25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 25.1 一元二次方程的概念 专项练习（人教版，约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **一元二次方程定义** 只含有**一个未知数**，并且未知数的**最高次数是2**的**整式方程**，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数）； ②只含1个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数**不等于0**。 2. **一元二次方程一般形式** $\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$\(a,b,c\)$是常数，$\boldsymbol{a≠0}$） - $ax^2$：二次项，$a$是**二次项系数**； - $bx$：一次项，$b$是**一次项系数**； - $c$：常数项（注意：系数包含前面正负号）。 >注意：只有化成一般形式，才能准确找各项系数。 3. **一元二次方程的根** 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，看两边是否相等。 >易错提醒 ①$a≠0$是关键，若$\(a=0\)$，方程变成一次方程； ②判断方程类型前，**不要直接看原式，要先化简整理**； ③整式方程：$\dfrac1x+x^2=0$不是整式方程，不是一元二次方程； ④写系数时，要带上前面的负号，例如$-2x^2+3x-1=0$，二次项系数是$-2$。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 下列是一元二次方程的是（） A.$\(\(x+2\)=0\)$ B.$x^2-3x=0$ C.$x^2+\dfrac1x=1$ D.$x^3+x^2=5$ **答案：B** 2. 方程$2x^2-5x-1=0$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A.$2,-5,-1$ B.$\(2,5,1\)$ C.$2,-5,1$ D.$-2,-5,-1$ **答案：A** 3. 若方程$(m-2)x^2+3x+1=0$是一元二次方程，则$m$取值范围是____。 **答案：$m≠2$** 4. 已知$\(x=2\)$是方程$x^2+kx-6=0$的根，则$\(k=\)$____。 **答案：$-1$** 解析：代入$\(x=2\)$，$4+2k-6=0$，解得$\(k=\)-1$ 5. 将方程$(x+1)(x-2)=3$化为一般形式：____。 **答案：$x^2-x-5=0$** ## 三、能力提升（解答题，写出完整步骤） 6. 判断下列方程是不是一元二次方程，并说明理由。 (1)$3x^2=5x-1$ (2)$(\(x+2\))^2=x^2-1$ (3)$\dfrac1x+x^2=4$ **解** (1)整理：$3x^2-5x+1=0$，整式方程，只含一个未知数，最高次数2，二次项系数3≠0，**是一元二次方程**。 (2)展开：$x^2+4x+4=x^2-1$，化简得$\(4x+5=0\)$，未知数最高次数为1，**不是一元二次方程**。 (3)分母含有未知数，不是整式方程，**不是一元二次方程**。 7. 把方程$3x(x-2)=2(x+1)$化为一般形式，写出二次项、一次项、常数项。 **解** 去括号：$3x^2-6\(x=2\)\(x+2\)$ 移项整理：$3x^2-8x-2=0$ 二次项：$3x^2$；一次项：$-8x$；常数项：$-2$。 答：一般形式$3x^2-8x-2=0$。 8. 已知方程$(m+1)x^{m^2+1}+2x-3=0$是一元二次方程，求$m$的值。 **解** 一元二次方程要求未知数次数等于2，且二次项系数≠0： $\begin{cases}m^2+1=2\\m+1≠0\end{cases}$ 由$m^2+1=2$得$m^2=1$，$\(m=1\)$或$m=-1$。 又$m+1≠0$，即$m≠-1$， ∴$\(m=1\)$。 答：$\(m=1\)$。 9. 易错题：判断正误（对√，错×） ①$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程（×，缺少$a≠0$） ②方程$x^2=0$是一元二次方程（√） ③一元二次方程常数项一定不为0（×，可以为0，如$x^2-2x=0$） ④$(x-1)^2=4$整理后最高次数是2，是一元二次方程（√） ## 四、中考综合训练 10. 已知$x=-3$是一元二次方程$x^2+ax-3=0$的一个根，求$a$的值。 **解** 将$x=-3$代入方程： $(-3)^2+a\cdot(-3)-3=0$ $9-3a-3=0$ $6-3\(a=0\)$，解得$\(a=2\)$。 答：$\(a=2\)$。 11. 根据题意列方程（不求解）： 一个矩形，长比宽多2，面积是15，设宽为$x$，列出一元二次方程。 **解** 宽为$x$，长为$\(x+2\)$。 矩形面积=长×宽，$x(\(x+2\))=15$。 整理成一般形式：$x^2+2x-15=0$。 答：方程为$x^2+2x-15=0$。 12. 方程$(k-3)x^2+2x=1$，当$k$取何值时，方程是一元二次方程？当$k$取何值时，方程是一元一次方程？ **解** 整理方程：$(k-3)x^2+2x-1=0$。 ①一元二次方程：二次项系数不为0，$k-3≠0$，即$\boldsymbol{k≠3}$。 ②一元一次方程：二次项系数为0，一次项系数不为0， $k-3=0$，$\(k=\)3$，此时方程$2x-1=0$，是一元一次方程。 答：$k≠3$为一元二次方程；$\(k=\)3$为一元一次方程。 ## 五、方法总结 本节核心：**一元二次方程的3个判定条件**。 做题步骤： 1. 判断类型：先化简整理，看是否整式方程，未知数个数、最高次数，重点检查二次项系数不等于0； 2. 写一般形式：移项，全部移到左边，右边等于0，注意符号； 3. 已知根求参数：直接代入方程，解方程求出字母的值。 高频陷阱： 1. 忽略$a≠0$这个隐藏条件，求参数忘记检验； 2. 没有化简直接判断方程次数，平方展开后$x^2$抵消变成一次方程； 3. 分式方程带$x^2$，误以为是一元二次方程； 4. 找系数漏掉负号。 本节是一元二次方程整章基础，后面解方程、判别式、根与系数关系都建立在此基础上，填空选择题高频考点，应用题第一步就是列出一元二次方程。 （全文约1445字） 需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？继续写25.2 解一元二次方程吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.1 一元二次方程的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程. 掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项、一次项、常数项及其系数. 通过观察、比较、归纳一元二次方程的共同特征，培养抽象概括能力和逻辑思维能力. 学习目标 1.下列哪些式子是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x−5<18 −2=9 × 没有未知数 × 代数式 √ √ × 不等式 √ 情境导入 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程. 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3000 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 x 解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm， 化简，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他 (x一1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需 进行场，所以可列得方程 =28, 整理并化简，得 . 解以上方程可得应邀请的球队数. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 以下三个方程有什么共同点？ (1) 方程的两边都是整式； (2) 都只含一个未知数； (3) 未知数的最高次数都是 2. 一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a≠0). ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式是 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程的一般形式： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？ (2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？ (3)一元二次方程3x2x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？ 一元二次方程的特殊形式： 当c=0时， 当b=0时， 当b=0,c=0时， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 下列方程是一元二次方程吗? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) √ √ √ √ √ × × × × × 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和 常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x−1 (x+2)(x −1)=6 4−7x2=0 3x2−5x＋1＝0 x2 ＋ x−8＝0 3 −5 1 1 1 −8 −7 0 4 −7x2 ＋4＝0 1. 返回 下列方程中，是一元二次方程的是(　　) A．x2－2＝0 B．x＋2y＝3 C．x－＝1 D．x2＋x＝y＋1 A 举一反三 12 返回 2. 若方程xm－1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 举一反三 返回 3. 若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________． a≠1 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值. 解： 是一元二次方程， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 常数项是 . 一次项系数是 ， 已知关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0. ⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？ ⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时 它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？ 解： ⑴当m−2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程. ⑵当m−2≠0, 即m≠2时，这个方程是一元二次方程， 它的二次项系数是 , m−2 m −1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ⑶若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是 2，你能求出m的值吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例如：对于方程x2+5x+6=0， 将x=4代入原方程， 因此x=4不是原方程的根； 将x=3代入原方程， 因此x=3是原方程的根. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ⑶若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是 2，你能求出m的值吗？ 解：∵关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是 2， ∴将x=2代入原方程，得 4(m−2)+2m−1=0， 化简，得6m−9=0， 解得，m= 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的值为______． 解：把 代入方程得 ， 整理得 ， 等式两边同时除以3得 ， 可得 ， 所以 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知 a 是方程 x2 + 2x − 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2027 的值. 解：由题意得 求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想 ——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若实数x满足x2−x−1=0，则 ______． 利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 解：∵x2−x−1=0， ， ∴ 先化简，再求值： ，其中x为方程 的解． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：原式 ∵x为方程 的解， ∴ ． ∴原式 =1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知m是关于x的一元二次方程x2−2026x+1=0的一个根，求代数式的值： ． 解：∵m是方程x2−2026x+1=0的一个根，∴ ． ∴ ， ， ∵m=0时，方程左边等于1，不等于右边，∴m≠0， 把 的两边都除以m得， ． ∴ ． 返回 4. 一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．－4 B 举一反三 将一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(　　) A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．3x2，－4x 返回 5. C 举一反三 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)9x2＝16; (2)x2－2＝5x； 返回 6. 解：方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. 解：方程化为一般形式为x2－5x－2＝0，二次项系数是1，一次项系数是－5，常数项是－2. 举一反三 返回 (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－1. 解：方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17. 解：方程化为一般形式为3x2－9x－4＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－4. 举一反三 返回 7. 下列各数中，是一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根的是(　　) A．－2 B．0 C．2 　D．3 A 举一反三 返回 8. 已知－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列等式正确的是(　　) A．a＋b＋c＝0 B．－a＋b＋c＝0 C．a－b＋c＝0 D．－a－b＋c＝0 C 举一反三 返回 9. 【深圳中考】已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________． 2 举一反三 30 返回 10. 【新考法 整体思想】已知a是方程2x2－x－1＝0的一个根，则2a2－a＝________． 1 举一反三 31 返回 11. [福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 C 举一反三 32 返回 12. 【情境题 体育赛事】[教材P2问题2变式]我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段包括团体赛和单打预赛，其中团体赛比赛赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场)．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，则可列方程为____________． 举一反三 33 13. 在下列方程中，一元二次方程有(　　) ①3x2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－5)＝x2 ; ④3x2－ ＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 返回 举一反三 14. 【易错题】若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　) A．0 B．±3 C．3 D．－3 D 返回 举一反三 15. 【新考向 数学文化】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程为(　　) A．(3x)2＋(7x)2＝102 B．(3x)2＋102＝(7x)2 C．(3x)2＋102＝(7x－10)2 D．(3x＋10)2＋102＝(7x)2 C 返回 举一反三 16. [南充中考]已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________． 返回 －4 举一反三 17. [廊坊期中]定义：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若满足a－b＋c＝0，则称这个方程为“和谐”方程；若满足a＋b＋c＝0，则称这个方程为“友善”方程．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则方程的两根的数量关系是______________． 返回 互为相反数 举一反三 18. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． (1)某班为相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次，求该班有多少名同学； 返回 解：设该班有x名同学． 依题意，得 x(x－1)＝595， 化成一般形式为x2－x－1 190＝0. 举一反三 (2)如图，用100 m长的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙(墙足够长)，求AB的长． 返回 解：设AB的长为x m. 由题意，得x(100－4x)＝400， 化成一般形式为x2－25x＋100＝0. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实际问题 审→设→找→列 一元二次方程 面积 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根(解) 使方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 谢谢观看 THANKS x(x－1)＝28 $