第1～3章 一元二次方程、反比例函数、 圆 阶段练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1～3章 一元二次方程、反比例函数、圆 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2、关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 点在该反比例函数的图象上 B. 在每一个象限内，随的增大而减小 C. 该函数的图象与坐标轴无交点 D. 当时， 3、一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4、如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（ ） A. B. C. D. 5、若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6、如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7、如图，PA、PB是的两条切线，切点分别为A、B连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C， 若，，则PO的长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 4 8、如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止， 过点作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 9、圆锥的底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为______． 10、若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是： 点A在_______．（填“上”、“内”、“外”） 11、点A（m，n）是双曲线上一点，且m、n是一元二次方程的两根， 则双曲线的解析式为_______． 12、已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是 _____ 13、已知⊙O的半径为3cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是_______． 14、如图，在四边形中，．设， 则_________________________（用含的代数式表示）． 15、若的半径为1，弦，弦，则的度数为__________． 16、如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点， 则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题 17、解下列方程： （1） （2） 18、如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 19、已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 20、内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 21、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 22、某店销售A产品，每千克售价为100元． （1）若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？ （2）若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下， 每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元， 设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值． 23、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时， 学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段， CD为双曲线的一部分）： （1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36， 那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 24、如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数 的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接、，求面积． 25、如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． （1）用含t的代数式表示______；______． （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，的最大值是多少？ 26、小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值． 其中的值为______； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点， 则的取值范围是______． 27、在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部， 我们记为P，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长 ，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是 第1～3章 一元二次方程、反比例函数、圆 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 解：A.该方程化简后为，一元一次方程，不符合题意； B.当时，不是一元二次方程，不符合题意； C.该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D.该方程是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2、关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 点在该反比例函数的图象上 B. 在每一个象限内，随的增大而减小 C. 该函数的图象与坐标轴无交点 D. 当时， 【答案】C 解：A、当时，，故点不在该反比例函数的图象上，选项错误，不符合题意； B、，在每一个象限内，随的增大而增大，选项错误，不符合题意； C、该函数的图象与坐标轴无交点，选项正确，符合题意； D、当时，， ∴时，，选项错误，不符合题意； 故选：C． 3、一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 解∵由题意得：中：，，， ∴， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 4、如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5、若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：， 分两种情况： （1）当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 6、如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 解：设小路的入口宽度为， 由题意可得：， 故选C． 7、如图，PA、PB是的两条切线，切点分别为A、B连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C， 若，，则PO的长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 4 【答案】B 解PA、PB是的两条切线 ，即 ； PO是线段AB的垂直平分线 ； ， ，； ；故选：B 8、如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止， 过点作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 解：∵，∴点Q在以为直径的上运动，运动路径为，连接， ∵，∴， ∴，∴的长为，故选B． 二、填空题 9、圆锥的底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 解：该圆锥的侧面积． 故答案为：． 10、若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是： 点A在_______．（填“上”、“内”、“外”） 【答案】外 解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点A到圆心O的距离为， 即点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在外． 故答案为：外． 11、点A（m，n）是双曲线上一点，且m、n是一元二次方程的两根， 则双曲线的解析式为_______． 【答案】 解：∵、是一元二次方程的两根，∴． ∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线的解析式为． 故答案为：． 12、已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是 _____ 【答案】 解∶∵反比例函数的图象上两点，，， ∴， 解得， 故答案为∶ ． 13、已知⊙O的半径为3cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是_______． 【答案】相交或相切 解：垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于或等于3. 圆心到直线的距离小于3，直线和的位置关系是相交. 圆心到直线的距离等于3，直线和的位置关系是相切. 故答案为相交或相切. 14、如图，在四边形中，．设， 则_________________________（用含的代数式表示）． 【答案】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 15、若的半径为1，弦，弦，则的度数为__________． 【答案】或 解：由题意，分两种情况： ①如图：作，则：，， ∴， ∴， ∴， ②如图：同理可得：； 故答案为：或． 16、如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点， 则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】## 解：如图，连接， 半圆的直径为4， 半圆的面积为， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 扇形的面积为，， 图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 故答案为：． 三、解答题 17、解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【1】 解：， ， 或， 即，． 【2】 解：， ， ， ， 或或或y， 即，． 18、如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 证明：是的中点，， ，， ， ． 19、已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2）2 【1】 解：根据题意得，解得m，所以m的取值范围为； 【2】 解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵，∴m的值为2． 20、内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【1】解：如图，即为所求； 【2】解：如图，点F即为所求： 21、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）直线CD与⊙O相切，理由见解析 （2） 解：（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD． ∵OA=OD，∠DAB=45°， ∴∠ODA=45°， ∴∠AOD=90°． ∵CD∥AB， ∴∠ODC=∠AOD=90°， 即OD⊥CD． 又∵点D在⊙O上， ∴直线CD与⊙O相切． （2）∵BC∥AD，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=2． ∴S梯形OBCD=， ∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD -S扇形OBD= ． 22、某店销售A产品，每千克售价为100元． （1）若连续两次降低售价后，每千克81元，求这两次降价的平均百分率？ （2）若按现价销售，每千克可以盈利20元，每天可以售出120千克．调查发现，在进价不变的情况下， 每千克A产品的售价每涨价2元，日销售量就减少10千克．该店希望每天A产品盈利2340元， 设每千克A产品涨价x元（x＞0），求x的值． 【答案】（1）这两次降价的平均百分率为10% （2）x的值为6 【1】 解：设这两次降价的平均百分率为a， 依题意得：， 解得：=0.1=10%，=1.9（不符合题意，舍去）． 答：这两次降价的平均百分率为10%； 【2】 ∵每千克A产品涨价x元（x＞0）， ∴每千克可以盈利（20+x）元，每天可以售出120-×10=（120-5x）千克． 依题意得：， 依题意得：， 解得：=6，=-2（不符合题意，舍去）． 答：x的值为6． 23、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时， 学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段， CD为双曲线的一部分）： （1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36， 那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 解（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）； （2）当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30时，y2=， ∴y1＜y2， ∴第30分钟注意力更集中． （3）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8， 令y2=36，∴36=，∴x2=≈27.8， ∵27.8－8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 24、如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数 的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）连接、，求面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【1】 解：∵反比例函数过点， ∴，解得，．∴反比例函数的解析式为． ∵直线过点，， ∴，解得，． ∴一次函数的解析式为． 【2】 解：∵一次函数与反比例函数的交点为， 根据函数图象可得当时，或 【3】 解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别， ∵，，∴， ∵反比例数， ∴ 又∵ ∴． 25、如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． （1）用含t的代数式表示______；______． （2）点D运动至何处时，？ （3）点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）． 【1】 ∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， 【2】 解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． 【3】 由题意可得，， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 26、小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值． 其中的值为______； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点， 则的取值范围是______． 【答案】 【1】 解：∵， ∴，即， 故答案为：； 【2】 解：当时，， 故答案为：4； 【3】①函数图象如下图所示： ②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点， 在时，有3个交点， 故答案为：． 27、在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部， 我们记为P，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长 ，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是 【答案】（1）①；② （2）证明：如图2所示，设与弦所在圆交于点D，连接， ∵， ∴， ∵，∴， ∵， ∴； （3）①如图所示， ； ② 【1】 解；①如图所示，设弦所在圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）； 故答案为：； ②∵要使的面积最大， ∴点A到的距离要最大， ∴当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大， 设直线与交于H，则， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； 【2】略 【3】 解：①以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆， 则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）； 如图所示，过点O作于E， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点M在优弧（不包括端点C、D）上运动， ∴当B、M、O三点共线，且点M在线段上时，线段有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴线段的最小值为； ②如图所示，过点O作于P，于G，连接， 当时，则， ∴， ∴； ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 同（1）②可知，当时的面积最大，此时， 由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则， ∴当不小于时． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $