吉林长春市文理高中2026-2027学年高二上学期第一学程考试数学试题

n 长春市文中 长春市文理高中2026-2027学年度（上)高二年级 第一学程考试数学试卷 (本试卷共3页，满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z=1+i,则z2-z=（) A.1+i B.-1+i c.1-i D.-1-i 2.直线3x-3y-1=0的倾斜角为（） A.30° B.60° C.45° D.120° 3.以(-1,2)为圆心，√5为半径的圆的方程为（) A.(x+1)2+0-2)2=3 B.(x+1)2+y+2)2=3 Cx-1)2+y+2)2=V5 D.(x+1)2+0-2)2=3 4.已知空间向量=(1，-1,2)，万=(1，-2,1)，则向量在向量上的投影向量是（) A.(1,-1,1) B.(信- c.(辰-) D.眼-) 5.设点P,9分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则Q的最 小值为() A.1 B.2 c 6.已知点M(1,-2),N(4,4),H是直线：2x-y+1=0上的动点，则HM+INH川的最小值为 () A.V13 B.35 C V65 D.6V2 7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-A1B1C1D1,其中底面ABCD是正方形， CC1=CD=4,∠C1CB=∠C1CD=60°，则直线A1C与AD1所成角的余弦值为（) By B A.v5 10 8.@ 10 c. .号 8费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当△ABC的三个内 角都小于120°时，在△ABC内部存在唯一的点P,使P到三角形三个顶点距离之和最小，且点P 满足：∠APB=∠BPC=∠APC=120.在直角坐标系x0y内，A(2,0),B(1,2),△A0B的费马点为 P,则点B到直线PA的距离为（) A.2 B.3 C.3+ D.23- 2 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9下列命题为真命题的是() A.已知d=(1,-1,-1),万=(-2,2,0)w则啦+26=(-3,3，-1) B。“存在实数xy,使=x衣卡yb"是与忒，共面的充分不必要条件 C.已知空间三点4A(1,11,B2,22),c(32,4,则向量而与C的夹角余弦值为2 D.若0为空间中任意一点，有0丽=-0+0丽+号DC,则点D在平面ABC内. 10.某市高.一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名 学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，按照 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示.则（) 频率组距 0.040 0.030- x 0.010 0.004- 0'5060708090100成绩/分 A.图中x=0.016 B.估计该市全体学生成绩的平均分为71 C.若对成绩前10%的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分 D.若在[90,100]的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙)中随机选取两名进行访谈，则 甲、乙两人至少抽到一人的概率为号 11.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A41=4V2,AB=4,P为线段AD1上一动点，则下 列说法正确的是（) A.直线CD与直线C1P无交点 B.直线BD不可能与直线C1P垂直 C.三棱锥C,一BCD的外接球的体积为红 D.点A到平面CBD的距离为四 三、填空题：本题共3小题，每处题5分，共15分. 12.若直线1：x+(1-ay-3=0与直线2：(2a+3)x+y+2=0垂直，则a= 13.如图，在120的二面角a-l-中，：AE,B.∈L,AC,c%,BDCB且AC±AB,BD⊥AB,垂 足分别为A,B,已知AC÷AB=BD=6,则线段CD的长为 14.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光 辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个 命题：平面内与两定点距离的比为常数k(化>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为 阿氏圆.现有△ABC,AC=6,=2,则△ABC的最大面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 藤。 15.(13分)己知△ABC的三个顶点是A(1,2)、B(-2,-2)、C(3,-4). (1)求边AC上的中线BD所在直线方程； (2)求边AC上的高BE所在直线方程 16.（15分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z 轴，AB=2,AA1=3,AD=4,A1E=3BD1,2C1F=FC. (1)求证：BD⊥平面CEF; (2)求直线AE与平面CEF的夹角的正弦值： 17.（15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B+sinAsinC=sin2A+sin2C. (1)求角B的大小： (2)若b=2,a+c=4,求△ABC的面积. 18.（17分)平面直角坐标系x0y中，点P(2,4),圆0：x2+y2=4与x轴正半轴交于点Q. (1)求过点P且斜率为1的直线被圆0截得的弦长； (2)求过点P与圆0相切的直线方程： (3)过点P的直线与圆0交于不同的两点A,B,判断直线OA,OB的斜率之和是否为定值，若是则 求出该定值，若不是则说明理由. 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD II BC,PA=2, AB=BC=1,AD=2,M是PD的中点. M A B (1)求证：CM/平面PAB: (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： ()在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出器的值：若不 存在，请说明理由.