25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何图形的边长与面积问题，通过回顾方程解实际问题步骤导入，衔接一元二次方程解法，搭建从代数到几何应用的学习支架，引导学生分析数量关系。 其亮点在于问题驱动探究与图形变换策略，如例3通过平移转化道路面积问题并配动态视频，培养几何直观与空间观念。多方法设元对比（如例2不同设法）发展推理意识，当堂反馈分层巩固模型意识，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题 第25章 一元二次方程 人教版九年级（上） 1 1. 通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.(重点) 2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.(难点) 3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 素养目标 问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？ 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 找等量关系 新知探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？ a²＋b²＝c² 追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？ 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 新知探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数. 由勾股定理，得 x²＋(x＋1)²＝(x＋2)². 解方程，得 x1 = 3，x2 = －1 (不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 新知探究 归纳总结： 在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁. 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 新知探究 例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 96 m² 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为96 m²，得 例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ x(20－x)＝96. 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 可知 12 m 和 8 m 分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m² 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 思考 对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： (1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； (2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 m； 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (10 - x) 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 方法一：设一边长为 x cm，邻边长为 m. 根据矩形周长公式 2 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 方法二：可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 (10 - x) m； 根据矩形周长公式 (10 + x)(10 - x)＝96 解方程，得 x1 = 2，x2 = - 2. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 则其两邻边长分别为 12 m，8 m. 新知探究 特点： 方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程. 方法二：利用“周长为 40，则长 + 宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 【练一练】1.将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：设一个正方形的周长为 x cm，则另一个正方形的周长为 (20－x) cm. ＋＝17 解此方程，得 x1＝16，x2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为 16 cm和 4 cm. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 (1) 由题意可列方程 新知探究 (2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． (2)由题意可列方程 此方程化为一般形式为 x2－20x＋104＝0. ∵ b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16<0， ∴ 此方程无解． ∴ 两个正方形的面积之和不可能等于 12 cm2. ＋＝12 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 【练一练】2. 现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm² 的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为 x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80－2x) cm，宽是 (60－2x) cm， 由题意，得 (80－2x)(60－2x)＝1500， 解得 x1＝55，x2＝15. 又 60－2x＞0，∴x＝55(舍). ∴小正方形的边长为 15 cm. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他列法吗？ 方法一： 20×32－32x－20x＋x²＝540. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 变式一 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 可列方程为 x 20-x 32-x 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 20 32 x 2x 20-x 变式二 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 答：道路的宽为 (18 - ) m. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 变式三 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 1，x2= 25(舍去). 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 【方法点拨】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路). 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 视频：平移求面积动态展示 点击视频开始播放 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 新知探究 图形、面积问题 几何图形中的面积问题：面积公式 (不规则图形采用平移或割补进行转化) 直角三角形中的边长问题：勾股定理 课堂小结 1. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为(　B　) A. x(20＋x)＝64 B. x(20－x)＝64 C. x(40＋x)＝64 D. x(40－x)＝64 B 2.若用一条长为 30 cm 的铁丝围成一个斜边长是 13 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为 cm， cm. 5　 12　 当堂反馈 书写通关 解：设 ⁠. 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠. 道路宽为xm　 (22－x)(17－x)＝300　 x1＝37，x2＝2　 37　 道路宽为2m　 3. 如图，在一块长为 22 m、宽为 17 m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为 300 m2，则道路宽为多少米？ 当堂反馈 4. 如图，要利用一面墙(墙长为 25 m)建羊圈，用75 m长的围栏围成总面积为 300 m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(75－3x)m. 根据题意得(75－3x)x＝300，解得x1＝20，x2＝5. 当x＝20时，75－3x＝15＜25，符合题意. 当x＝5时，75－3x＝60＞25，不符合题意，舍去. ∴AB＝20m，BC＝15m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $