精品解析：湖南省长沙市南雅中学2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

数学10月限时训练 时量:120分钟总分:150分 一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，所以． 因为，即，所以， 所以，即． 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】，对应的点为，位于第三象限 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，又，，所以， 解得. 4. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】甲、乙至少有1人猜对的概率. 5. 如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图中相邻最高点A、B的横坐标距离确定周期，结合点确定，再利用正弦函数的单调区间求的递增区间． 【详解】A、B是相邻最高点，故函数周期为从而 由点在图象上，得 又，所以． 因此． 因为系数，当 时，正弦函数单调递增． 解得 故A符合. 6. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由特殊角的三角函数值得． 因为，函数在上单调递增，且，所以． 因为，函数单调递增，且，所以． 综上，． 7. 已知圆，直线与交于两点，则数量积的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先按参数分离求出直线恒过的定点并判断它在圆内，再把化成，从而把问题转化为求弦长的最小值，由"弦最短等价于圆心到直线的距离最大"求得结果. 【详解】把直线的方程按整理得， 令，解得、，所以直线恒过定点. 圆的圆心为，半径为，而， 所以点在圆内，直线与圆恒有两个交点. 设（）. 因为，所以， 又. 设圆心到直线的距离为，则， 由垂线段最短得（当 时取等号）， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以的最小值为. 8. 在正三棱锥S-ABC中，侧面与底面所成二面角的平面角为，侧棱与底面所成的线面角为β，对棱所在异面直线所成的线线角为θ，已知，且，则侧棱BS的长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱锥的底面中心为O，连接SO、AO并延长AO交BC于点D，连接SD．可得，，，进而得，法一：设，进而得，计算可求得侧棱BS的长.法二：设，，进而利用余弦定理可求得侧棱BS的长. 【详解】如图，设正三棱锥的底面中心为O， 连接SO、AO并延长AO交BC于点D，连接SD． 因为正三棱锥底面是正三角形，所以O是正的中心， ，又底面，根据三垂线定理可得， 则就是侧面SBC与底面所成二面角的平面角，即． 因为底面，所以就是侧棱SA与底面ABC所成的线面角，即． 因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以与所成的线线角， 已知，所以． 解法一：因为，所以． 因为底面正的边长，则， 在正中，，所以， 设， 故，即．解得（负值舍去）， 所以． 解法二：设，因为， 在中，由余弦定理解得：， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得或（舍去）. 所以，所以． 二、多选题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若向量的夹角是锐角，则 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若 则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】ABC 【解析】 【详解】若向量的夹角是锐角，则，，故A正确， 根据空间向量共面定理知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确， 对空间中任意一点，，由，得P，A，B，C四点共面，故C正确， 若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，但向量可以平移到同一个平面，故D错误． 10. 已知函数下列结论正确的是（ ） A. 无最值 B. 若，则 C. 若，则或 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为在上单调递增，且，所以无最值，故A正确； 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得； 综上所述：或，故B错误； 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得； 综上所述：或，故C正确； 因为，所以，故D正确. 11. 已知直线与圆相交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与圆相切 B. 点到的最大距离为 C. 直线过一定点 D. 的面积最大值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合距离与圆的半径大小关系，即可判断；对于B，先判断圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合三角函数值域分析，即可求解；对于C，利用对赋值进行判断；对于D，利用B中求得的圆心到直线的距离表示面积，再利用换元法，结合范围，即可求解． 【详解】对于A，圆，即，圆心为，半径． 因为该圆的圆心到直线的距离 ， 所以直线l与圆相切，A正确； 对于B，圆的圆心为，半径． 因为圆心C到直线的距离 ， 又有，， 所以，即点C到l的最大距离为，B错误； 对于C，将直线方程变形为． 解法一：假设直线l过定点，则对任意恒成立， 当时，得，解得；当时，得， 将代入方程，得，即，此式不恒成立， 故假设不成立，直线l不过定点，C错误； 解法二：当，时，直线l为， 当，时，直线l为， 因为直线，没有交点，所以直线l不过定点，C错误； 对于D，因为， 所以的面积． 令，由B选项，可得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以的面积最大值为8，D正确． 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角α的终边过点则=_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义求出，利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 13. 已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 【答案】 【解析】 【分析】先用余弦定理求，再由正弦定理求外接圆的半径，最后利用" 平面时"求出外接球半径，代入球的表面积公式. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得外接圆的半径满足，即. 因为 平面，所以外接球的球心在过外心且垂直于平面的直线上； 又球心到、的距离相等，故球心到平面的距离为. 设外接球半径为，则，即， 所以外接球的表面积为. 14. 过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，求出以为直径的圆的方程，已知圆相减得直线AB的方程，根据直线经过定点可求出，结合的面积求出，从而可求P点坐标. 【详解】圆，∴圆心为，半径， 设点P的坐标为，则以为直径的圆的方程为， 将该方程和相减得，即直线的方程为， 由题意知直线过点，故，即 即直线的方程为， 点到直线的距离为， 则， 又点P到直线的距离为， 由于的面积为，故， 即， 设，则可得，即， 即，即， 即得或， 对于，，即该方程无解， 故，即，即， 所以点P的坐标为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角B的大小； （2）若的面积为求的周长． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以． 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得 化简得，而， 故的周长为． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为等边三角形，E，F分别是PB，PC的中点． （1）求证:平面 （2）若平面平面，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为E，F分别是PB，PC的中点，所以， 又因为面ABCD，面ABCD，所以平面ABCD． （2） 【解析】 【分析】（1）由，分别是，的中点，根据中位线定理可得，根据线面平行定理即可证明； （2）取中点，连接，则由题意得，根据平面平面即可证明平面，以为y轴的正方向，以为z轴的正方向，过点O作平行于AB且以为x轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面法向量和代入计算即可得出答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，连接，则由题意得， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以面， 则以为轴的正方向，以为轴的正方向，过点作平行于且以为轴的正方向，建立空间直角坐标系 则由题可得，，，， 故，，， 设面的法向量为，则， 即，令， 则解得 设直线与平面所成角为， 则． 17. 已知圆经过点，圆心C在直线 上，圆被直线截得的弦长为 （1）若Q为直线上一动点 （i）求的最小值; （ii）求圆C的标准方程； （2）若圆心C在第一象限，且圆C与圆关于直线对称，过原点O的直线m交圆于两点，求弦中点Q的轨迹方程． 【答案】（1）（i）（ii） （2） 【解析】 【分析】(i)利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的垂线段长度，该值即为直线上的动点到的距离最小值. (ii)先设出满足直线方程的圆心坐标，结合弦长公式推导的半径与弦心距的勾股关系、圆过点的条件联立求解圆心坐标，进而算出半径得到圆的标准方程。 (2)先根据对称点求解规则求出圆关于对称的圆的圆心，再利用垂径定理得，通过向量点积为或斜率乘积为的关系，推导弦中点的轨迹方程. 【小问1详解】 i）设圆心，圆心C到的最小距离为， ii）由题意易知半径为． 因为圆C经过点， 所以，解得或，即或， 则圆C的标准方程为． 【小问2详解】 因为圆心在第一象限，故圆心．设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点O的直线m交圆于M，N两点，弦MN中点为Q， 当点Q与点O，'都不重合时，，则Q在以为直径的圆上， 显然点O，在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为，则Q轨迹方程为，即． 18. 已知函数， （1）当时，求的最小值，并求取得最小值时的取值集合； （2）求在上的值域; （3）若对任意的，总存在使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）的最小值为1，取得最小值时的取值集合为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算当时的解析式，使用正弦型函数的性质求解； （2）通过指数函数的单调性求解； （3）将问题转化为，对分类讨论，通过一元二次函数的单调性求解. 【小问1详解】 当时，，则的最小值为， 此时，解得． 故的最小值为1，且取得最小值时x的取值集合为． 【小问2详解】 由题意可得， 因为在上单调递增，所以在上单调递增． 因为，所以在．上的值域为． 【小问3详解】 对任意的：，总存在，使得成立， 由（2）知在上的最小值为1， 所以， 设，则， 设． 当，即时，易知在上单调递增， 则， 即，得，又，此时无解； 当，即时， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，得； 当，即时，易证在上单调递减， 则， 即，得，又，此时无解． 综上，a的取值范围是． 19. 对平面向量定义叉积运算： （1）已知，计算的值，求的面积，并写出面积与向量叉积的数量关系（不需要证明）； （2）已知点，点P为单位圆上的动点，求的最大值； （3）已知圆点Q（3，4）为圆外定点，过Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求的值. 【答案】（1），面积为4， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按叉积的坐标定义直接算出，再用"底乘高的一半"求面积，最后把两者对照、归纳出面积等于该绝对值一半的数量关系. （2）用角参数设出单位圆上动点的坐标，把、代入叉积定义化为关于的三角函数，再用辅助角公式合并、由正弦函数的有界性求绝对值的最大值. （3）法1：根据叉积的模等于以两向量为邻边的平行四边形的面积，把所求问题转化为求面积的两倍，再由切线长公式与直角三角形中的半角关系求出，由此求得结果. 法2：求出切点弦所在的直线方程，进而算出圆心到该弦的距离、弦长以及到该弦的距离，把所求叉积转化为面积的两倍、用"底乘高"求值. 法3：以为直径作圆并与圆作差得到切点弦方程，据此把切点的纵坐标用横坐标表示，将叉积化简为两切点横坐标之差，再联立直线与圆、用韦达定理与判别式求出该差值，代回即得. 【小问1详解】 ， ，， ，， ， 由于，而，所以. 【小问2详解】 设圆上动点， ， ， ， 所以最大值为. 【小问3详解】 法1：因为， ， 所以由叉积的定义可知， 即叉积的模等于以、为邻边的平行四边形的面积，所以. 圆的圆心为，半径，而. 由切线长定理得； 又，所以平分. 设，在中 ， 故，， 所以. 于是. 法2：圆C：圆心，半径，，， 切点M，N在以CQ为直径的圆上，记为圆， 圆C与圆作差得公共弦MN所在直线方程：， 圆心C到直线MN的距离为，弦长， 点Q到直线MN的距离为， 由叉积几何意义：， 法3：圆C：圆心，半径，，， 切点M，N在以CQ为直径的圆上，记为圆， 圆C与圆作差得公共弦MN所在直线方程：， 设， 则 ， 联立与得， 得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学10月限时训练 时量:120分钟总分:150分 一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线与交于两点，则数量积的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 在正三棱锥S-ABC中，侧面与底面所成二面角的平面角为，侧棱与底面所成的线面角为β，对棱所在异面直线所成的线线角为θ，已知，且，则侧棱BS的长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 二、多选题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若向量的夹角是锐角，则 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若 则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10. 已知函数下列结论正确的是（ ） A. 无最值 B. 若，则 C. 若，则或 D. 11. 已知直线与圆相交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与圆相切 B. 点到的最大距离为 C. 直线过一定点 D. 的面积最大值为8 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角α的终边过点则=_______ 13. 已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 14. 过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为__________. 三、解答题：本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角B的大小； （2）若的面积为求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为等边三角形，E，F分别是PB，PC的中点． （1）求证:平面 （2）若平面平面，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 17. 已知圆经过点，圆心C在直线 上，圆被直线截得的弦长为 （1）若Q为直线上一动点 （i）求的最小值; （ii）求圆C的标准方程； （2）若圆心C在第一象限，且圆C与圆关于直线对称，过原点O的直线m交圆于两点，求弦中点Q的轨迹方程． 18. 已知函数， （1）当时，求的最小值，并求取得最小值时的取值集合； （2）求在上的值域; （3）若对任意的，总存在使得成立，求a的取值范围． 19. 对平面向量定义叉积运算： （1）已知，计算的值，求的面积，并写出面积与向量叉积的数量关系（不需要证明）； （2）已知点，点P为单位圆上的动点，求的最大值； （3）已知圆点Q（3，4）为圆外定点，过Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $