2.5.1(1) 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1(1)　直线与圆的位置关系导学案 课前任务单 一、学习目标 1. 能通过观察、画图，识别直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）。 2. 理解直线与圆位置关系和圆心到直线距离、圆半径的数量关系对应,初步记忆切线的关键特征(重点)。 3. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（难点）。 二、回顾与联结 1. 圆的基本要素：（定点）、（定长）。 2. 点到直线的距离定义：从直线外一点向直线作______，该点与垂足之间的线段长度。 3. 已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d： - 点P在圆内⇔________________________； - 点P在圆上⇔________________________； - 点P在圆外⇔________________________。 三、核心探究与自主建构 任务1：观察与分类 1. 画出一个半径为2cm的圆O，再画三条不同的直线、、，分别满足： - 直线与圆没有公共点； - 直线与圆有且只有一个公共点； - 直线与圆有两个公共点。 2. 结合画图结果，给直线与圆的三种位置关系命名：____________、____________、____________。 任务2：数量关系分析 1. 对任务1中的三条直线，分别作出圆心O到直线的垂线段，测量其长度（记为d）： - 直线（无公共点）：d≈______cm，与半径r=2cm的大小关系：__________________； - 直线（一个公共点）：d≈______cm，与半径r=2cm的大小关系：__________________； - 直线（两个公共点）：d≈______cm，与半径r=2cm的大小关系：__________________。 2. 猜想：直线与圆的位置关系和d、r的数量关系对应规律： - 直线与圆相离⇔__________________； - 直线与圆相切⇔__________________； - 直线与圆相交⇔__________________。 任务3：思考与提问 1. 生活中哪些场景能体现直线与圆的不同位置关系？（例：太阳升起时地平线与太阳的位置变化）请再举2例：、。 2. 当直线与圆相切时，这条直线（切线）和过切点的半径有什么位置关系？（可通过画图观察） 3. 你在探究过程中遇到的疑问：______________________________。 四、初步尝试与应用 1. 已知圆的半径为3cm，圆心到直线的距离为4cm，则直线与圆的位置关系是______________________________。 2. 若直线与圆有两个公共点，则圆心到直线的距离d与圆半径r的关系是______________________________。 3. 判断：“直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线”这句话是否正确？（ ） 五、反思与提问 1. 本次预习你掌握较好的内容：______________________________________________________。 2. 希望课堂上重点讲解的知识点：______________________________________________________。 课前预习 自主梳理 知识点1 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 图形 知识点2 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d r d r d r 代数法：联立它们的方程 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 提示 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法． 应用新知 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系. 例1小结： 变式1．(1)直线：与圆：的位置关系是（    ） A.相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 (2)判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【题型2 求弦长、切线长】 【例2】由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 例2小结: 变式2.直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【题型3 由直线与圆的位置关系求直线方程】 【例3】 (1)过点作圆的切线，求切线的方程． 例3小结: 变式3过点直线与圆相交，且圆心距为，求直线的方程． 达标训练 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 2．已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 3．写出一个过点且与圆相切的直线方程 ． 4．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 5.已知直线与圆相交于A､B两点，且，求直线l的倾斜角. 能力提升 6.已知直线：，圆：，下列结论错误的是（    ） A．直线的纵截距为 B．上的点到直线的最大距离为5 C．上的点到点的最小距离为 D．上恰有三个点到直线的距离为2 7已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，求切线长的最大值. 2.5.1（1）　直线与圆的位置关系导学案第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.5.1(1)　直线与圆的位置关系导学案 二、回顾与联结 3. d<r d=r d>r 三、核心探究与自主建构 2.相离、相切、相交 1. 3（不定）d>r ； 2 d=r ；1（不定）d<r 2. d>r；d=r； d<r 任务3：思考与提问 1.如车轮与地面，月亮与地平线等 四、初步尝试与应用 1.相离 2.d<r 3.正确 课前预习 自主梳理 知识点1 2 1 0 知识点2 < = >； > = < 应用新知 例1 解法1： 联立直线与圆的方程，得 消去，得，解得，． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 解法2：圆的方程可化为， 因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的 距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 例题小结： 思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系. 变式1．（1）【答案】A 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. (2)【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 【例2】【解题思路】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【解答过程】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 例2小结:直线与圆若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长或可利用勾股定理求得弦长．若相切，则可利用勾股定理求得切线长． 变式2.【答案】C 【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案.. 【详解】由配方得， 所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离， 所以，.故选：C. 【例3】 分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，为斜率． 由直线与圆相切可求出的值． 解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为， 即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ，解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 ，只有一组解． 消元，得． ① 因为方程①只有一组解，所以 ．解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 例3小结:(1)过圆上一点的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率,再由垂直关系得切线的斜率为,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程或. (2)过圆外一点的切线方程的求法 设切线方程为,由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得,也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条。一般不用联立方程组的方法求解. 变式3分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相交．我们设切线方程为，为斜率． 由点到直线距离公式可求出的值． 解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为， 即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ，解得或． 因此，所求切线的方程为或． 达标训练 1．【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为， 故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心. 故选：C 2．【答案】 【解析】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 3．【答案】或（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆， 当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则， 解得，此时切线方程为． 由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程， 故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可） 4．【答案】0或 【解析】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 5.【答案】0或 【分析】求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l的倾斜角． 【详解】直线，即， 可得圆心到直线l的距离， 圆的半径r＝2， 所以弦长， 由题意 整理可得：， 解得或 所以倾斜角为0或； 故答案为：0或. 6.【答案】B 【分析】根据直线方程的性质、直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，依次判断选项即可. 【详解】对选项A，直线：，纵截距为，故A正确. 对选项B，圆：，圆心，半径， 上的点到直线的最大距离为，故B错误. 对选项C，因为，所以点在圆外， 所以上的点到点的最小距离为， 故C正确. 对选项D，圆心到直线：的距离， 因为，所以上恰有三个点到直线的距离为2，故D正确. 故选：B 7.【解题思路】 根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【解答过程】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 2.5.1（1）　直线与圆的位置关系导学案答案第 1 页 共6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1(1)　直线与圆的位置关系导学案 课前任务单 一、学习目标 1. 能通过观察、画图，识别直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）。 2. 理解直线与圆位置关系和圆心到直线距离、圆半径的数量关系对应,初步记忆切线的关键特征(重点)。 3. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（难点）。 二、回顾与联结 1. 圆的基本要素：（定点）、（定长）。 2. 点到直线的距离定义：从直线外一点向直线作______，该点与垂足之间的线段长度。 垂线 3. 已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d： - 点P在圆内⇔________________________； d<r - 点P在圆上⇔________________________； d=r - 点P在圆外⇔________________________。 d>r 三、核心探究与自主建构 任务1：观察与分类 1. 画出一个半径为2cm的圆O，再画三条不同的直线、、，分别满足： - 直线与圆没有公共点； - 直线与圆有且只有一个公共点； - 直线与圆有两个公共点。 2. 结合画图结果，给直线与圆的三种位置关系命名：__________、__________、__________。相离、相切、相交 任务2：数量关系分析 1. 对任务1中的三条直线，分别作出圆心O到直线的垂线段，测量其长度（记为d）： - 直线（无公共点）：d≈______cm，与半径r=2cm的大小关系：______________； 3（不定）d>r - 直线（一个公共点）：d≈______cm，与半径r=2cm的大小关系：______________；2 d=r - 直线（两个公共点）：d≈______cm，与半径r=2cm的大小关系：______________。1（不定）d<r 2. 猜想：直线与圆的位置关系和d、r的数量关系对应规律： - 直线与圆相离⇔__________________；d>r - 直线与圆相切⇔__________________；d=r - 直线与圆相交⇔__________________。d<r 任务3：思考与提问 1. 生活中哪些场景能体现直线与圆的不同位置关系？（例：太阳升起时地平线与太阳的位置变化）请再举2例：__________________、__________________。如车轮与地面，月亮与地平线等 2. 当直线与圆相切时，这条直线（切线）和过切点的半径有什么位置关系？（可通过画图观察） 3. 你在探究过程中遇到的疑问：______________________________。 四、初步尝试与应用 1. 已知圆的半径为3cm，圆心到直线的距离为4cm，则直线与圆的位置关系是_________________。相离 2. 若直线与圆有两个公共点，则圆心到直线的距离d与圆半径r的关系是____________________。d<r 3. 判断：“直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线”这句话是否正确？（ ）正确 五、反思与提问 1. 本次预习你掌握较好的内容：______________________________________________________。 2. 希望课堂上重点讲解的知识点：______________________________________________________。 课前预习 自主梳理 知识点1 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 图形 知识点2 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d < r d ＝ r d > r 代数法：联立它们的方程 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ > 0 Δ ＝ 0 Δ < 0 提示 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”．判断直线与圆的位置关系，一般用几何法． 应用新知 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系. 解法1： 联立直线与圆的方程，得 消去，得，解得，． 所以，直线与圆相交，有两个公共点． 解法2：圆的方程可化为， 因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线l的 距离．所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 例题小结： 思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系． 变式1．(1)直线：与圆：的位置关系是（    ） A.相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 (2)判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 （1）【答案】A 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. (2)【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 【题型2 求弦长、切线长】 【例2】由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【解题思路】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【解答过程】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 例2小结:直线与圆若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长或可利用勾股定理求得弦长．若相切，则可利用勾股定理求得切线长． 变式2.直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案.. 【详解】由配方得， 所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离， 所以，.故选：C. 【题型3 由直线与圆的位置关系求直线方程】 【例3】 (1)过点作圆的切线，求切线的方程． (2)过点直线与圆相交，且圆心距为，求直线的方程． 分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外， 经过圆外一点有两条直线与这个圆相切． 我们设切线方程为，为斜率． 由直线与圆相切可求出的值． 解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为， 即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ，解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为． 因为直线与圆相切，所以方程组 ，只有一组解． 消元，得． ① 因为方程①只有一组解，所以 ．解得或． 因此，所求切线的方程为，或． 例3小结.(1)过圆上一点的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率,再由垂直关系得切线的斜率为,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程或. (2)过圆外一点的切线方程的求法 设切线方程为,由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得,也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条。一般不用联立方程组的方法求解. 变式3.分析：如图2.5-2，容易知道，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相交．我们设切线方程为，为斜率．由点到直线距离公式可求出的值． 解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得 ，解得或． 因此，所求切线的方程为或． 达标训练 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离为， 故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心. 故选：C 2．已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 3．写出一个过点且与圆相切的直线方程 ． 【答案】或（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆， 当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为． 由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程， 故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可） 4．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【解析】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离，解得：或. 故答案为：0或. 5.已知直线与圆相交于A､B两点，且，求直线l的倾斜角 【答案】0或 【分析】求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l的倾斜角． 【详解】直线，即， 可得圆心到直线l的距离，圆的半径r＝2， 所以弦长， 由题意 整理可得：， 解得或 所以倾斜角为0或； 故答案为：0或. 6.已知直线：，圆：，下列结论错误的是（    ） A．直线的纵截距为 B．上的点到直线的最大距离为5 C．上的点到点的最小距离为 D．上恰有三个点到直线的距离为2 【答案】B 【分析】根据直线方程的性质、直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，依次判断选项即可. 【详解】对选项A，直线：，纵截距为，故A正确. 对选项B，圆：，圆心，半径， 上的点到直线的最大距离为，故B错误. 对选项C，因为，所以点在圆外， 所以上的点到点的最小距离为， 故C正确. 对选项D，圆心到直线：的距离， 因为，所以上恰有三个点到直线的距离为2，故D正确.故选：B 7.已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，求切线长的最大值 【解题思路】 根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【解答过程】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 2.5.1　直线与圆的位置关系导学案第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $