2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（导学案）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线与圆的位置关系，核心内容为坐标法解决相关问题。课堂导入通过台风移动等实际场景引发思考，回顾坐标法“四步曲”旧知，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料特色在于结合圆拱形桥支柱高度、轮船触礁等实际问题，引导学生比较坐标法与综合法、向量法的异同，培养数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的核心素养，习题涵盖切线方程、弦长计算等题型，强化数学运算能力。

2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（导学案） （1）能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； （2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养； （3）体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 教学重点：1.利用坐标法解决与圆有关的实际应用问题.2.坐标法解决平面几何问题的“三步曲”． 教学难点：直线与圆的位置关系在解决实际问题中的具体应用，以及树立合理运用图形性质简化代数法的数形结合思想． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 台风“桦加沙”中心从A地以20 km/h的速度向西北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，广州市在A地正西40 km处，则广州市是否会遭遇到台风的危害吗？ 这是生活中一个关于直线与圆位置关系的具体场景，像这种类似的场景生活中还有很多，那么我们是可以应用所学知识，解决生活中一些具体的问题的. 设计意图：以台风避险的生活情境引入，激发学生兴趣，引导用直线与圆位置关系旧知思考，为新课应用铺垫，培养数学应用意识. 教学建议：引导学生提取情境中 A 地、广州位置及台风危险区等已知量，逐步转化为数学模型（建系、定圆与直线），通过提问或小组讨论落实建模，自然衔接新课. 回顾：在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾：用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤： 学生：思考并回顾之前所学知识，马上得出答案 一建：建立适当的平面直角坐标系， 二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素 三算：进行有关代数运算 四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 教师：今天我们将再一次应用坐标法，解决生活中的一些简单实际问题 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 回顾：建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？ 学生：思考并回顾之前所学知识，马上得出答案 原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上 原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 思考：如何在该图形中建立直角坐标系？ 学生：借助建立平面直角坐标系的原则，尝试着建立适合的坐标系： 以O为原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 追问：原点O是圆心吗？ 学生：根据题意思考得出答案：不是，圆心在y轴上，可令圆心坐标(0，b) 转化：建立平面直角坐标系，将实际应用问题转化为怎样的数学问题？ 原题：圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度. 转化后：已知___________________________________，圆心在________上，求点P2的________坐标. 学生：尝试着将生活中的问题，转变为数学问题，用数学符号和语言表示出已知条件和所求的量，从而结合题意得出结论： 由点P2在圆上，可以先求圆的方程，然后代入点P2的横坐标，求得P2纵坐标. 学生：结合以上思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上． 由题意，点，的坐标分别为，．设圆心坐标是，圆的半径是， 那么圆的方程是 ． 下面确定和的值． 因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程． 于是，得到方程组 ． 解得 ，． 所以，圆的方程是 ． 把点的横坐标代入圆的方程，得 ． 即（的纵坐标，平方根取正值）．所以 m． 答：支柱的高度约为3.86m． 思考：如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答 追问：根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 学生：体会以上两种解法，并分析比较综合法和坐标法的特点，比得出答案： 综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂. 坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻. 例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 师生：共同分析，先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 ． 轮船航线所在直线的方程为 ，即． 联立直线与圆的方程，得 消去，得 ． 由，可知方程组无解． 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 教师：提示借助向量工具求一些距离问题 师生：共同分析，前面我们学过向量，利用向量工具解决平面几何问题也很方便，我们考虑如何利用向量来解决这个问题，可以利用向量求出点O到直线AB的距离，然后与暗礁分布范围的半径比较大小即可判断，是否会触礁. 学生：结合以上分析与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 所以，，直线AB的一个法向量为，所以，点O到直线AB的距离为： 所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考：比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 学生：体会向量法和坐标法的解题过程，并得出其中的异同点： 向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似： 首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果. 由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷. 1.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 2.（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 3.（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 4.（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】设圆心坐标为，半径为， 由题意可得， 解得， 所以圆C的半径为. 5.（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2， 因此圆心到该直线的距离，又， 即，所以直线的斜率. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（导学案） （1）能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； （2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养； （3）体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 教学重点： 1.利用坐标法解决与圆有关的实际应用问题. 2.坐标法解决平面几何问题的“三步曲”． 教学难点： 直线与圆的位置关系在解决实际问题中的具体应用，以及树立合理运用图形性质简化代数法的数形结合思想． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 台风“桦加沙”中心从A地以20 km/h的速度向西北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，广州市在A地正西40 km处，则广州市是否会遭遇到台风的危害吗？ 这是生活中一个关于直线与圆位置关系的具体场景，像这种类似的场景生活中还有很多，那么我们是可以应用所学知识，解决生活中一些具体的问题的. 回顾：在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾：用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤： 学生：思考并回顾之前所学知识，马上得出答案 一建：建立适当的平面直角坐标系， 二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素 三算：进行有关代数运算 四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 教师：今天我们将再一次应用坐标法，解决生活中的一些简单实际问题 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 回顾：建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？ 思考：如何在该图形中建立直角坐标系？ 追问：原点O是圆心吗？ 学生：根据题意思考得出答案：不是，圆心在y轴上，可令圆心坐标(0，b) 转化：建立平面直角坐标系，将实际应用问题转化为怎样的数学问题？ 原题：圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度. 转化后：已知___________________________________，圆心在________上，求点P2的________坐标. 思考：如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答 追问：根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 师生：共同分析，先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 教师：提示借助向量工具求一些距离问题 思考：比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 1.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 4.（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 5.（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $