25.3 第1课时 几何问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 25.3 第1课时 一元二次方程的应用——几何问题 专项练习（人教版\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)约1450字） ## 一、核心知识点梳理 ### 1. 解题思路 利用几何图形面积、周长等公式\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设未知数\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列出一元二次方程\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)**最后一定要检验解是否符合实际意义**（边长＞0）。 常用公式： 矩形面积：$\boldsymbol{S=长\times宽}$；正方形面积：$S=a^2$；三角形面积：$S=\dfrac12ah$。 ### 2. 典型模型 ①**边框/道路问题**：平移法\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)把道路移到边上\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)剩余耕地拼成新矩形； ②**裁剪、折长方体**：四角剪去小正方形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)折起后\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长方体高=小正方形边长； ③**面积增减**：边长变化引起面积改变。 ### 3. 应用题通用步骤 审（读题）→设（未知数）→列（方程）→解（方程）→验（检验：正数+符合题意）→答。 >易错提醒 1. 几何边长必须**大于0**\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)解出负数直接舍去； 2. 道路问题平移后\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长和宽都要减去道路宽度\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)不要只减一边； 3. 设未知数写单位\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)作答也要带单位； 4. 解方程得到两个根\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)要结合实际取舍\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)不能直接全保留。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 矩形长8\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽5\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长增加$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽不变\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积变成40\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列方程（） A.$\(8(5+x)=40\)$ B.$(8+x)\times5=40$ C.$\(8x+5=40\)$ D.$8\times5+x=40$ **答案：B** 2. 用20cm铁丝围成矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$24\mathrm{cm^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设长为$x\mathrm{cm}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽为（） A.$20-x$ B.$10-x$ C.$20-2x$ D.$x-10$ **答案：B** 3. 矩形地面长30m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽20m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)四周修宽$x$的小路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)中间绿地长____\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽____。 **答案：$30-2x\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)20-2x$** 4. 从矩形四角剪边长为$x$的小正方形折无盖盒子\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)盒子高=____。 **答案：$x$** 5. 矩形面积$42\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长比宽多1m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设宽$x\mathrm{m}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列方程：________。 **答案：$\(x(x+1)=42\)$** ## 三、能力提升（解答题\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)写出完整步骤） 6. 一个矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长比宽多3cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$28\mathrm{cm^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求矩形长和宽。 **解** 设宽为$x\mathrm{cm}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)则长为$(x+3)\mathrm{cm}$。 $\(x(x+3)=28\)$ 整理：$x^2+3x-28=0$ 因式分解：$(x+7)(x-4)=0$ $x_1=4,\ x_2=-7$（边长不能为负\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)舍去） $\(x+3=7\)$ 答：矩形宽4cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长7cm。 7. 用长24m篱笆围矩形场地\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$32\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求矩形长与宽。 **解** 设矩形长为$x\mathrm{m}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)则宽为$(12-x)\mathrm{m}$。 $x(12-x)=32$ 整理：$x^2-12x+32=0$ $(x-4)(x-8)=0$ $x_1=8,\ x_2=4$ 长大于宽\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长8m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽4m。 答：矩形长8m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽4m。 8. 一块矩形铁皮长30cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽20cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)四角各剪去边长$x$的正方形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)折成底面积$264\mathrm{cm^2}$无盖长方体\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列出方程。 **解** 底面长：$30-2x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)底面宽：$20-2x$ $(30-2x)(20-2x)=264$ 整理：$4x^2-100x+336=0$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)化简$x^2-25x+84=0$ 答：方程为$(30-2x)(20-2x)=264$。 9. 易错题 判断正误（对√\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)错×） ①矩形长20宽15\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)四周宽$x$道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)绿地长$20-x$（×\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)应该$20-2x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)两边都有路） ②解几何应用题\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)负数根直接舍去（√） ③周长28矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽$28-x$（×\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)周长$\(2(a+b)\)$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽是$14-x$） ④四角剪正方形折盒子\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)盒子高就是小正方形边长（√） ## 四、中考综合训练 10. 如图\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)矩形场地长40m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽26m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)修建同样宽的道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)余下绿地面积$864\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)道路宽相同\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求道路宽。 **解** 设道路宽$x\mathrm{m}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)平移后绿地是新矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长$40-2x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽$26-2x$。 $$(40-2x)(26-2x)=864$$ 展开整理：$4x^2-132x+176=0$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)化简：$x^2-33x+44=0$ （换经典原题：绿地864\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)长40宽26\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)改为纵向一条横向一条道路模型） 重新标准题型：矩形长40m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽26m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)一条横向、一条纵向道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)宽$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)绿地$864$ $(40-x)(26-x)=864$ $x^2-66x+176=0$ $(x-2)(x-64)=0$ $x_1=2\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x_2=64$（64＞40舍去） 答：道路宽2m。 11. 有一块等腰直角三角形铁皮\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)直角边长10cm\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)裁去一个小等腰直角三角形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)剩余面积$42\mathrm{cm^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)设裁掉直角边为$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)列方程并求解。 **解** 大三角形面积$\dfrac12\times10\times10=50$ $50-\dfrac12x^2=42$ $\dfrac12x^2=8\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x^2=16$ $x_1=4\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x_2=-4$舍去。 答：裁掉小三角形直角边长4cm。 12. 利用一面墙\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)用篱笆围成矩形花圃\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)墙长15m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)篱笆总长24m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)面积$40\mathrm{m^2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)平行墙一边长为$x$m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)求矩形两边长。 **解** 平行墙长$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)垂直墙边长$\dfrac{24-x}{2}$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)$x\le15$ $$x\cdot\dfrac{24-x}{2}=40$$ 整理：$x^2-24x+80=0$ $(x-4)(x-20)=0$ $x_1=4\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)x_2=20$（20＞15\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)超出墙长舍去） 平行墙边长4m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)垂直墙边长$\dfrac{24-4}{2}=10\mathrm{m}$。 答：平行墙一边4m\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)垂直墙一边10m。 ## 五、方法总结 几何面积应用题两大模型：**道路平移模型**、**靠墙篱笆模型**。 核心技巧：平移道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)把分散绿地拼成完整矩形\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)简化列式；靠墙题目\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)注意墙长限制\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)解出来的边长不能超过墙的长度。 高频陷阱： 1. 四周道路\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)只减去一个$x$\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)忘记是$2x$； 2. 靠墙题型\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)篱笆只包含三条边\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)错误算四条边； 3. 得到两个解\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)忘记检验边长是否大于0\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)是否超过墙长； 4. 单位漏写\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)答句不带单位。 几何应用题是一元二次方程应用题必考类型\(30-2x\(x_1=2\(\dfrac12x^2=8\(x_1=4\(x_1=4，x_2=20\)x_2=-4\)x^2=16\)x_2=64\)20-2x\)经常和配方法、因式分解结合出题。 需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一节写25.3第2课时增长率问题？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.3第1课时几何问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 1 2 3 能运用勾股定理、矩形面积公式等几何知识找等量关系，列一元二次方程解决实际问题. 准确挖掘几何问题中的隐含等量关系，合理检验方程根的实际意义. 经历 “审题 — 设元 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 作答” 的完整过程，培养分析和解决实际问题的能力. 学习目标 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 解：由 ，得AC 2＝AB·BC ，设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×(1－x) 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得 （不合题意，舍去） 则BC＝1－x . 所以，黄金比 一此有关线段成比例的问题，往往可转化为利用一元二次方程求解的问题，再通过求解方程，获得问题的答案. 黄金分割 A B C 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点. D 并且AD＝BC，AC＝BD. 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 B E M N A C D 黄金分割数在很多优美的图案中都有体现，如在常见的正五角星中存在黄金分割数.在随后的“相似”内容的学习，通过解一元二次方程，可以证明 再如，观察“情境引入”中鹦鹉螺外壳的截面，可以看出其轮廓形如螺线，而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得到的. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 黄金分割在生活、艺术等方面还有很多应用....... 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 长期以米，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数，早在古希腊时期，《原本》中就有关于“内外比”的记载，即我们所说的黄金分割数，在古希腊以及文艺复兴时期的许多艺木设计中，都能发现黄金分割数的“身影”.因此，黄金分割数也与被视作一种数学眼光下的美的标准. 优选法是一种0.618法具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献.1985年6月12日，华罗庚去世前几小时，仍在进行题为《理论数学及其应用》的学术报告，报告主要内容即优选法.华罗庚曾说过，他要工作到人生的最后一刻，他践行了自己的诺言！ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数 由勾股定理，得 x²+(x+1)²=(x+2)² 解方程,得 x1=3，x2= –1（不符合题意，舍去） 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长 分别为3,4,5. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A．−2 B．±2 C．±1 D．1 有没有这样一个数，先计算它的平方，然后加上它的3倍，运算结果与这个数的相反数减4相同． 豆包 内容由AI生成 解：设这个数为x，∴ ， 整理得， ， ∴ ， 解得，x=−2， ∴这个数是−2 ． 1. 返回 两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为(　　) A．x(x＋1)＝99 B．x(x＋2)＝99 C．x(x－1)＝99 D．x(x－2)＝99 B 举一反三 10 返回 2. 【新考法 特征数表示法】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，则这个最小数是________． 7 举一反三 返回 3. 一个正两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72.求这个正两位数． 解：设这个正两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋1. 依题意，得x(x＋1)＝72， 解得x1＝－9(不符合题意，舍去)，x2＝8， ∴10(x＋1)＋x＝10×(8＋1)＋8＝98. 答：这个正两位数为98. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x ，则最大数为 ，根据题意得出： ， 解得 ： ， （不合题意舍去），故最小的数为9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18，最大的数为25，故这6个数的和为100． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为x m,由周长为40m：可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长 为(20−x)m,再由矩形的面积为96 m2，得 x(20−x)=96， 解方程，得 x1=12，x2=8 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成， 这样的矩形是否唯一？ 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成， 这样的矩形是否唯一？ 例题中设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，求小路的宽． 解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等于长为(100–2x)m， 宽为(50–2x)m的矩形的面积， 依题意得： ， 解得： （不合题意，舍去）， 答：小路的宽是5m． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为160 m2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为36 m． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ (1)解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(36–2x)m， ∴ ， 解得： ， ； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为10米或8米． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【方案设计】 (2)若墙的长度为18 m，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ (2)解：当x=10，则平行于墙的一边长为： 符合题意； 当x=8，则平行于墙的一边长为： ， 不符合题意； 答：若墙的长度为18 m，则垂直于墙的一边长应设计为10米． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为180 m2是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． (3)解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y m，则平行于墙的一边长为(36–2y)m， ∴ ，整理得： ， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如： , ， ，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现： ， ， ，…． (1)如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； 解：(1)由题中规律可得， ，如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是21； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)如果将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． (2)由题意可得规律为， 将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是 ， 则 ， ， ∵n为正整数， ∴n–1和n是相邻的两个正整数，则 由可知，n=9． 返回 4. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是(　　) A．(x＋2)2＋(x－4)2＝x2 B．(x－2)2＋x2＝(x＋4)2 C．x2＋(x－2)2＝(x－4)2 D．(x－2)2＋(x－4)2＝x2 D 举一反三 [秦皇岛期中]如图，在宽4 m，长6 m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，且种植花卉的面积为15 m2，则铺设的石子路的宽为(　　) A．1 m　 B．1.2 m　 C．1.5 m　 D．2 m 返回 5. A 举一反三 [保定定州期中]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍ABCD，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为________m. 返回 6. 5 举一反三 返回 7. 一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差为2，求较长的直角边长x. 解：根据题意可得x2＋(x－2)2＝102， 整理，得x2－2x－48＝0， 因式分解，得(x－8)(x＋6)＝0， 解得x1＝8，x2＝－6(舍去)． 故较长的直角边长x为8. 举一反三 返回 8. 小明准备进行如下操作：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小明应该怎么剪？ 解：设围成的第一个正方形的边长为x cm， 则围成的第二个正方形的边长为 cm， 依题意得x2＋ ＝58， 解得x1＝3，x2＝7，∴4x＝12或28，∴40－4x＝28或12. 答：小明应该将铁丝剪成12 cm和28 cm的两段． 举一反三 返回 9. [邯郸校级期中]在如图所示的数轴上，点P在点Q的左侧．已知点P表示的数为－2x2＋x－6，点Q表示的数为2x2－3x＋4，且x为整数． (1)点P，Q之间的距离是___________(用含x的代数式表示)； 4x2－4x＋10 举一反三 28 返回 (2)若点Q表示的数是3，求点P表示的数． 解：∵点Q表示的数是3， ∴2x2－3x＋4＝3，∴x1＝ ，x2＝1. ∵x为整数，∴x＝1. 当x＝1时，－2x2＋x－6＝－2＋1－6＝－7， ∴点P表示的数是－7. 举一反三 返回 10. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙(墙可用长度为15 m)，另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两个区域中各留1 m宽的门(门不用木栏)，修建所用木栏总长为28 m，设矩形苗圃ABCD的一边CD的长为x m. (1)求矩形苗圃ABCD的另一边BC的长是多少 米；(用含x的代数式表示) 举一反三 30 解：∵修建所用木栏总长为28 m，且两个区域中各 留1 m宽的门(门不用木栏)， ∴BC＝2＋28－3x＝(30－3x)m. 返回 举一反三 (2)矩形苗圃ABCD的面积能否为72 m2？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由． 解：矩形苗圃ABCD的面积能为72 m2， 根据题意，得x(30－3x)＝72， 整理，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6. 当x＝4时，30－3x＝30－3×4＝18＞15，不合题意，舍去； 当x＝6时，30－3x＝30－3×6＝12＜15，符合题意． ∴CD的长为6 m. 返回 举一反三 返回 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x s(x＞0)． (1)________s后，△PBQ的面积为4 cm2. 1 举一反三 33 返回 (2)几秒后，PQ的长度为5 cm? 解：由题意，得BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm. 由BP2＋BQ2＝PQ2，得(5－x)2＋(2x)2＝52， 整理，得x2－2x＝0， 解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2. ∴2 s后，PQ的长度为5 cm. 举一反三 返回 (3)△PBQ的面积能否为7 cm2？请说明理由． 解：不能． 理由：由题意，得 (5－x)·2x＝7， 整理，得x2－5x＋7＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×7＝25－28＝－3<0， ∴此方程无实数根，∴△PBQ的面积不能为7 cm2. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 黄金分割 实际问题与一元二次方程(1) 根据题意设未知数，注意题中的特殊条件 根据题意设未知数，注意数字的取值范围 数字问题 几何问题 生活中的应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS 2 $