精品解析：湖南株洲市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试卷（A）

株洲市一中2026年下期高二第一次质量检测 数学（A）卷 出题范围：必修一至选修一第一章 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集和并集概念及运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，. 又因为，，， 所以，，，. 故 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项. 【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 下列与终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由与终边相同即可得答案. 【详解】对于AB，因为，所以与终边相同， 所以与终边相同的角为，故A正确，B错误； 对于CD，当时，，显然与终边不相同，故CD错误. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数函数性质，对数函数性质证明，，，再利用单调性比较，可得结论. 【详解】因为函数为增函数，函数为减函数， 所以， 又指数函数在上单调递增，所以，所以. 故选：C. 5. 已知函数，且，其中，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是奇函数 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由求解即可；对于B，由奇函数的定义判断即可；对于C、D，化简可得：由，，分别求出，即可判断. 【详解】因为函数，所以满足，即，解得， 即的定义域为，故A正确； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 由， ， 得，，所以，故C错误，D正确. 故选：C. 6. 函数是（ ） A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】因为. 所以，所以函数为偶函数； 又因为. 所以函数的最大值为，当时取“”. 故选：D 7. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理将题干条件转化为，再次用余弦定理推出，进而得解. 【详解】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 8. 已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是关于的方程的一个根 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积. 【详解】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11. 菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，下列说法中正确的有（ ） A. 在翻折的过程中（不包括初始位置），平面平面 B. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点到平面的距离恒为 C. 若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 D. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），与平面所成的角逐渐减小 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A直接由线面垂直判断面面垂直可得，对B可直接作点到面的距离并计算可得，对C由二面角为可得，进而可将三棱锥看成由一个长方体截成的，从而只需求长方体的外接球的表面积可得，对D可直接得到线面角，并可以表示线面角的正切值随翻折过程中不断在增大，进而可得角不断在增大可得. 【详解】如图： 对于A，在菱形中，，为的中点，则， 即，因，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，如图，取的中点，连接，因为中点，则. 由A选项知平面，所以平面，所以为点到平面的距离， 又因，则，故B正确； 对于C，因为，所以即二面角的平面角， ，即两两垂直，故三棱锥的外接球可以看成以为三条棱组成的长方体的外接球， 所以外接球的直径， 故外接球的表面积为，故C正确； 对于D，如图取中点，连接. 由B选项知平面，则与平面所成的角为，且. 所以，由图易知，在翻折的过程中的值在减小， 所以的值在增大，所以在增大，即与平面所成的角逐渐增大，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式，先求出，再分别计算、同时发生的概率以及、至少有一个发生的概率. 【详解】已知，可得. 因为事件、相互独立，，已知，，所以. 根据公式， ，，，则. 故答案为：；. 13. 设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解. 【详解】设, 因为两两垂直，扩展为长方体， 所以该长方体的体对角线为球的直径， 所以， ， 因为 所以， 当且仅当时取得等号， 故答案为：2. 14. 已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换求出的解析式，根据三角函数的有界性得到或，分别求出相应的、的取值，即可求出的最小值. 【详解】把的图象向左平移个单位长度得到， 则， 因为，可得或， 若，因此且， 所以且， 则， 故当时，取最小值，且最小值为，此时，； 若，因此且， 所以且， 则， 故当时，取最小值，且最小值为，此时，， 综上可得的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求边上的高. 【答案】（1） 因为，所以， 化简得，即， 所以是等腰三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积， 又，所以， 所以. 16. 在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的 2 个球颜色相同的概率； （3）求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用表示抽取小球，通过列举法即可求解； （2）由样本空间，结合古典概型概率公式即可求解； （3）由独立事件概率公式和对立事件概率公式即可求解. 【小问1详解】 用表示抽取小球的所有结果（其中x，y分别为从甲、乙盒子抽到的小球标号），则 【小问2详解】 由（1）． 设事件“取出的2个球颜色相同”， 则事件， ， 所以． 【小问3详解】 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， “2个球至少有一个红球”的概率为． 17. 已知向量，，设函数 （1）求的最小正周期； （2）将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数的单调增区间. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积运算及三角函数的恒等变换，可化简得，再运用余弦型函数的性质求解即可； （2）利用三角函数的图象平移求出的解析式，利用余弦型函数的单调性，即可求解的单调增区间. 【小问1详解】 由向量，， 可得 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知 所以 令，， 所以，. 故的单调增区间为，. 18. 已知四棱锥底面是平行四边形，，，，为正三角形，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点． （1）求证：； （2）当时， ①求二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接，，为正三角形，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 设，由，得， 由为线段上靠近的三等分点，得是线段的中点， ，， 而，，平面，因此平面， 又平面，所以． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理和勾股定理逆定理得，结合得到线面垂直，从而； （2）①先得到为二面角的平面角，得到各边长，得到答案； ②由三棱锥的体积求出点到平面的距离为，进而求出线面角的正弦值 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①由（1）知，，，则是二面角的平面角， 由（1）得，又，，则平面， 在中，，， 所以． ②在中，， 连接，由（1）可得， 在中，， 在中，， 设点到平面的距离为， 由，得，则， 解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可计算出和的值，根据时的解析式可求，则结果可求； （2）根据条件可得，将的解析式代入化简可计算出的值，则对称中心可知； （3）利用对称性直接进行计算即可. 【小问1详解】 由在上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. 【小问2详解】 若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立， ， 有，整理得：， 为了使等式对所有成立，系数必须分别等于零， ，解得， 是中心对称图形，且对称中心是. 【小问3详解】 由（2）知，，， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市一中2026年下期高二第一次质量检测 数学（A）卷 出题范围：必修一至选修一第一章 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列与终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且，其中，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是奇函数 C. D. 6. 函数是（ ） A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 7. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 8. 已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是关于的方程的一个根 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 11. 菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，下列说法中正确的有（ ） A. 在翻折的过程中（不包括初始位置），平面平面 B. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点到平面的距离恒为 C. 若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 D. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），与平面所成的角逐渐减小 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 13. 设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是______． 14. 已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求边上的高. 16. 在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的 2 个球颜色相同的概率； （3）求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 17. 已知向量，，设函数 （1）求的最小正周期； （2）将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数的单调增区间. 18. 已知四棱锥底面是平行四边形，，，，为正三角形，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点． （1）求证：； （2）当时， ①求二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $