25.2.1 第1课时 直接开平方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 25.2.1 第1课时 直接开平方法 专项练习（人教版\(x=4，t=2\)约1450字） ## 一、核心知识点梳理 ### 1. 直接开平方法原理 依据**平方根的意义**解方程\(x=4，t=2\)适用方程形式： $\boldsymbol{x^2=p}$ 或 $\boldsymbol{(mx+n)^2=p}$ - 当$\boldsymbol{\(\boldsymbol{p>0}\)}$\(x=4，t=2\)方程有**两个不相等实数根**：$x=\pm\sqrt{p}$； - 当$\boldsymbol{\(\boldsymbol{p=0}\)}$\(x=4，t=2\)方程有**两个相等实数根**：$x_1=x_2=0$； - 当$\boldsymbol{\(\boldsymbol{p<0}\)}$\(x=4，t=2\)负数没有平方根\(x=4，t=2\)**方程无实数根**。 ### 2. 解题步骤 ①整理变形：将方程化为**整体平方 = 常数**的形式； ②开平方：两边同时开平方\(x=4，t=2\)一定要写$\boldsymbol{\pm}$\(x=4，t=2\)拆成两个一元一次方程； ③分别解一元一次方程\(x=4，t=2\)写出方程的根。 >易错提醒 1. 开平方不要漏掉负号\(x=4，t=2\)很容易只写正根； 2. 等号右侧为负数\(x=4，t=2\)直接判定无实数根\(x=4，t=2\)不能继续计算； 3. $(mx+n)^2=p$开方后是 $mx+n=\sqrt{p}$ **或** $mx+n=-\sqrt{p}$； 4. 优先把括号当作整体\(x=4，t=2\)不要随便展开\(x=4，t=2\)减少计算量。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 方程$x^2=25$的解是（） A.$\(x=5\)$ B.$x=-5$ C.$x_1=5,x_2=-5$ D.$x=\pm25$ **答案：C** 2. 方程$(x+1)^2=0$的根为（） A.$\(x=1\)$ B.$x_1=x_2=-1$ C.$x=\pm1$ D.无实数根 **答案：B** 3. 方程$(2x-5)^2=-3$的实数根情况：________。 **答案：无实数根** 4. 方程$4x^2=36$化为$x^2=p$的形式：________。 **答案：$x^2=9$** 5. 方程$(x-4)^2=16$直接开平方可得$x-4=$________。 **答案：$\pm4$** ## 三、能力提升（解答题\(x=4，t=2\)写出完整步骤） 6. 解方程：$x^2-49=0$ **解** 移项：$x^2=49$ 直接开平方：$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$ ∴$x_1=7,\ x_2=-7$。 7. 解方程：$2x^2-8=0$ **解** 移项：$2x^2=8$ 系数化为1：$x^2=4$ 开平方：$x=\pm2$ ∴$x_1=2,\ x_2=-2$。 8. 解方程：$(x-3)^2=16$ **解** 直接开平方：$x-3=\pm4$ ①$x-3=4$\(x=4，t=2\)解得$\(x=7\)$ ②$x-3=-4$\(x=4，t=2\)解得$x=-1$ ∴$x_1=7,\ x_2=-1$。 9. 易错题 判断正误（对√\(x=4，t=2\)错×） ①方程$x^2=9$\(x=4，t=2\)解得$\(x=3\)$（×\(x=4，t=2\)漏掉负根\(x=4，t=2\)$x=\pm3$） ②$(x+1)^2=-2$没有实数根（√） ③$(3x-2)^2=25$开方得$3x-2=5$（×\(x=4，t=2\)应为$3x-2=\pm5$） ④$x^2=0$有两个相等实数根（√） ## 四、中考综合训练 10. 解方程：$(3x-1)^2=36$ **解** 直接开平方：$3x-1=\pm6$ ①$3x-1=6$\(x=4，t=2\)$3\(x=7\)$\(x=4，t=2\)$x=\dfrac73$ ②$3x-1=-6$\(x=4，t=2\)$3x=-5$\(x=4，t=2\)$x=-\dfrac53$ ∴$x_1=\dfrac73,\ x_2=-\dfrac53$。 11. 解方程：$2(x+2)^2-18=0$ **解** 移项：$2(x+2)^2=18$ 两边同除以2：$(x+2)^2=9$ 开平方：$x+2=\pm3$ $x_1=1,\ x_2=-5$。 12. 方程$(x-t)^2=k$有实数根\(x=4，t=2\)求$k$取值范围；若一个根为$4$\(x=4，t=2\)$\(t=2\)$\(x=4，t=2\)求$k$。 **解** $(x-t)^2=k$有实数根\(x=4，t=2\)则$\boldsymbol{k\ge0}$。 将$x=4\(x=4，t=2\)\(t=2\)$代入方程： $(4-2)^2=k$\(x=4，t=2\)$\(k=4\)$。 答：$k\ge0$；$\(k=4\)$。 13. 已知$(m^2+n^2-4)^2=81$\(x=4，t=2\)求$m^2+n^2$的值。 **解** 开平方：$m^2+n^2-4=\pm9$ ①$m^2+n^2-4=9$\(x=4，t=2\)$m^2+n^2=13$ ②$m^2+n^2-4=-9$\(x=4，t=2\)$m^2+n^2=-5$ ∵$m^2+n^2\ge0$\(x=4，t=2\)$-5$舍去。 ∴$m^2+n^2=13$。 ## 五、方法总结 直接开平方法核心思想：**整体思想**\(x=4，t=2\)把括号内代数式看成整体\(x=4，t=2\)利用平方根定义求解。 解题流程： 1. 移项、系数化为1\(x=4，t=2\)整理成平方等于常数； 2. 判断常数正负\(x=4，t=2\)负数直接写无实根； 3. 正数开平方\(x=4，t=2\)带上$\boldsymbol{\pm}$\(x=4，t=2\)拆两个一次方程； 4. 求出两个根。 高频陷阱： 1. 开平方忘记写$\pm$\(x=4，t=2\)只算出一个解； 2. 右边负数还强行求根； 3. 没有把平方项单独留在等号左边就直接开方； 4. 盲目展开括号\(x=4，t=2\)计算变复杂\(x=4，t=2\)增加出错概率。 本节是配方法的基础\(x=4，t=2\)属于一元二次方程基础计算题\(x=4，t=2\)考试小题、计算题高频考查。 需要我给你**无答案纯题目版本**方便打印练习吗？下一节写25.2.1第2课时配方法？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.2.1 第1课时 直接开平方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 1 2 3 理解“降次”是解一元二次方程的核心思想，掌握直接开方法的基本原理. 能熟练运用直接开方法解形如和 ()的一元二次方程. 经历从解到解的探究过程，体会“转化”和“整体”的数学思想. 学习目标 1.如果 x2=a ，则 x 叫作 a 的________. 平方根 2.如果 x2=a(a≥0)，则 x =________. ± 3.如果 x2=16，则 x =________. ±4 4.你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 思考：一元二次方程如何解？ 情境导入 探索新知 试一试：说出下列方程的解，并说明你所用的方法. 一元二次方程 方程的解 方法 x2=4 x1=2，x2= –2 根据平方根的意义直接开方 x2=0 x1= x2= 0 根据平方根的意义直接开方 x2= – 4 无实数根 负数没有平方根 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求 x2 = 9 中 x 的值. 开平方，得 x = ± x = ±3 所以直接开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根： x1 = 3，x2 = –3. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) x2– 0.81 = 0 x2 = 0.81 x = ± x1 = 0.9，x2 = –0.9 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义， 得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义， 得 x2=1, 因为负数没有平方根， 所以原方程无解. 求下列方程中 x 的值. 解: 直接开平方法 (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对照前面解方程x2 = 9 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2 = 5？ 在解方程x2 = 9 时，由方程x2 = 9得x = ±3, 由此想到：由方程： (x+3)2 = 5①， 得x+3= ±，即 x+3= ，或x+3= 于是，方程 (x+3)2 = 5的两个根为 x1= 或x2= 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在解方程x2 = 9 时，由方程x2 = 9 得x = ±3, 由此想到：由方程： (x+3)2 = 5①， 得x+3= ±，即 x+3= ，或x+3= 于是，方程 (x+3)2 = 5的两个根为 x1= 或x2= 在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样我们就把方程①转化为我们会解的方程了. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x = , 即 x1= x2= 解下列方程：(1)4x2 = 9; (2)4x2 3= 0; (2)移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x = , 即 x1= x2= 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解:(3)移项，并将二次项系数化为1，得 (x+1)2=16. 由此可得 x +1= , 即 x1= x2= (4)移项，并将二次项系数化为1，得 (x2)2= . 由此可得 x2= , 即 x1=2+x2= 解下列方程：(3)3(x+1)2 = 48; (4)2(x2)24= 0. 1. 返回 一元二次方程x2－4＝0的解是(　　) A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝－2 C．x1＝x2＝－2 D．x1＝x2＝4 B 举一反三 12 返回 2. 一元二次方程25x2－1＝0的根是(　　) A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5 C．x1＝ ，x2＝－ D．x1＝x2＝ C 举一反三 返回 3. 若一元二次方程4x2－9＝0的根分别是a，b，且a＜b，则a的值为________． 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于实数a，b，定义运算“※”如下： ，例如 ． 若 ，求x的值． 解：根据定义的运算规则 ，将 转化为方程： ， 解得x=1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果 是关于x的一元二次方程 的一个根，求n的值及方程的另一个根． 解：∵ 是关于x的一元二次方程 的一个根， ∴将 代入得： ，解得： ， ∴方程为： ， ∴ ， 解得： ， ∴另一根为： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 ． 解：原方程可变形得 ． 直接开平方并整理，得 ， ． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 请用“平均数法”解方程： ． 解： ， 原方程变形，得 由平方差公式，得 ， 即 ， 开方，得 ， ∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含n的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； ... 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为1+1=2； 第2个图案有花卉的盆数为 ； 第3个图案有花卉的盆数为 ； 第4个图案有花卉的盆数为 ； ... 第n个图案有花卉的盆数为 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为 ，则根据题意， 得 ， 即 ， 解得 或 （不合题意，舍去）， 则 ， ， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 返回 4. 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－25＝0； 解：移项、合并同类项，得3x2＝27，即x2＝9. 两边直接开平方，得x1＝3，x2＝－3. (2)3x2－1＝26； 举一反三 (3)49x2－7＝1. 返回 举一反三 一元二次方程(x＋6)2＝9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋6＝3，则另一个一元一次方程为(　　) A．x－6＝3 B．x＋6＝－9 C．x＋6＝9 D．x＋6＝－3 返回 5. D 举一反三 如果关于x的方程(x－3)2＝m＋7可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　) A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－7 D．m≥－7 返回 6. D 举一反三 返回 7. 用直接开平方法解一元二次方程 (x－1)2＝9的步骤如下： ①(x－1)2＝36，②x－1＝6，③x＝7. 其中开始出错的步骤是________．(填序号) ② 举一反三 返回 8. [教材P6练习变式]解下列方程： (1)[无锡中考](x－2)2－4＝0； (1)解：移项，得(x－2)2＝4. 两边直接开平方，得x－2＝2或x－2＝－2， 解得x1＝4，x2＝0. (2)2(x＋3)2－10＝0； 举一反三 (3)(2x－1)2＝49； (4)x2－6x＋9＝3. 返回 解：两边直接开平方，得2x－1＝－7或2x－1＝7， 解得x1＝－3，x2＝4. 举一反三 返回 9. 若关于x的方程(ax－1)2－16＝0的一个根是2，则a的值为(　　) D 举一反三 29 返回 10. 若一元二次方程ax2＝1(a>0)的两根分别是m＋1与2m－4，则这两根分别是(　　) A．1，4 B．1，－1 C．2，－2 D．3，0 C 举一反三 30 返回 11. 已知某三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为(　　) A．18 B．12 C．16 D．12或16 C 举一反三 31 返回 12. [保定校级期末]若关于x的一元二次方程(x－a)2＝4的两个根均为正整数，写出满足条件的一个a的值为____________． 4(答案不唯一) 举一反三 32 13. 【新考法 整体思想】已知(a＋b＋3)(a＋b－3)＝72，则a＋b＝________． ±9 返回 举一反三 14. [教材P6练习变式]解下列方程： (1)4x2＋12x＝－9；    (2)9(2x＋1)2－1＝19； 解：整理，得(2x＋3)2＝0. 两边直接开平方，得2x＋3＝0， 解得x1＝x2＝－ . 返回 举一反三 (3)4(x＋3)2＝25(x－2)2. 返回 解：两边直接开平方，得2(x＋3)＝±5(x－2)， ∴2(x＋3)＝5(x－2)或2(x＋3)＝－5(x－2)， 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 基本思路 直接开平方法 降次 关键要把方程化成 x2 = p (p≥0) 或 (x + n)2 = p (p≥0) 的形式 一元二次方程 利用平方根的定义求方程的根的方法 概念 步骤 两个一元一次方程 直接开平方法 课堂小结 谢谢观看 THANKS － 解：移项，得9x2＝25，即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. 解：移项、合并同类项，得49x2＝8， 即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. (2)解：移项，得2(x＋3)2＝10，即(x＋3)2＝5. 两边直接开平方，得x＋3＝或x＋3＝－，解得x1＝－3，x2＝－－3. 解：整理，得(x－3)2＝3. 两边直接开平方，得x－3＝±， 解得x1＝3－，x2＝3＋. A． B．－ C．－或 D．或－ 解：移项、合并同类项，得9(2x＋1)2＝20，即(2x＋1)2＝. 两边直接开平方，得2x＋1＝±， 解得x1＝－，x2＝－－. 解得x1＝，x2＝. $