一定是“邻等对补四边形”的是____________．（填写序号） （2）探究发现 如图，在四边形中，，平分，求证：四边形是邻等对补四边形． （3）拓展应用 如图，在中，，，为平面内一点，满足四边形为邻等对补四边形，直线与交于点，若中有一个角为，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图，过作交延长线于点，作于点，则， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分， ∴四边形是邻等对补四边形； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“邻等对补四边形”定义逐一判断即可； （）过作交延长线于点，作于点，则，证明，故有，然后根据“邻等对补四边形”定义即可求证； （）分当时和当时两种情况分即可． 【小问1详解】 解：平行四边形对角相等，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”； 菱形对角相等，邻边相等，不是“邻等对补四边形”； 矩形对角相等且互补，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”； 正方形对角相等且互补，邻边相等，一定是“邻等对补四边形”； 故选：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 综上可知的长为或． 25. 随着中俄贸易的发展，哈市中央大街某商店购进了一批俄罗斯生产的纪念品，商店先用5000元购进一批纪念品进行试销，由于销售状况良好，商店又调拨11000元资金购进该种纪念品，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每件贵了元； （1）求试销时该种纪念品每件的进价是多少元？ （2）如果该商店将该种纪念品按每件7元的定价出售，当大部分纪念品售出后，余下的纪念品每件定价为4元，商店在这两次销售中的利润不低于4100元，那么余下的纪念品最多有多少件？ 【答案】（1）试销时该种纪念品每件的进价是元； （2）余下的纪念品最多有件 【解析】 【分析】（1）根据“第二次进货数量是试销时的倍”列分式方程，求解后检验即可得到结果； （2）先计算两次购进的总数量，再根据“利润不低于4100元”列一元一次不等式，求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：设试销时该种纪念品每件的进价是元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：试销时该种纪念品每件的进价是元； 【小问2详解】 解：试销时购进纪念品数量为（件）， 第二次购进纪念品数量为（件）， 设余下的纪念品有件， 根据题意，得 解得， 答：余下的纪念品最多有300件． 26. 如图四边形内接于，点A是弧的中点，连接和相交于点H． （1）求证：； （2）若H是的中点，求的度数； （3）在（2）的条件下，分别过点C和点D作和的垂线交于点G，垂足为点E和点F，连接，当时，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点A是弧的中点， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据垂径定理的推论即可得证； （2）证明都是等边三角形，求出，然后根据圆周角定理求解即可； （3）点 是 的垂心；先用全等三角形证得 等于半径，再由矩形 与 推出 的长，用勾股定理得到半径 ，最后由 结合 的面积求出 ． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵H是的中点，， ∴． ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ 【小问3详解】 解：设 ， 的半径为 ，连接、 、． 由（2）知 ，， 在等腰 中，． 过点 、 的垂线分别是 边 、 上的高， 点 是 的垂心，即 ，，，． 取 的中点 、 的中点 ，连接 、；作 于点 ， 于点 （如图），则． 点 为 的中点，点 为圆心， ，，； ，点 为垂足，点 在 上， ； 在 中，， ， ； ，， ； 又 （）， ； 而 ， ． 在 和 中， ∴ ， ，即 ． ，点 为 的中点， 在等腰 中，由三线合一得 ，且 平分 ， ，． ，，且 ， ； ． 在等腰 中，，， ， ． 又 ，（）， ； ， ． 在 和 中， ，∴ ， ． ，，， ，， 四边形 是平行四边形； 又 ， 四边形 是矩形， ，． ； 又 （由 ）， ； ． 在 中，； 由 得 ． 在 中，， ； ； 又 ， ． 在 中，， ； 又 ， ， ， ，即 ． 在 中，， ，． ，， ，； 在 中，， ； ， ． 又 ； 在 中，， ， ，， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线l交坐标轴于A、B两点，已知，． （1）求直线l的解析式； （2）如图2，直线l上有一点P，过点P的直线交坐标轴于C、D两点，且，求a值； （3）如图3，在（2）的条件下，将线段沿y轴负半轴平移4个单位长度，得到线段，连接，并在线段上取一点E，连接和，使，延长交直线于点Q，当时，求点Q的坐标及直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由，，得，．由待定系数法可得直线l的解析式； （2）由，结合图形可得； （3）延长至N，延长交x轴于，H在延长线上，作轴于G， 轴于K， 设，，先得，由． 则， 即，解得．可得．由，解得，(舍去)．可得的坐标为．则直线的解析式为．代入得点Q的坐标为． 【小问1详解】 解：， ． ， 解得（负数舍去），． 由图可知点A的坐标为，点B的坐标为． 设直线l的解析式为，将，代入得 ，解得， 直线l的解析式为∶． 【小问2详解】 解：点P在直线l上，设点P坐标为， 由图可知，点P不与点B重合，则． 过点P的直线交坐标轴于点C， 点C坐标为， 点B坐标为， ，． ， ． 由图可知． 当时，，， 解得； 【小问3详解】 解：延长至N，延长交x轴于，H在延长线上，作轴于G， 轴于K， ． 将线段沿y轴负半轴平移4个单位长度，得到线段， ，， 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． ，， ． ， 是等腰三角形． ． 由（2）知过点P的直线，交坐标轴于C、D两点， 当时，；当时，； ． ． ． ． ， ． 设，， ，， ． ，， ，解得． ． ， ． ， ， ． ． 解得，(舍去)． 的坐标为，即． 代入直线：，得， 解得． 直线的解析式为． 当时，， 解得． 点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2026-2027学年上学期九年级数学10月月考 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 4. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 6. 如图，绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，且点D在边上，根据图中尺规作图的痕迹，则度数是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有，两点．则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知在中，为上一点，，分别交，，于点，，，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 地球半径大约是，将数据6370000用科学记数法表示为________． 12. 函数中自变量的取值范围是________． 13. 分解因式：______． 14. 计算______． 15. 不等式组的解集是______． 16. 半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为______． 17. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 18. 如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为________． 19. 在中，，的面积为9，则的度数为_____度． 20. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中结论正确的序号是_____________． 三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，找一格点，连接和，使是锐角等腰三角形； （2）在图②中，找一格点，连接和，使． 23. 哈市某中学开展以“过有意义的五一劳动节”为主题的调查活动，围绕“A：旅游、B：适当学习、C：看电影、D：在家休息”四项活动，你最喜欢哪一项进行调查（必选且只选一项），在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，再将调查结果整理后绘制成如图的不完整的统计图，其中最喜欢“看电影”的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供信息解答以下问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有2700名学生，请你估计该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有多少名？ 24. 综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图，四边形中，，（或），则四边形叫做“邻等对补四边形”． （1）概念理解 在以下四种图形中：平行四边形，菱形，矩形，正方形．一定是“邻等对补四边形”的是____________．（填写序号） （2）探究发现 如图，在四边形中，，平分，求证：四边形是邻等对补四边形． （3）拓展应用 如图，在中，，，为平面内一点，满足四边形为邻等对补四边形，直线与交于点，若中有一个角为，请直接写出的长． 25. 随着中俄贸易的发展，哈市中央大街某商店购进了一批俄罗斯生产的纪念品，商店先用5000元购进一批纪念品进行试销，由于销售状况良好，商店又调拨11000元资金购进该种纪念品，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每件贵了元； （1）求试销时该种纪念品每件的进价是多少元？ （2）如果该商店将该种纪念品按每件7元的定价出售，当大部分纪念品售出后，余下的纪念品每件定价为4元，商店在这两次销售中的利润不低于4100元，那么余下的纪念品最多有多少件？ 26. 如图四边形内接于，点A是弧的中点，连接和相交于点H． （1）求证：； （2）若H是的中点，求的度数； （3）在（2）的条件下，分别过点C和点D作和的垂线交于点G，垂足为点E和点F，连接，当时，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线l交坐标轴于A、B两点，已知，． （1）求直线l的解析式； （2）如图2，直线l上有一点P，过点P的直线交坐标轴于C、D两点，且，求a值； （3）如图3，在（2）的条件下，将线段沿y轴负半轴平移4个单位长度，得到线段，连接，并在线段上取一点E，连接和，使，延长交直线于点Q，当时，求点Q的坐标及直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $