2.5.1(2) 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1（2）直线与圆的位置关系导学案 课前任务单 一、学习目标 1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养（重难点）； 3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值. 二、回顾与联结 1.直线与圆的位置关系和圆心距d、半径r的数量关系对应规律： - 直线与圆相离⇔__________________；d>r - 直线与圆相切⇔__________________；d=r - 直线与圆相交⇔__________________。d<r 2.  设直线的斜率分别为 ,若，则__________________. 3.  垂径定理中，圆心到弦的距离 d、半径 r、半弦长构成直角三角形，满足____________； 弦长为半弦长的两倍，即弦长= . . 三、初步尝试与应用 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)圆心到圆的切线的距离等于半径．(　　) (2)圆的弦的垂直平分线过圆心．(　　) (3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心．(　　) 2.直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 课前预习 自主梳理 知识点一:直线与圆位置关系中重要的直角三角形 1若相交，则半径长r、弦心距、弦长的一半构成直角三角形,满足勾股定理 . 2若相切，则半径长r、切线长、圆心O与圆外点P的连线构成直角三角形， 满足勾股定理 . 知识点二：切线问题 3.求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值; (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 应用新知 【题型1 含参直线与圆的位置关系的判定】 例1、直线与圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 例1小结： 变1、已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【题型2 由直线与圆的位置关系解决含参问题】 【例2】(1)直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 (2).若圆与直线相切，则实数的值为（    ） A． B．或3 C． D．或 例2小结： 变2、(1)若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． (2)若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【题型3 圆的中点弦问题】 【例3】 若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 例3小结：已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程的步骤： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 变3．若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0 【题型4 直线与圆位置关系最值问题】 【例4】 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例4小结：相切时： 相交时： 变4、已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ） A． B． C． D． 达标训练 1、已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A． B． C． D． 2、已知圆，过点作圆的切线，，切点为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3、（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4、已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为 ；四边形面积的最小值为 ；此时. 5、已知圆 ，点 是直线 上的动点，求过 向圆所引切线长的最小值. 6、已知圆C以为圆心，被直线截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)若点，点P为在圆C上任一点，当最小时，求的值． 能力提升 7圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 2.5.1（2）直线与圆的位置关系导学案第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.5.1（2）直线与圆的位置关系导学案答案 二、回顾与联结 1. d>r d=r d<r 2. 3.    三、初步尝试与应用 1【答案】 (1)√　(2)√　(3)√　 【详解】(1)正确．由圆的切线的定义可知． (2)正确．由垂径定理可知． (3)正确．因为圆心同时在这两条弦的垂直平分线上，所以这两条弦的垂直平分线的交点就是圆心． 2.【答案】C 【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案.. 【详解】由配方得， 所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离， 所以，.故选：C. 课前预习 自主梳理 1. . 2. 应用新知 例1、【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 例1小结：判断含参直线与圆的位置，常用圆心到直线的距离 与半径 的关系判定（依据：直线与圆的位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.若无法判断，则考虑用判别式法. 注意：若是相交要先把直线族的定点找出来，别硬套判别式. 变1、【答案】C 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：，因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 【例2】(1)【解题思路】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交.故选:B. (2)【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】若圆与直线相切， 则到直线的距离为， 所以，解得，或.故选：D. 例2小结：题干出现含参直线与圆「相切／相交／无公共点／总有两个公共点」，就把位置关系翻译成圆心到直线的距离 与半径 的等式或不等式，再解出参数（依据：直线与圆的位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.若相切，注意分类讨论斜率是否存在；已知切点的可直接利用切线垂直于半径的性质；解出参数后，验证是否满足直线与圆相切的条件. 变2、(1)【答案】D 【详解】直线对任意都过定点.要使任意对应的直线与圆总有2个公共点， 等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内， 因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. (2)【答案】C 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得，所以.故选：C. 【例3】 【答案】 【分析】利用垂径定理可得答案. 【详解】的圆心，则直线CM的斜率， 由垂径定理可得：直线与垂直，故直线AB的斜率， 则直线的方程为，即. 例3小结：已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程的步骤： 第一步：先求圆的圆心坐标，和半径； 第二步：利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第三步：根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第四步：利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 变3．【答案】 【详解】据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)连线垂直，故kAB＝－＝，从而得直线AB方程为 y－1＝(x－1)，整理得直线AB的方程为x－2y＋1＝0. 【例4】 【答案】B 【详解】连接，则，如下图所示：圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即的最小值为， 所以.故选：B. 例4小结：相切时：先判断动点在圆外还是圆上，动点落在圆上时切线长为 ；动点在圆外时把切线长的最值转成圆心到动点的最值——点到直线垂线段最短（依据：半径 是定值， 随 单调增大）. 相交时：先算圆心到直线的距离 ，用 求弦长；过圆内定点 的动直线中，与 垂直的那条弦最短（依据：垂径定理——半弦长 ， 越大弦越短）. 变4、【答案】B 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示：由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为， 则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 达标训练 1、【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 2、【答案】C 【详解】解：设与交于点，则且为的中点，圆， 化为， 则圆心，半径，， 则， 由，得， 所以， 所以.故选：C. 3、【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点，则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 4、【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，所以有，，因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 所以，，此时， 因此，.故答案为：. 5解：圆心 到直线 的距离为 ， 此时切线长最小，最小值 6.【答案】(1)(2) 【详解】（1）直线到圆心距离为：，又弦长为，则圆半径为：.故圆C方程为：. （2）由题可得，当且仅当PB与圆相切时，最小.则此时，，故. 能力提升 7【答案】0（或者） 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 2.5.1（2）直线与圆的位置关系导学案答案第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1（2）直线与圆的位置关系导学案 课前任务单 一、学习目标 1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养（重难点）； 3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值. 二、回顾与联结 1.直线与圆的位置关系和圆心距d、半径r的数量关系对应规律： - 直线与圆相离⇔__________________；d>r - 直线与圆相切⇔__________________；d=r - 直线与圆相交⇔__________________。d<r 2.  设直线的斜率分别为 ,若，则__________________. 3.  垂径定理中，圆心到弦的距离 d、半径 r、半弦长构成直角三角形，满足____________； 弦长为半弦长的两倍，即弦长= . . 三、初步尝试与应用 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)圆心到圆的切线的距离等于半径．(　　) (2)圆的弦的垂直平分线过圆心．(　　) (3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心．(　　) 【答案】 (1)√　(2)√　(3)√　 【详解】(1)正确．由圆的切线的定义可知． (2)正确．由垂径定理可知． (3)正确．因为圆心同时在这两条弦的垂直平分线上，所以这两条弦的垂直平分线的交点就是圆心． 2.直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案.. 【详解】由配方得， 所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离， 所以，.故选：C. 课前预习 自主梳理 知识点一:直线与圆位置关系中重要的直角三角形 1若相交，则半径长r、弦心距、弦长的一半构成直角三角形,满足勾股定理 . . 2若相切，则半径长r、切线长、圆心O与圆外点P的连线构成直角三角形， 满足勾股定理 . 知识点二：切线问题 3.求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值; (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 应用新知 【题型1 含参直线与圆的位置关系的判定】 例1、直线与圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 例1小结：判断含参直线与圆的位置，常用圆心到直线的距离 与半径 的关系判定（依据：直线与圆的位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.若无法判断，则考虑用判别式法 注意：若是相交要先把直线族的定点找出来，别硬套判别式. 变1、已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：，因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 【题型2 由直线与圆的位置关系解决含参问题】 【例2】(1)直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 (2).若圆与直线相切，则实数的值为（    ） A． B．或3 C． D．或 (1)【解题思路】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交.故选:B. (2).【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】若圆与直线相切， 则到直线的距离为， 所以，解得，或.故选：D. 例2小结：题干出现含参直线与圆「相切／相交／无公共点／总有两个公共点」，就把位置关系翻译成圆心到直线的距离 与半径 的等式或不等式，再解出参数（依据：直线与圆的位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.若相切，注意分类讨论斜率是否存在；已知切点的可直接利用切线垂直于半径的性质；解出参数后，验证是否满足直线与圆相切的条件. 变2、(1)若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． (2)若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 (1)【答案】D 【详解】直线对任意都过定点.要使任意对应的直线与圆总有2个公共点， 等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内， 因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. (2)【答案】C 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【题型3 圆的中点弦问题】 【例3】 若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 【答案】 【分析】利用垂径定理可得答案. 【详解】的圆心，则直线CM的斜率， 由垂径定理可得：直线与垂直， 故直线AB的斜率， 则直线的方程为，即. 例3小结：已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程的步骤： 第一步：先求圆的圆心坐标，和半径； 第二步：利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第三步：根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第四步：利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 变3．若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0 【答案】 【详解】据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)连线垂直，故kAB＝－＝，从而得直线AB方程为 y－1＝(x－1)，整理得直线AB的方程为x－2y＋1＝0. 【题型4 直线与圆位置关系最值问题】 【例4】 过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，则，如下图所示：圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即的最小值为，所以.故选：B. 例4小结：相切时：先判断动点在圆外还是圆上，动点落在圆上时切线长为 ； 动点在圆外时把切线长的最值转成圆心到动点的最值——点到直线垂线段最短 （依据：半径 是定值， 随 单调增大）. 相交时：先算圆心到直线的距离 ，用 求弦长；过圆内定点 的动直线中，与 垂直的那条弦最短（依据：垂径定理——半弦长 ， 越大弦越短）. 变4、已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由平面内两点间的距离公式可得，设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立，故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 达标训练 1、已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 2、已知圆，过点作圆的切线，，切点为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设与交于点，则且为的中点，圆，化为， 则圆心，半径，， 则， 由，得， 所以， 所以.故选：C. 3、（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点，则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 4、已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为 ；四边形面积的最小值为 ；此时. 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，所以有，，因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 所以，，此时， 因此，. 故答案为：. 5.已知圆 ，点 是直线 上的动点，求过 向圆所引切线长的最小值. 解：圆心 到直线 的距离为 ， 此时切线长最小，最小值 6.已知圆C以为圆心，被直线截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)若点，点P为在圆C上任一点，当最小时，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）直线到圆心距离为：，又弦长为，则圆半径为：.故圆C方程为：. （2）由题可得，当且仅当PB与圆相切时，最小.则此时，，故. 能力提升 7圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（或者） 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 2.5.1（2）直线与圆的位置关系导学案第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $