精品解析：吉林长春市第二实验中学2026-2027学年度高二上学期10月阶段练习数学试题

2026-2027学年度上学期阶段练习 高二数学试题 时间2026/10/08 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积有最大值但无最小值 B. 的周长为5 C. D. 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长的最小值为 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（    ） A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B. 若直线被圆截得的弦长为2，则 C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为1 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 13. 椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知两条直线 和 （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知圆. （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 17. 已知两圆和. 求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 19. 已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期阶段练习 高二数学试题 时间2026/10/08 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，， 所以. 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 4. 若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 5. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 6. 已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 7. 一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的对称点，数形结合得到所求最短路径为到圆上一点的最小值，求出答案. 【详解】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值， 即. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积有最大值但无最小值 B. 的周长为5 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】AB 【解析】 【详解】先将圆方程化为标准形式： ， 圆心，半径. 对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，圆上的点关于的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 将代入：，B正确. 对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离，，化简，判别式，方程无解，故不存在使直线与圆相切，C错误. 对于选项D，直线过定点，弦长最短时，此时，最短弦长，D错误. 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（    ） A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B. 若直线被圆截得的弦长为2，则 C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值； B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论； C项，根据圆上有且只有两个点到的距离都为1，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论； D项，由几何知识即可得出结论. 【详解】由题意，的三个顶点坐标分别为，，， 在圆中，，半径，. A项，过作圆的切线，切点为，如图所示， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； B项，重心坐标，即， 所在直线：，即. 又线段的中点，所以的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， 联立，解得：，所以外心 因为的“欧拉线”为，所以过和， 故直线：，即， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； C项，因为圆上有且只有两个点到的距离都为1， 所以圆心到直线：即的距离小于直径. 即，解得：，故C正确； D项，结合几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误. 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 13. 椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义把替换成，将所求式子转化为，再用三角不等式求出最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】椭圆 ，则， ，， 左焦点 ，右焦点 ，由椭圆定义：，所以 ， ， 因为，当且仅当为线段的延长线与椭圆的交点时，等号成立， ， 所以， 则的最小值为. 14. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知两条直线 和 （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【小问1详解】 若，则，解得：. 【小问2详解】 若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 16. 已知圆. （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【小问1详解】 由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. 【小问2详解】 如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 17. 已知两圆和. 求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】（1）57 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. 【小问2详解】 当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. 【小问1详解】 由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 19. 已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆结合已知点坐标代入椭圆方程，联立求解得到，写出椭圆标准方程； （2）（i）设过焦点的直线为与椭圆联立得到纵坐标关系，写出椭圆在处的两条切线方程并联立，两式作差消元求得交点横坐标恒为，证明在定直线上； （ii）把代入切线方程求出点坐标，结合韦达定理得到弦中点坐标，通过斜率相等证明三点共线，再写出表达式，利用求该乘积的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $