2.5.1圆与圆的位置关系学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2圆与圆的位置关系 【学习目标】1.掌握圆与圆的五种位置关系，会用代数法和几何法来判断圆与圆的五种位置关系． 2.会用直线与圆的位置关系分析解决问题． 【学习重点】掌握圆与圆的位置关系的判断方法及其应用. 【学习难点】用数量关系刻画两圆的位置关系. 【自主预习】 预习课本P96-97: 圆与圆位置关系的判定 1. 两个圆之间存在以下三种位置关系及其判定： ①两圆相交，2 个公共点； ②两圆相切，包括 外切 和 内切，1 个公共点； ③两圆相离，包括 外离 和 内含，无 公共点。 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1+r2 d=r1+r2 d＜r1+r2 d=r2+r1 d＜r2-r1 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【新知探究】 【题型一】判断两圆的位置关系 【例1】（1）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0内切，有几条公切线？ （2）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0外切，有几条公切线？ （3）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交，有几条公切线？ （4）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相离，有几条公切线？ 【答案】当时，两圆外切； 当时，两圆内切； 时，两圆相交； 或者两圆相离； 【分析】根据两圆的圆心距与两个圆的半径的关系，判断两圆的位置关系。 【详解】将两圆的一般方程化为标准方程， ，． 圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径． 从而． （1）当时，两圆外切．此时公切线条数：3 条 （2）当时，两圆内切．此时公切线条数：1 条 （3）当，即时，两圆相交；此时公切线条数：2 条 （4）当或，即或时，两圆相离． （k < 14 时 0 条公切线，34 < k < 50 时 4 条公切线） 【题型三】相交弦及公共弦长问题 【例3】已知圆C1:++2x-6y+1=0与圆C2:+-4x+2y-11=0相交于A,B两点,求AB所在直线的方程和公共弦AB的长. 第一步：求公共弦所在直线方程 两圆方程相减： (x² + y² + 2x − 6y + 1) − (x² + y² − 4x + 2y − 11) = 0 6x − 8y + 12 = 0 化简得：3x − 4y + 6 = 0 第二步：求公共弦长 将 C₁ 化为标准形式：(x + 1)² + (y − 3)² = 9 圆心 O₁(−1, 3)，半径 r₁ = 3 计算圆心 O₁ 到直线 3x − 4y + 6 = 0 的距离： 由垂径定理，半弦长 公共弦长 AB = 2 × = 【练3】求圆C1:+-10x-10y=0与圆C2:+-6x+2y-40=0的公共弦长. 【当堂检测】 1．圆和圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 【答案】D 【分析】根据半径之和与圆心距的关系可得正确的选项. 【详解】圆 的标准方程为， 圆心为 ，半径为 ， 圆 的标准方程为， 圆心为 ，半径为 ，则 ， 故圆 和 的位置关系是相离， 故选：D. 2. 若圆：与圆：内切，则（    ） A．29 B．9 C． D．19 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得：. 故选：C. 【课后作业】 1．（★）已知圆，，则两圆的位置关系为（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】由两圆的方程得到圆心坐标及对应的半径，根据圆心距与两圆半径的数量关系，判断两圆的位置关系. 【详解】由题设，，， ∴，，则，又， ∴，故两圆内切. 故选：D 2．圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距， 两圆的半径之差为，所以两圆内含. 3．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 4.（★） (多选)已知半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可能是(　　) A．(x－4)2＋(y+6)2＝36 B．(x＋4)2＋(y+6)2＝36 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36 【答案】CD 【分析】设圆的方程为，解方程即得解. 【详解】由题意可设圆的方程为， 则根据两圆内切，得， 所以， 所以， 即圆的方程为或． 故选：CD 5.（★★）与圆O:外切于点P(4,-3),且半径为1的圆的方程是　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】设所求圆的圆心为，由题意可得三点共线，且，由此求出，即可得解，注意圆心所在的象限. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得三点共线，且， 设所求圆的圆心为， 因为切点在第四象限，则， ，则直线的方程为， 由点在直线上得， 则，解得（舍去）， 故， 所以所求圆的方程为. 6.（★★★）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 7.（★★）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 【答案】(1) 圆的标准方程为，所以圆心，半径； 圆的标准方程为，所以圆心，半径； 两圆圆心距，，； 所以圆与圆相交. (2) (3) 【分析】（1）根据圆的一般方程，求出圆心和半径，根据圆心距离和半径的关系，说明圆相交即可. （2）由（1）知两圆相交，则根据一般方程作差得公共弦方程，求出结果即可； （3）根据弦长公式，利用半径和弦心距，求出弦长即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，圆与圆相交， 所以将圆与圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程， 得，化简得. （3）圆心到的距离为，圆的半径， 此时弦长为，即公共弦长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2圆与圆的位置关系 【学习目标】1.掌握圆与圆的五种位置关系，会用代数法和几何法来判断圆与圆的五种位置关系． 2.会用直线与圆的位置关系分析解决问题． 【学习重点】掌握圆与圆的位置关系的判断方法及其应用. 【学习难点】用数量关系刻画两圆的位置关系. 【自主预习】 预习课本P96-97: 圆与圆位置关系的判定 1. 两个圆之间存在以下三种位置关系及其判定： ①两圆相交，________个公共点； ②两圆相切，包括______和______，________个公共点； ③两圆相离，包括______和______，________公共点. (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 公切线条数 (2)代数法：联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 _____个 _____个 _____个 两圆的位置关系 ____________ ____________ ________ 【新知探究】 【题型一】判断两圆的位置关系 【例1】（1）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0外切，有几条公切线？ （2）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0内切，有几条公切线？ （3）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交，有几条公切线？ （4）实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相离，有几条公切线？ 【题型三】相交弦及公共弦长问题 【例3】已知圆C1:++2x-6y+1=0与圆C2:+-4x+2y-11=0相交于A,B两点,求AB所在直线的方程和公共弦AB的长. 【练3】求圆C1:+-10x-10y=0与圆C2:+-6x+2y-40=0的公共弦长. 【当堂检测】 1．圆和圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 2. 若圆：与圆：内切，则（    ） A．29 B．9 C． D．19 【课后作业】 1．（★）已知圆，，则两圆的位置关系为（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（★）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 3．（★）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（★） (多选)已知半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可能是(　　) A．(x－4)2＋(y+6)2＝36 B．(x＋4)2＋(y+6)2＝36 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36 5.（★★）与圆O:外切于点P(4,-3),且半径为1的圆的方程是　　　　　　　　　. 6.（★★★）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 7.（★★）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $