2.3.3 点到直线的距离公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3点到直线的距离公式同步练 一、单选题 1．（26-27高二上·江西·阶段检测）点到直线：的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为. 2．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】点到直线的距离， 解得或. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示点到直线上的点的距离的平方， 所以的最小值是点到的距离的平方， 又点到的距离， 所以的最小值为． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 5．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）点到直线的最大距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理含参直线方程得到其恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到该定点的距离求解． 【详解】首先将直线的方程整理为：， 由于等式对任意均成立，因此联立方程组，解得， 即直线过定点． 当直线绕点旋转时，点到直线的距离的最大值为点到定点的距离（此时）． 由两点间距离公式得：， 此时，且，则，解得，符合题意， 故点到直线的最大距离是． 6．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程求出点 的坐标，再利用点到直线的距离公式表示距离，转化为关于参数 的函数最值问题. 【详解】由 得 ，代入 ，得 . 所以 ，. 点 到直线 的距离为 . 又 ，当且仅当 时等号成立. 因此 . 7．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 8．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求，再求点到直线的距离，即可求的面积. 【详解】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 二、多选题 9．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，点，在下列直线中，直线上存在点使的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出点距离各直线的距离，若距离大于，则不存在点，若距离等于，则存在一个点，若距离小于，则存在两个点. 【详解】对于选项A，点距离直线的距离为， 即点到该直线的距离最小为， 因为，所以，因此直线上不存在点使得； 对于选项B，点距离直线的距离为， 因此直线上存在点使得； 对于选项C，点距离直线的距离为， 因此直线存在且只有一点使得； 对于选项D，点距离直线的距离为， 因为，所以，因此直线上不存在点使得； 10．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 11．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若点到直线的距离为，则（    ） A． B．a的最大值为2 C．a的最小值为 D．a只有3个不同的取值 【答案】ABC 【分析】利用点到直线的距离公式求出参数，进而逐个判断选项即可. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以由点到直线的距离公式得， 化简得，解得，或， 可得，则，a的最大值为2，最小值为，a有4个不同的取值， 故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知点到直线的距离为，则_______． 【答案】9或 【详解】由点到直线的距离公式得，，即，解得或. 13．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 14．（25-26高二上·江苏·阶段检测）若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为______. 【答案】 【分析】根据动点，满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线：与：上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离. 故答案为： 四、解答题 15．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）已知直线，. (1)当时，求的值： (2)当时，直线、的交点为，设，若直线过交点，且点到直线的距离等于，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两直线平行则且，列方程求解即可. （2）求出交点坐标，分直线l的斜率存在和不存在两种情况，由点到直线的距离等于2列方程，求解即可. 【详解】（1）因为，所以由两直线平行的系数关系得，解得. （2）当时，直线，， 联立方程，得到，所以交点， ①直线的斜率不存在时，的方程为，点到的距离为，符合要求； ②当直线的斜率存在时，设的方程为，整理得到， 因为点到的距离为，所以，解得， 代入得直线的方程为：， 综上，直线的方程为：或. 16．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知顶点，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求的角平分线与边的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的中点坐标，再由两条直线垂直得到直线的斜率，根据直线点斜式方程求解即可； （2）分别求得，，所在直线方程，设所求交点坐标为，由角平分线性质结合点到直线距离公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由题意，的中点坐标为，，所以直线的斜率为， 直线的方程为，整理得； （2）由题意，所在的直线方程：，所在的直线方程：， 所在的直线方程：， 设所求交点坐标为，， 则有，整理得， 解得或（舍去），所以， 所以交点坐标为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2.3.3点到直线的距离公式同步练 一、单选题 1.(26-27高二上江西·阶段检测)点A1,2到直线l:x+2y+5=0的距离为() A.1 B.2 c.5 D.2V5 上天津南开阶段检测)若点1，Q到直线y=x+1的距离是3 () A.-1 B.-3或3 c.5 D.-1或5 3.(26-27高二上.全国课后作业)已知x+2y=1,则x2+y的最小值为() 1 A.1 B.4 .1 D,0 4.(24-25高二上·广东深圳期末)已知两点A3,2和B-1,4到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为 () A0或号 B. 1或-6 D.0或2 5.(26-27高二上·福建厦门-阶段检测)点A4,6到直线l:5入-1x-(271-1y+22λ=0的最大距离 是() A.4 B.5 c.6 D.34 6.(26-27高二上江苏扬州-阶段检测)已知直线l1:2ax+y-4a-4=0与l2:x-2ay+4a-4=0相 交于点P,则点P到直线x-y+4=0的距离的最大值为() A.2V2 B.3V2 c.2V3 D.3V3 7.(25-26高二上广东江门-阶段检测)已知实数x,y满足4x-2y+3=0:则x-1P+y-1的最小 值为() B.V5 5 A.8 C.5 D.2 8.(25-26高二上·江苏扬州期中)已知△OAB的三个顶点分别为O0,0A1,3,B3,1,则△OAB的 面积为() A.3 B.4 C.5 D.6 二、多选题 9.(26-27高二上·江苏南通阶段检测)在直角坐标系xOy中，点M5,0,在下列直线中，直线上存在 试卷第1页（共3页） 点P使PM=4的有() A.y=x+1 B.y=2 C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0 10.(25-26高二下.浙江·开学考试)已知A(5,-3),B(3,1)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a 的值可以为() A.-2 B.0 c.2 D.2 3 11.(25-26高二上·河南南阳-阶段检测)若点P2a,Q2到直线3x-4y+1=0的距离为行，则(） A.a∈Q B.a的最大值为2 C.a的最小值为- 2 D.a只有3个不同的取值 三、填空题 12.(26-27高二上·福建厦门阶段检测)已知点M(4,5)到直线：4x-3y+C=0的距离为2，则C= 13. (25:26高二上：海南阶段检测)已知点AQ,5到直线1：x-3y+1=0的距离为1，则a= 14.（25-26高二上江苏阶段检测)若动点AX,y小BX,y,分别在直线1，：5x-12y+2=0与，： 5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 四、解答题 15.(26-27高二上广东广州阶段检测)已知直线1，：ax+3y+1=0'l2:x+a-2y-1=0 (1)当1∥12时，求a的值： (2)当a=2时，直线l1、l2的交点为P,设A3,0,若直线l过交点P,且点A到直线的距离等于2，求直线l 的方程. 16.(25-26高二上浙江金华阶段检测)已知△ABC顶点A4,0,B0,3,C4,4. (1)求边BC的垂直平分线l的方程： (2)求∠BAC的角平分线与边BC的交点坐标. 试卷第2页（共3页）