25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 25.1 一元二次方程的概念 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。判定需同时满足三个条件：整式方程、单未知数、最高次数为2，缺一不可。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。特别注意$$a eq0$$，否则二次项消失，方程变为一元一次方程，$$b、c$$可以为0。 3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$x^2+2y=1$$ B. $$x^2+\frac{1}{x}=3$$ C. $$x^2-2x=0$$ D. $$2x+1=0$$ 2. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ 3. 一元二次方程$$3x^2-5x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. 3、5、1 B. 3、-5、1 C. -3、5、1 D. 3、-5、-1 4. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+ax+2=0$$的一个根，则$$a$$的值为（） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 5. 方程$$x^2-4=0$$的根是（） A. $$x=2$$ B. $$x=-2$$ C. $$x=\pm2$$ D. 无实数根 （二）填空题（每题4分，共20分） 6. 把方程$$2x^2=5x-1$$化为一元二次方程的一般形式为__________。 7. 若方程$$(k+1)x^2-2x=0$$是一元二次方程，则$$k$$的取值范围是__________。 8. 一元二次方程$$x^2+6x=0$$的常数项是__________。 9. 已知$$x=2$$是方程$$x^2-mx+4=0$$的根，则$$m=$$__________。 10. 若方程$$ax^2+3x-1=0$$的二次项系数为2，则$$a=$$__________。 （三）解答题（共60分） 11.（12分）判断下列方程是否为一元二次方程，是的写出一般形式，不是的说明理由。 ①$$4x^2=9$$ ②$$3x^2-2x=1+3x^2$$ ③$$xy+x^2=0$$ 12.（16分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 ①$$5x^2=3x+2$$ ②$$(x-1)(x+2)=2$$ 13.（16分）已知关于$$x$$的方程$$(m^2-1)x^2-(m+1)x+m=0$$。 （1）当$$m$$为何值时，方程是一元二次方程？ （2）当$$m$$为何值时，方程是一元一次方程？ 14.（16分）已知一元二次方程$$x^2+bx+3=0$$有一个根为$$x=1$$，求$$b$$的值，并求出方程的另一个根。 三、参考答案与详细解析 （一）选择题解析 1. C 解析：A含两个未知数，B是分式方程，D最高次数为1，均不符合定义，只有C是一元二次方程。 2. A 解析：一元二次方程二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$，得$$m eq2$$。 3. B 解析：根据一般形式，对应系数依次为3、-5、1，注意一次项系数包含符号。 4. A 解析：将$$x=1$$代入方程，得$$1+a+2=0$$，解得$$a=-3$$。 5. C 解析：因式分解得$$(x+2)(x-2)=0$$，解得$$x=\pm2$$。 （二）填空题解析 6. $$2x^2-5x+1=0$$ 解析：移项整理为$$ax^2+bx+c=0$$标准形式即可。 7. $$k eq-1$$ 解析：二次项系数$$k+1 eq0$$，即$$k eq-1$$。 8. 0 解析：方程可化为$$x^2+6x+0=0$$，常数项为0。 9. 4 解析：代入$$x=2$$，得$$4-2m+4=0$$，解得$$m=4$$。 10. 2 解析：二次项系数为$$a$$，故$$a=2$$。 （三）解答题解析 11. 解：①是一元二次方程，一般形式：$$4x^2-9=0$$；②整理后为$$-2x-1=0$$，最高次数为1，不是一元二次方程；③含$$x、y$$两个未知数，不是一元二次方程。 12. 解：①一般形式：$$5x^2-3x-2=0$$，二次项系数5，一次项系数-3，常数项-2；②展开整理得$$x^2+x-4=0$$，二次项系数1，一次项系数1，常数项-4。 13. 解：（1）当$$m^2-1 eq0$$，即$$m eq\pm1$$时，方程是一元二次方程；（2）当$$m^2-1=0$$且$$m+1 eq0$$，即$$m=1$$时，方程是一元一次方程。 14. 解：将$$x=1$$代入方程，得$$1+b+3=0$$，解得$$b=-4$$。方程为$$x^2-4x+3=0$$，因式分解得$$(x-1)(x-3)=0$$，另一个根为$$x=3$$。 易错总结：解题时易忽略二次项系数不为0的条件，混淆各项系数的符号，误将分式、多元方程判定为一元二次方程，做题需紧扣三大判定条件，规范整理一般形式。 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程. 掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项、一次项、常数项及其系数. 通过观察、比较、归纳一元二次方程的共同特征，培养抽象概括能力和逻辑思维能力. 素养目标 复习回顾 1.下列哪些式子是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x−5<18 −2=9 × 没有未知数 × 代数式 √ √ × 不等式 √ 情境导入 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程. 情境导入 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 探究新知 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 探究新知 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 探究新知 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A B C 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 探究新知 观察与思考 方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② x2+5x−25 = 0 ③ 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 探究新知 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 知识要点 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 探究新知 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 特殊形式 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 探究新知 1. 返回 下列方程中，是一元二次方程的是(　　) A．x2－2＝0 B．x＋2y＝3 C．x－＝1 D．x2＋x＝y＋1 A 举一反三 12 返回 2. 若方程xm－1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 举一反三 返回 3. 若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________． a≠1 举一反三 下列方程：① =5；② 8x2=x；③x3−4x=0； ④ ax2+2x−3=0；⑤ x2=3y+1；⑥ =x−1； ⑦ x(2x−3)=2x(x−1). 其中一定是一元二次方程的是__________.（填序号） 提示：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. ② 牛刀小试 探究新知 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探究新知 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 探究新知 牛刀小试 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. √ √ 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）. 探究新知 点击图片播放视频 探究新知 返回 4. 一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．－4 B 举一反三 将一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(　　) A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．3x2，－4x 返回 5. C 举一反三 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)9x2＝16; (2)x2－2＝5x； 返回 6. 解：方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. 解：方程化为一般形式为x2－5x－2＝0，二次项系数是1，一次项系数是－5，常数项是－2. 举一反三 返回 (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－1. 解：方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17. 解：方程化为一般形式为3x2－9x－4＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－4. 举一反三 返回 7. 下列各数中，是一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根的是(　　) A．－2 B．0 C．2 　D．3 A 举一反三 返回 8. 已知－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列等式正确的是(　　) A．a＋b＋c＝0 B．－a＋b＋c＝0 C．a－b＋c＝0 D．－a－b＋c＝0 C 举一反三 返回 9. 【深圳中考】已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________． 2 举一反三 26 返回 10. 【新考法 整体思想】已知a是方程2x2－x－1＝0的一个根，则2a2－a＝________． 1 举一反三 27 返回 11. [福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 C 举一反三 28 课堂小结 一元二次方程 概念 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 是整式方程； 只含一个未知数； 未知数的最高次数是2. a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 课堂小结 谢谢观看 THANKS $