2.5.1 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、切线方程、弦长问题及实际应用。以太阳与地平线的实例导入，引导学生观察位置关系及交点个数，衔接直线和圆的方程知识，搭建从直观到量化的学习支架。 资料特色在于结合生活实例激发兴趣，通过知识梳理表格对比几何与代数法，例题变式分层训练，实际应用问题（如海岛暗礁）培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理判断、用数学语言解决问题的核心素养，习题兼顾基础与提升，助力掌握关键方法。

第二章　直线和圆的方程  2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 学习目标1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置 。2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 问题 如果把太阳看作一个圆，地平线看作是一条直线，由此，你发现它们有几种位置关系？分别有几个交点？ 参考答案　太阳完全处在地平线之上、之下，圆和直线没有交点，交点数量为 0；日出或日落瞬间，太阳底边刚好贴着地平线，二者仅有 1 个公共交点；太阳一半探出地平线、一半藏在地平线下方，直线穿过圆形，存在 2 个交点。 一、直线与圆的位置关系 知识梳理 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 【例1】直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【解析】因为圆的圆心坐标为，半径为；所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：A 【变式1-1】圆与直线的位置关系为（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】直线可化为，所以恒过定点.把代入，有：，所以在圆内， 所以圆与直线的位置关系为相交， 故选：C 【变式1-2】（多选）直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 【答案】CD 【解析】∵圆可化为∴圆心为（0，1），半径为1， ∵直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上 当时，直线与圆相切， 当时，直线与圆相交， ∴直线和圆的关系是相交或相切， 故选：CD 【例2】已知圆与直线相切，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为2， 所以，解得． 故选：A． 【变式2-1】已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线可化为，则直线l过定点，因为直线l：与圆C：有公共点，所以定点在圆C上或圆C内， 可得，解得，故选：B 【变式2-2】若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径， 且位于轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点， 此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点， 圆心 到直线的距离 ， 解得 结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点， 故选：B 2、 圆的切线方程 （1）求过圆上一点的圆C的切线 （2）求过圆外一点的圆C的切线 【例3】已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过点，且与圆相切，则, 故直线的方程为，即.故选：A 【变式3-1】过点作圆：的切线，则切线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题意可设切线的方程为，即，圆心到直线的距离，，或， 切线的方程为或． 故选：D 3、 圆的弦长问题 （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为： （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 【例4】直线l:被圆C：截得的弦长为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意得圆心到直线l:的距离为，故直线l:被圆C：截得的弦长为， 故选：B 【变式4-1】（多选）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．5 【答案】BC 【解析】由，得， 令解得故直线l恒过点.圆心，半径， ，则，即， 故选：BC. 【变式4-2】已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为． 当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，即弦长的最小值为， 故选：B 4、 圆和直线的实际应用问题 【例5】如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 【答案】(1)；(2)该船有触礁的危险． 【解析】（1）依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点， 又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，设过O，A，B三点的圆C的方程为，则，解得，所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，由（1）知，圆C的圆心为，半径，则圆心C到直线l的距离，则， 所以该船有触礁的危险. 易错点提示利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，一般几何法较简单。 巩固加练 1.已知直线x－my－1－m＝0与圆x2＋y2＝1相切，则实数m的值为(　　) A.1或0 B.0 C.－1或0 D.1或－1 【答案】B 【解析】依题意得＝1，即1＋2m＋m2＝1＋m2，解得m＝0. 2.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　) A.[－，] B.[－2，2] C.[－－1，－1] D.[－2－1，2－1] 【答案】D 【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2， 解得－2－1≤m≤2－1，故选D. 3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　) A.－2 B.－4 C.－6 D.－8 【答案】B 【解析】将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.故选B. 4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】　圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝＝，半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点. 5. 过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(　　) A. B.2 C. D. 【答案】A 【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝＝2，故切线长的最小值为＝. 6.设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线的方程为(　　) A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 C.4x－3y＋9＝0或x＝0 D.3x＋4y－12＝0或x＝0 【答案】D 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，由得或∴|AB|＝2，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，半径r＝2，∴圆心C(1，1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝＝，∵d2＝r2－，∴＝4－，即(k＋2)2＝k2＋1，解得k＝－，∴直线的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，满足题意的直线的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选D. 7.过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线PA的长度为________，弦AB的长度为________. 【答案】3　 【解析】　如图，在Rt△PAC中， |PA|＝＝＝3. 又∵·|PA|·|AC|＝|PC|·，解之得|AB|＝. 8. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 【答案】不会有触礁危险 【解析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为； 轮船航线所在直线的方程为，即． 联立直线与圆O的方程，得 消去y，得．由，可知方程组无解． 所以直线与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 9.已知直线，圆，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，求四边形PMCN面积的最小值。 【答案】 【解析】如图所示： 圆的圆心为，半径为 ， 圆心C到直线直线的距离为， ， 所以四边形PMCN面积，四边形PMCN面积的最小值为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程  2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 学习目标1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置 。2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 问题 如果把太阳看作一个圆，地平线看作是一条直线，由此，你发现它们有几种位置关系？分别有几个交点？ 一、直线与圆的位置关系 知识梳理 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 几何观点 【例1】直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式1-1】圆与直线的位置关系为（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】（多选）直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 【例2】已知圆与直线相切，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、 圆的切线方程 （1）求过圆上一点的圆C的切线 （2）求过圆外一点的圆C的切线 【例3】已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】过点作圆：的切线，则切线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 3、 圆的弦长问题 （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为 （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 【例4】直线l:被圆C：截得的弦长为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（多选）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．5 【变式4-2】已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ） A．3 B．6 C． D． 4、 圆和直线的实际应用问题 【例5】如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 易错点提示利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，一般几何法较简单。 巩固加练 1.已知直线x－my－1－m＝0与圆x2＋y2＝1相切，则实数m的值为(　　) A.1或0 B.0 C.－1或0 D.1或－1 2.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　) A.[－，] B.[－2，2] C.[－－1，－1] D.[－2－1，2－1] 3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　) A.－2 B.－4 C.－6 D.－8 4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. 过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(　　) A. B.2 C. D. 6.设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线的方程为(　　) A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 C.4x－3y＋9＝0或x＝0 D.3x＋4y－12＝0或x＝0 7.过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线PA的长度为________，弦AB的长度为________. 8. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 9.已知直线，圆，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，求四边形PMCN面积的最小值。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $