第三章 勾股定理 章节习题精讲 等级检测反馈 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

初中数学 · 八年级上册 · 章节习题精讲（配苏科版新教材） 第 3 章　勾股定理　专题讲义 课本习题精讲 · 每讲配 5 道变式 · 课后 A/B/C 三级检测 【原 卷 版】 【本章知识要点】 1. 勾股定理　直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若 ∠C＝90°，则 a²＋b²＝c²。 2. 逆定理　若三角形三边满足 a²＋b²＝c²，则这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角是直角。判定时先找最大边，再比较两短边平方和与最大边平方。 3. 常用勾股数　3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41，以及它们的正整数倍。 4. 斜边上的高　Rt△ 中 h＝(两直角边之积)÷斜边（等面积法），这是折叠、动点最值问题的常用工具。 5. 三大模型　①折叠——折痕是对应点连线的垂直平分线，折后对应线段相等、对应角相等；②最短路径——把侧面展开成平面，“两点之间线段最短”＋勾股定理；③实际测距——折断、滑动、拉绳，抓住“不变量”设未知数列方程。 说明：本卷为原卷版，只呈现题目与图形，请在题后空白处作答；参考答案与完整解析见配套《解析版》。 第一部分　课本习题精讲（4 个习题 · 24 道题） 本部分按教材 3.1、3.2、3.3 的顺序选取 4 道课本习题作为母题，每题配 5 道变式，由浅入深，覆盖本章全部核心方法。 习题一　勾股定理的探究（面积法） 对应教材 3.1 勾股定理的探究　｜　以直角三角形的三边为边向外作正方形，两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积——这是勾股定理最直观的面积表述，也是中考“网格题”“拼图题”的原型。 母题 1　　★★☆☆☆ 如图，以 Rt△ABC 的三边为边分别向外作正方形 P、Q、R，其中正方形 P、Q 的面积分别为 9 和 16，则正方形 R 的面积为 ______。 变式 1-1　　★☆☆☆☆ 如图，正方形 P、Q、R 分别以 Rt△ABC 的三边为边，若正方形 P、R 的面积分别为 9 和 25，则正方形 Q 的面积为 ______。 变式 1-2　　★☆☆☆☆ 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B 都在格点上，求线段 AB 的长。 变式 1-3　　★☆☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求 BC 的长。 变式 1-4　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，求 BC 边上的高 AD 及 △ABC 的面积。 变式 1-5　　★★☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，CD⊥AB 于点 D，求 AB 的长及 CD 的长。 习题二　勾股定理的实际应用（折断、滑动、拉绳、测距） 对应教材 3.1 勾股定理的简单应用　｜　实际问题求解三步走：①把文字“翻译”成直角三角形；②分清哪条是斜边；③设未知数列方程（或直接用勾股定理）。 母题 2　　★★☆☆☆ 如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，折断处 A 离地面 9 m，树顶 C 落在离树根 B 12 m 处。求这棵树在折断前的高度。 变式 2-1　　★★☆☆☆ 如图，一架长 5 m 的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙上，梯子底端 A 离墙脚 3 m。若梯子顶端 B 沿墙下滑 1 m 到 B′，求梯子底端向外滑动的距离。 变式 2-2　　★★☆☆☆ 如图，一根绳子从旗杆顶端 B 垂下，垂到地面还多 1 m。把绳子的下端拉开 5 m 到 C 处，绳子的下端恰好接触地面。求旗杆 AB 的高度。 变式 2-3　　★☆☆☆☆ 如图，学校有一块长方形花圃 ABCD，长 40 m、宽 30 m。有人为了避开拐角，沿对角线 AC 走了一条“路”。求沿对角线走比沿 AB、BC 走少走多少米。 变式 2-4　　★★★☆☆ 《九章算术》记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”如图，池塘是边长为 10 尺的正方形，芦苇生长在池中央，露出水面 1 尺；把芦苇拉向岸边，苇顶恰好与水面齐平。求水深和芦苇的长。 变式 2-5　　★★☆☆☆ 如图，一架长 3 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，底端 A 离墙脚 1.8 m。若梯子顶端 B 沿墙下滑 0.6 m 到 B′，求梯子底端向外滑动的距离。 习题三　勾股定理的逆定理（判定直角三角形） 对应教材 3.2 勾股定理的逆定理　｜　勾股定理是“由直角得平方关系”，逆定理是“由平方关系得直角”，两者互为因果。判定时先找最大边，再看两短边的平方和是否等于最大边的平方。 母题 3　　★★☆☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17。求四边形 ABCD 的面积。 变式 3-1　　★☆☆☆☆ 判断以 7、24、25 为三边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 变式 3-2　　★★☆☆☆ 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上，且 A(1,5)、B(0,3)、C(4,1)。判断 △ABC 的形状，并求 AC 的长。 变式 3-3　　★★★☆☆ 设 n＞1，判断以 n²－1、2n、n²＋1 为三边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 变式 3-4　　★☆☆☆☆ 在 △ABC 中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，求 △ABC 的面积及 ∠B 的度数。 变式 3-5　　★★☆☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形 ABCD 的面积。 习题四　最短路径与折叠（勾股定理的深度应用） 对应教材 3.3 勾股定理的简单应用　｜　立体图形上的最短路径，一律“展开成平面，再用两点之间线段最短”；折叠问题则抓住“折痕是垂直平分线、折后对应线段相等”，把未知量集中到一个直角三角形里。 母题 4　　★★★☆☆ 如图，有一个圆柱，它的高为 8 cm，底面周长为 12 cm。在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 点相对的点 B 处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程。 变式 4-1　　★★★☆☆ 如图，一个长方体盒子的底面是边长为 5 cm 的正方形，高为 15 cm。一只蚂蚁从底面的一个顶点 P 出发，沿四个侧面爬行一周，到达 P 正上方的顶点 Q。求蚂蚁爬行的最短路程。 变式 4-2　　★★☆☆☆ 如图是一个三级台阶，每级台阶的高为 3 dm、宽为 4 dm。一只蚂蚁从 A 点出发，沿台阶面爬到 B 点，求最短路程。 变式 4-3　　★★★☆☆ 如图，把长方形纸片 ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 F 处。已知 AB＝10，BC＝8，求 CE 的长。 变式 4-4　　★★★☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。点 D 在边 BC 上，把 △ACD 沿 AD 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，求 BD 的长。 变式 4-5　　★★☆☆☆ 如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别为 8 cm、9 cm、12 cm。一根直木棒（不能折断）要完全放入盒中，求木棒的最大长度。 第二部分　检测反馈（A 级 10 题 · B 级 10 题 · C 级 6 题） 本部分题目取材于江苏省各地八年级上学期期中、期末考试，按“基础—提升—拓展”三级分层，同一级内部也按难度递增排列，建议限时完成后再对照答案。 A 级　基础达标 直接考查勾股定理及其逆定理的基本形式，要求在 1～2 分钟内完成一题，做到“看题即得”。 1．　　★☆☆☆☆ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则 AB＝______。 2．　　★☆☆☆☆ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则 AC＝______。 3．　　★☆☆☆☆ 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上。求 △ABC 的周长。 4．　　★☆☆☆☆ 等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，则底边上的高为 ______，面积为 ______。 5．　　★★☆☆☆ 如图，以 Rt△ABC 的三边为边分别向外作正方形 P、Q、R，若正方形 P、Q 的面积分别为 4 和 9，则正方形 R 的面积为 ______。 6．　　★☆☆☆☆ 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4　　B．9，12，15　　C．5，6，7　　D．8，10，12 7．　　★☆☆☆☆ 已知一个三角形的三边长分别为 10、24、26，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．等腰三角形 8．　　★☆☆☆☆ 长方形 ABCD 的长为 12，宽为 5，则它的对角线长为 ______。 9．　　★★☆☆☆ 已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 ______。 10．　　★★☆☆☆ 一架长 25 m 的云梯斜靠在竖直的墙上，云梯底端离墙脚 7 m。求云梯顶端到地面的高度。 B 级　能力提升 需要“作辅助线、设未知数、分类比较”，考查把一个较复杂图形拆成可解直角三角形的基本功。 11．　　★★☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，CD⊥AB 于点 D。求 AB 的长及 CD 的长。 12．　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝13，BC＝14，CA＝15，求 BC 边上的高及 △ABC 的面积。 13．　　★★★☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24。求 ∠D 的度数及四边形 ABCD 的面积。 14．　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝25，BC＝30。求腰 AC 上的高。 15．　　★★★☆☆ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，且 AC 比 BC 长 2。求 △ABC 的面积。 16．　　★★★☆☆ 如图，一个圆柱的高为 12 cm，底面周长为 10 cm。一只蚂蚁从下底面的点 A 出发，绕圆柱侧面爬行到上底面与 A 相对的点 B，求最短路程。 17．　　★★★☆☆ 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 5 dm、7 dm、9 dm。一只蚂蚁从底面的一个顶点 A 出发，沿盒子表面爬到与 A 相对的顶点 B，求最短路程。 18．　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12。求 BC 边上的高及腰 AC 上的高。 19．　　★★☆☆☆ 如图，在平面直角坐标系中，A(1,2)、B(4,6)、C(7,2)。判断 △ABC 的形状，并求它的面积。 20．　　★★★☆☆ 一个直角三角形的周长为 30，斜边长为 13，求这个三角形的面积。 C 级　拓展探究 涉及分类讨论、立体展开的最值、折叠中的方程思想与勾股定理的证明，需要综合运用多个知识点，建议限时 8～10 分钟一题。 21．　　★★★☆☆ 在 △ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高为 12，求 BC 的长。 22．　　★★★★☆ 如图，一个无盖圆柱形玻璃容器的底面周长为 14 cm，高为 24 cm。容器外壁的点 A 离容器上沿 5 cm，容器内壁的点 B 离容器底部 5 cm，且 A、B 在容器的相对位置。一只蚂蚁从 A 处爬到 B 处，求最短路程。 23．　　★★★★☆ 如图，把长方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF。已知 AB＝12 cm，BC＝16 cm，求折痕 EF 的长。 24．　　★★★☆☆ 如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P 是边 AB 上的一动点。求 CP 的最小值。 25．　　★★★☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD 于点 O。求证：AB²＋CD²＝AD²＋BC²。 26．　　★★★★☆ 观察下列勾股数： 3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　9，40，41；…… (1) 第 n 组勾股数中，最小的数为 ______，另两个数分别为 ______、______（用含 n 的式子表示）； (2) 证明你猜想的结论。 第 3 章 勾股定理 专题讲义（苏科版八上）　第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学 · 八年级上册 · 章节习题精讲（配苏科版新教材） 第 3 章　勾股定理　专题讲义 课本习题精讲 · 每讲配 5 道变式 · 课后 A/B/C 三级检测 【解 析 版】　答案以红色呈现 【本章知识要点】 1. 勾股定理　直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若 ∠C＝90°，则 a²＋b²＝c²。 2. 逆定理　若三角形三边满足 a²＋b²＝c²，则这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角是直角。判定时先找最大边，再比较两短边平方和与最大边平方。 3. 常用勾股数　3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41，以及它们的正整数倍。 4. 斜边上的高　Rt△ 中 h＝(两直角边之积)÷斜边（等面积法），这是折叠、动点最值问题的常用工具。 5. 三大模型　①折叠——折痕是对应点连线的垂直平分线，折后对应线段相等、对应角相等；②最短路径——把侧面展开成平面，“两点之间线段最短”＋勾股定理；③实际测距——折断、滑动、拉绳，抓住“不变量”设未知数列方程。 第一部分　课本习题精讲（4 个习题 · 24 道题） 本部分按教材 3.1、3.2、3.3 的顺序选取 4 道课本习题作为母题，每题配 5 道变式，由浅入深，覆盖本章全部核心方法。 习题一　勾股定理的探究（面积法） 对应教材 3.1 勾股定理的探究　｜　以直角三角形的三边为边向外作正方形，两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积——这是勾股定理最直观的面积表述，也是中考“网格题”“拼图题”的原型。 母题 1　　★★☆☆☆ 如图，以 Rt△ABC 的三边为边分别向外作正方形 P、Q、R，其中正方形 P、Q 的面积分别为 9 和 16，则正方形 R 的面积为 ______。 【思路导航】三个正方形分别以直角边 AC、BC 和斜边 AB 为边，正方形面积等于边长的平方，于是问题转化为“已知两直角边求斜边”。 【详解】 设正方形 P、Q、R 的边长分别为 a、b、c。 ∵ 正方形 P、Q 分别以直角边 AC、BC 为边，∴ AC²＝9，BC²＝16。 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，由勾股定理得 AB²＝AC²＋BC²＝9＋16＝25。 ∵ 正方形 R 以斜边 AB 为边，∴ S_R＝AB²＝25。 【答案】25 【方法点睛】看到“以三边为边作正方形”，立即把“面积关系”翻译成“边长平方关系”，直接用 S小＋S小＝S大，不必逐条求边长。 变式 1-1　　★☆☆☆☆ 如图，正方形 P、Q、R 分别以 Rt△ABC 的三边为边，若正方形 P、R 的面积分别为 9 和 25，则正方形 Q 的面积为 ______。 【思路导航】已知一个直角边正方形和一个斜边正方形，求另一个直角边正方形，仍然是 S₁＋S₂＝S₃，只是把“加法”改成“减法”。 【详解】 ∵ 正方形 P、R 分别以 AC、AB 为边，∴ AC²＝9，AB²＝25。 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∴ BC²＝AB²－AC²＝25－9＝16。 ∴ S_Q＝BC²＝16。 【答案】16 【方法点睛】三个正方形中任知其二可求第三个：两直角边正方形相加得斜边正方形，斜边正方形减去一个直角边正方形得另一个。 变式 1-2　　★☆☆☆☆ 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B 都在格点上，求线段 AB 的长。 【思路导航】网格中求斜向线段的长，常用“作水平、竖直辅助线构造直角三角形”，两条直角边由格数直接读出。 【详解】 过点 A 作水平线，过点 B 作竖直线，两线交于点 C。 则 AC＝3，BC＝4，且∠C＝90°。 在 Rt△ABC 中，AB＝√(AC²＋BC²)＝√(3²＋4²)＝√25＝5。 【答案】5 【方法点睛】网格题的通用套路：把斜线段放进“横平竖直”的直角三角形中，横、竖两条直角边就是格数之差。 变式 1-3　　★☆☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求 BC 的长。 【思路导航】已知斜边和一条直角边，用勾股定理的变形 BC²＝AB²－AC²。 【详解】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 为斜边。 由勾股定理得 BC²＝AB²－AC²＝13²－12²＝169－144＝25。 ∴ BC＝5。 【答案】5 【方法点睛】勾股定理的三种形态要随手写出：c²＝a²＋b²，a²＝c²－b²，b²＝c²－a²。求直角边时一定用“减”。 变式 1-4　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，求 BC 边上的高 AD 及 △ABC 的面积。 【思路导航】等腰三角形“三线合一”：底边上的高也是底边上的中线，于是把等腰三角形切成两个全等的直角三角形。 【详解】 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。 ∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD＝½BC＝5（三线合一）。 在 Rt△ABD 中，AD²＝AB²－BD²＝13²－5²＝169－25＝144，∴ AD＝12。 ∴ S△ABC＝½×BC×AD＝½×10×12＝60。 【答案】AD＝12，S△ABC＝60 【方法点睛】等腰三角形中出现“求高、求面积”，先作底边上的高，把已知的腰、底边一半、高装进同一个直角三角形。 变式 1-5　　★★☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，CD⊥AB 于点 D，求 AB 的长及 CD 的长。 【思路导航】先用勾股定理求斜边，再用“等面积法”求斜边上的高：同一个三角形的面积可以用两组底×高表示。 【详解】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB²＝AC²＋BC²＝15²＋20²＝225＋400＝625，∴ AB＝25。 ∵ S△ABC＝½AC·BC＝½AB·CD，∴ AC·BC＝AB·CD。 ∴ CD＝(AC·BC)/AB＝(15×20)/25＝12。 【答案】AB＝25，CD＝12 【方法点睛】斜边上的高用“等面积法”最快：h＝(两直角边之积)÷斜边。这一招在折叠、动点最值问题中反复使用。 习题二　勾股定理的实际应用（折断、滑动、拉绳、测距） 对应教材 3.1 勾股定理的简单应用　｜　实际问题求解三步走：①把文字“翻译”成直角三角形；②分清哪条是斜边；③设未知数列方程（或直接用勾股定理）。 母题 2　　★★☆☆☆ 如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，折断处 A 离地面 9 m，树顶 C 落在离树根 B 12 m 处。求这棵树在折断前的高度。 【思路导航】折断前的高度＝AB（直立部分）＋AC（折断倒下的部分），而 AC 是 Rt△ABC 的斜边。 【详解】 由题意，AB⊥BC，AB＝9 m，BC＝12 m。 在 Rt△ABC 中，AC²＝AB²＋BC²＝9²＋12²＝81＋144＝225，∴ AC＝15（m）。 ∴ 树在折断前的高度为 AB＋AC＝9＋15＝24（m）。 【答案】24 m 【方法点睛】“折断问题”的关键是认清：树高＝“站着的一段”＋“倒下的一段”，倒下的一段是斜边，不是直角边。 变式 2-1　　★★☆☆☆ 如图，一架长 5 m 的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙上，梯子底端 A 离墙脚 3 m。若梯子顶端 B 沿墙下滑 1 m 到 B′，求梯子底端向外滑动的距离。 【思路导航】下滑前后梯子长度不变，两次分别用勾股定理求出顶端高度和底端距离，再作差。 【详解】 设墙脚为 O，则∠AOB＝90°，AB＝5 m，OA＝3 m。 下滑前：OB²＝AB²－OA²＝25－9＝16，∴ OB＝4（m）。 下滑后：OB′＝4－1＝3（m），OA′²＝AB²－OB′²＝25－9＝16，∴ OA′＝4（m）。 ∴ 底端向外滑动 AA′＝OA′－OA＝4－3＝1（m）。 【答案】1 m 【方法点睛】梯子滑动问题的“不变量”是梯长。先算“原来”，再算“后来”，两次作差；注意是“顶端下滑多少”还是“底端外滑多少”，别张冠李戴。 变式 2-2　　★★☆☆☆ 如图，一根绳子从旗杆顶端 B 垂下，垂到地面还多 1 m。把绳子的下端拉开 5 m 到 C 处，绳子的下端恰好接触地面。求旗杆 AB 的高度。 【思路导航】绳长比旗杆高 1 m，设旗杆高 x m 则绳长 (x＋1) m；拉开后绳子、旗杆、地面水平距离构成直角三角形，斜边是绳长。 【详解】 设旗杆 AB 的高为 x m，则绳长为 (x＋1) m。 拉开后，AC＝5 m，∠BAC＝90°，BC 为斜边，且 BC＝x＋1。 由勾股定理得 x²＋5²＝(x＋1)²， 即 x²＋25＝x²＋2x＋1，解得 2x＝24，x＝12。 ∴ 旗杆 AB 的高为 12 m。 【答案】12 m 【方法点睛】“绳长不变”是列方程的等量关系。设未知数时把“斜边”用含 x 的式子表示，展开后 x² 会自然消去，得到一元一次方程。 变式 2-3　　★☆☆☆☆ 如图，学校有一块长方形花圃 ABCD，长 40 m、宽 30 m。有人为了避开拐角，沿对角线 AC 走了一条“路”。求沿对角线走比沿 AB、BC 走少走多少米。 【思路导航】先求对角线的长，再与两条直角边之和作差。 【详解】 在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝40 m，BC＝30 m。 AC²＝40²＋30²＝1600＋900＝2500，∴ AC＝50（m）。 沿拐角走的路程为 AB＋BC＝40＋30＝70（m）。 ∴ 少走 70－50＝20（m）。 【答案】20 m 【方法点睛】长方形对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，对角线长＝√(长²＋宽²)，这是“两点之间线段最短”的定量版本。 变式 2-4　　★★★☆☆ 《九章算术》记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”如图，池塘是边长为 10 尺的正方形，芦苇生长在池中央，露出水面 1 尺；把芦苇拉向岸边，苇顶恰好与水面齐平。求水深和芦苇的长。 【思路导航】设水深 x 尺，则葭长 (x＋1) 尺。葭在池中央，到岸边的水平距离是池边长的一半，即 5 尺；拉倒后构成以水深、5 尺为直角边，葭长为斜边的直角三角形。 【详解】 设水深为 x 尺，则葭长为 (x＋1) 尺。 ∵ 池塘是边长为 10 尺的正方形，葭生中央，∴ 葭根到岸边的水平距离为 5 尺。 引葭赴岸后，水深、水平距离 5 尺、葭长恰好构成直角三角形，其中葭长为斜边： x²＋5²＝(x＋1)²，即 x²＋25＝x²＋2x＋1，解得 x＝12。 ∴ 水深 12 尺，葭长 13 尺。 【答案】水深 12 尺，葭长 13 尺 【方法点睛】古算题的共同结构：“直立时差一点、拉倒后刚好够到”。抓住“斜边＝竖直量＋差值”设未知数，方程自然成立。同类题还有“折竹抵地”“荷花出水”。 变式 2-5　　★★☆☆☆ 如图，一架长 3 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，底端 A 离墙脚 1.8 m。若梯子顶端 B 沿墙下滑 0.6 m 到 B′，求梯子底端向外滑动的距离。 【思路导航】与变式 2-1 同法，注意本题数据是小数，计算时把平方算准。 【详解】 设墙脚为 O，则∠AOB＝90°，AB＝3 m，OA＝1.8 m。 下滑前：OB²＝3²－1.8²＝9－3.24＝5.76，∴ OB＝2.4（m）。 下滑后：OB′＝2.4－0.6＝1.8（m），OA′²＝3²－1.8²＝5.76，∴ OA′＝2.4（m）。 ∴ 底端向外滑动 AA′＝2.4－1.8＝0.6（m）。 【答案】0.6 m 【方法点睛】本题下滑距离与外滑距离恰好相等，这是数据巧合（3、1.8、2.4 成比例），不能当作结论记；一般情形下两者并不相等。 习题三　勾股定理的逆定理（判定直角三角形） 对应教材 3.2 勾股定理的逆定理　｜　勾股定理是“由直角得平方关系”，逆定理是“由平方关系得直角”，两者互为因果。判定时先找最大边，再看两短边的平方和是否等于最大边的平方。 母题 3　　★★☆☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17。求四边形 ABCD 的面积。 【思路导航】四边形面积通常拆成两个三角形。连接 AC，先在 Rt△ABC 中求出 AC，再用逆定理判断 △ACD 是不是直角三角形。 【详解】 连接 AC。 在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC²＝AB²＋BC²＝9²＋12²＝225，∴ AC＝15。 在 △ACD 中，AC²＋CD²＝225＋64＝289，而 AD²＝17²＝289， ∴ AC²＋CD²＝AD²，∴ △ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°。 ∴ S四边形＝S△ABC＋S△ACD＝½×9×12＋½×15×8＝54＋60＝114。 【答案】114 【方法点睛】四边形面积“一分为二”是通法：先连一条对角线，一侧用勾股定理求长度，另一侧用逆定理判直角，两次算面积再相加。 变式 3-1　　★☆☆☆☆ 判断以 7、24、25 为三边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 【思路导航】最大边为 25，只需验证 7²＋24² 是否等于 25²。 【详解】 ∵ 7²＋24²＝49＋576＝625，25²＝625， ∴ 7²＋24²＝25²。 由勾股定理的逆定理，以 7、24、25 为三边长的三角形是直角三角形，且边长为 25 的边所对的角是直角。 【答案】是直角三角形 【方法点睛】用逆定理判定必须“先定最大边”，再用两短边的平方和与最大边的平方比较。7、24、25 与 5、12、13 一样，是常用的勾股数。 变式 3-2　　★★☆☆☆ 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上，且 A(1,5)、B(0,3)、C(4,1)。判断 △ABC 的形状，并求 AC 的长。 【思路导航】网格中求线段长用“横竖直角边”法，先算出三边的平方，再用逆定理判断。 【详解】 由格点坐标可得： AB²＝(1－0)²＋(5－3)²＝1＋4＝5； BC²＝(4－0)²＋(1－3)²＝16＋4＝20； AC²＝(4－1)²＋(1－5)²＝9＋16＝25。 ∵ AB²＋BC²＝5＋20＝25＝AC²，∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC＝90°。 ∵ AC²＝25，∴ AC＝5。 【答案】直角三角形（∠ABC＝90°），AC＝5 【方法点睛】网格中判断形状不要“看”，要“算”：把三边平方都算出来，谁的平方等于另两个平方之和，直角就在谁的对边上。 变式 3-3　　★★★☆☆ 设 n＞1，判断以 n²－1、2n、n²＋1 为三边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。 【思路导航】含字母的判定题，把两“短边”的平方和化简，看能否化成第三边的平方。注意 n＞1 时 n²＋1 最大。 【详解】 ∵ n＞1，∴ n²＋1＞n²－1，且 n²＋1＞2n，故 n²＋1 为最大边。 (n²－1)²＋(2n)²＝n⁴－2n²＋1＋4n²＝n⁴＋2n²＋1＝(n²＋1)²， ∴ 两短边的平方和等于最大边的平方。 由勾股定理的逆定理，以 n²－1、2n、n²＋1 为边的三角形是直角三角形。 【答案】是直角三角形 【方法点睛】含字母的逆定理判定，本质是“整式乘法与因式分解”的应用：把左边展开、合并，再写成完全平方式，与右边比较。 变式 3-4　　★☆☆☆☆ 在 △ABC 中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，求 △ABC 的面积及 ∠B 的度数。 【思路导航】先看三边是否满足勾股关系——最大边是 AC，比较 5²＋12² 与 13²。 【详解】 ∵ AB²＋BC²＝5²＋12²＝25＋144＝169，AC²＝13²＝169， ∴ AB²＋BC²＝AC²，∴ △ABC 是直角三角形，且∠B＝90°。 ∴ S△ABC＝½×AB×BC＝½×5×12＝30。 【答案】面积为 30，∠B＝90° 【方法点睛】逆定理不仅能“判形状”，还能“定直角的位置”：直角在最大边所对的顶点处。本题最大边是 AC，故直角是 ∠B。 变式 3-5　　★★☆☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形 ABCD 的面积。 【思路导航】与母题 3 同构：连 AC，一侧用勾股定理，一侧用逆定理。 【详解】 连接 AC。 在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC²＝3²＋4²＝25，∴ AC＝5。 在 △ACD 中，AC²＋CD²＝25＋144＝169，而 AD²＝13²＝169， ∴ AC²＋CD²＝AD²，∴ ∠ACD＝90°。 ∴ S四边形＝½×3×4＋½×5×12＝6＋30＝36。 【答案】36 【方法点睛】凡四边形中给出了“一个直角＋四条边”，几乎都要连对角线，把它拆成“一个直角三角形＋一个待判定的三角形”。 习题四　最短路径与折叠（勾股定理的深度应用） 对应教材 3.3 勾股定理的简单应用　｜　立体图形上的最短路径，一律“展开成平面，再用两点之间线段最短”；折叠问题则抓住“折痕是垂直平分线、折后对应线段相等”，把未知量集中到一个直角三角形里。 母题 4　　★★★☆☆ 如图，有一个圆柱，它的高为 8 cm，底面周长为 12 cm。在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 点相对的点 B 处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程。 【思路导航】把圆柱的侧面沿一条母线剪开、展平，得到一个长方形。A、B 在展开图中的水平距离是底面周长的一半，竖直距离是圆柱的高。 【详解】 把圆柱的侧面沿母线展开，展开图是一个长方形。 A、B 两点在展开图中的水平距离为底面周长的一半：12÷2＝6（cm）， 竖直距离为圆柱的高：8 cm。 由两点之间线段最短，最短路程为 √(6²＋8²)＝√100＝10（cm）。 【答案】10 cm 【方法点睛】圆柱侧面展开：“水平距离取半周长（相对两点）或整周长（绕行一周）”，竖直距离取高。这是“化曲为直”的核心。 变式 4-1　　★★★☆☆ 如图，一个长方体盒子的底面是边长为 5 cm 的正方形，高为 15 cm。一只蚂蚁从底面的一个顶点 P 出发，沿四个侧面爬行一周，到达 P 正上方的顶点 Q。求蚂蚁爬行的最短路程。 【思路导航】绕四个侧面一周，展开后水平方向正好是底面的一整圈周长，竖直方向是高。 【详解】 把长方体的四个侧面展开成一个长方形。 展开后水平方向为底面周长：5×4＝20（cm），竖直方向为高：15 cm。 最短路程为 √(20²＋15²)＝√(400＋225)＝√625＝25（cm）。 【答案】25 cm 【方法点睛】分清“绕一周”与“到相对点”：绕一周展开用整周长，到相对点（隔半个侧面）才用半周长。 变式 4-2　　★★☆☆☆ 如图是一个三级台阶，每级台阶的高为 3 dm、宽为 4 dm。一只蚂蚁从 A 点出发，沿台阶面爬到 B 点，求最短路程。 【思路导航】把三级台阶的踏面与立面“压平”，水平方向是 3 个宽，竖直方向是 3 个高。 【详解】 把台阶的踏面和立面展开、压平，得到一个长方形。 水平方向：4×3＝12（dm）；竖直方向：3×3＝9（dm）。 最短路程为 √(12²＋9²)＝√(144＋81)＝√225＝15（dm）。 【答案】15 dm 【方法点睛】台阶问题与圆柱、长方体本质相同：把“折线面”展成平面，水平、竖直两个方向分别累加，再用勾股定理。 变式 4-3　　★★★☆☆ 如图，把长方形纸片 ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 F 处。已知 AB＝10，BC＝8，求 CE 的长。 【思路导航】折叠中“折痕两侧全等”：AF＝AB，EF＝EB。先在 Rt△ADF 中求出 DF，得到 CF；再在 Rt△ECF 中设未知数列方程。 【详解】 由折叠得 AF＝AB＝10，EF＝EB。 在 Rt△ADF 中，DF²＝AF²－AD²＝10²－8²＝100－64＝36，∴ DF＝6。 ∵ CD＝AB＝10，∴ CF＝CD－DF＝10－6＝4。 设 CE＝x，则 EF＝EB＝8－x。 在 Rt△ECF 中，由勾股定理得 x²＋4²＝(8－x)²， 即 x²＋16＝64－16x＋x²，解得 16x＝48，x＝3。 ∴ CE＝3。 【答案】3 【方法点睛】折叠题的固定套路：①用“折后相等”把已知长度搬到新位置；②在含未知量的直角三角形中列勾股方程；③展开后 x² 消去，得一元一次方程。 变式 4-4　　★★★☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。点 D 在边 BC 上，把 △ACD 沿 AD 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，求 BD 的长。 【思路导航】折叠得 AE＝AC＝6、DE＝DC。先求 AB，得到 BE；再在 Rt△BDE 中列方程。注意折后 ∠AED＝∠C＝90°，故 ∠BED＝90°。 【详解】 在 Rt△ABC 中，AB²＝AC²＋BC²＝6²＋8²＝100，∴ AB＝10。 由折叠得 AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°， ∴ BE＝AB－AE＝10－6＝4，且∠BED＝90°。 设 CD＝x，则 DE＝x，BD＝8－x。 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 (8－x)²＝4²＋x²， 即 64－16x＋x²＝16＋x²，解得 x＝3。 ∴ BD＝8－3＝5。 【答案】5 【方法点睛】折叠后若落点在斜边上，一定先证“折后角为 90°”，这样才能把 ∠BED 也用上，形成可解的直角三角形。 变式 4-5　　★★☆☆☆ 如图，一个长方体纸盒的长、宽、高分别为 8 cm、9 cm、12 cm。一根直木棒（不能折断）要完全放入盒中，求木棒的最大长度。 【思路导航】盒中最长的线段是体对角线。先用勾股定理求底面对角线，再与高构成直角三角形。 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为 8 cm、9 cm、12 cm。 底面对角线的平方：AC²＝8²＋9²＝64＋81＝145。 体对角线 AB 与底面垂直方向的高 12 cm 构成直角三角形， ∴ AB²＝AC²＋12²＝145＋144＝289，∴ AB＝17（cm）。 ∴ 木棒的最大长度为 17 cm。 【答案】17 cm 【方法点睛】长方体体对角线公式 d²＝a²＋b²＋c²，本质是“连用两次勾股定理”。求“最长木棒”“最远两点”都用它。 第二部分　检测反馈（A 级 10 题 · B 级 10 题 · C 级 6 题） 本部分题目取材于江苏省各地八年级上学期期中、期末考试，按“基础—提升—拓展”三级分层，同一级内部也按难度递增排列，建议限时完成后再对照答案。 A 级　基础达标 直接考查勾股定理及其逆定理的基本形式，要求在 1～2 分钟内完成一题，做到“看题即得”。 1．　　★☆☆☆☆ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则 AB＝______。 【思路导航】已知两直角边求斜边，直接用 a²＋b²＝c²。 【详解】 AB²＝AC²＋BC²＝6²＋8²＝36＋64＝100，∴ AB＝10。 【答案】10 2．　　★☆☆☆☆ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则 AC＝______。 【思路导航】已知斜边和一条直角边，用“减”。 【详解】 AC²＝AB²－BC²＝13²－5²＝169－25＝144，∴ AC＝12。 【答案】12 3．　　★☆☆☆☆ 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上。求 △ABC 的周长。 【思路导航】三条边分别用“横竖直角边”法求出，再相加。 【详解】 AB²＝3²＋4²＝25，∴ AB＝5； BC²＝3²＋4²＝25，∴ BC＝5； AC＝6（同一水平线上，直接数格）。 ∴ △ABC 的周长＝5＋5＋6＝16。 【答案】16 4．　　★☆☆☆☆ 等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，则底边上的高为 ______，面积为 ______。 【思路导航】作底边上的高，三线合一得底边一半为 3，再用勾股定理。 【详解】 作底边 BC 上的高 AD。∵ AB＝AC，∴ BD＝½BC＝3。 在 Rt△ABD 中，AD²＝5²－3²＝25－9＝16，∴ AD＝4。 ∴ S＝½×6×4＝12。 【答案】高为 4，面积为 12 5．　　★★☆☆☆ 如图，以 Rt△ABC 的三边为边分别向外作正方形 P、Q、R，若正方形 P、Q 的面积分别为 4 和 9，则正方形 R 的面积为 ______。 【思路导航】两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形的面积。 【详解】 由勾股定理，AC²＋BC²＝AB²， 而 S_P＝AC²＝4，S_Q＝BC²＝9，∴ S_R＝AB²＝4＋9＝13。 【答案】13 6．　　★☆☆☆☆ 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4　　B．9，12，15　　C．5，6，7　　D．8，10，12 【思路导航】逐项验证“两短边的平方和是否等于最长边的平方”。 【详解】 A：2²＋3²＝13≠16＝4²，不能； B：9²＋12²＝81＋144＝225＝15²，能； C：5²＋6²＝61≠49＝7²，不能； D：8²＋10²＝164≠144＝12²，不能。 ∴ 选 B。 【答案】B 7．　　★☆☆☆☆ 已知一个三角形的三边长分别为 10、24、26，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．等腰三角形 【思路导航】最大边 26，验证 10²＋24² 是否等于 26²。 【详解】 ∵ 10²＋24²＝100＋576＝676，26²＝676， ∴ 10²＋24²＝26²，由勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形。 ∴ 选 B。 【答案】B 8．　　★☆☆☆☆ 长方形 ABCD 的长为 12，宽为 5，则它的对角线长为 ______。 【思路导航】对角线是直角三角形的斜边，长和宽是两条直角边。 【详解】 对角线 AC²＝12²＋5²＝144＋25＝169，∴ AC＝13。 【答案】13 9．　　★★☆☆☆ 已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 ______。 【思路导航】题目没有指明哪条边是斜边，必须分两种情况讨论。 【详解】 ① 当 4 为斜边时，第三边（直角边）＝√(4²－3²)＝√7； ② 当 3、4 都是直角边时，第三边（斜边）＝√(3²＋4²)＝√25＝5。 ∴ 第三边的长为 5 或 √7。 【答案】5 或 √7 10．　　★★☆☆☆ 一架长 25 m 的云梯斜靠在竖直的墙上，云梯底端离墙脚 7 m。求云梯顶端到地面的高度。 【思路导航】云梯为斜边，墙高与底端距离为两直角边。 【详解】 设云梯顶端到地面的高度为 h m，则 h²＋7²＝25²， h²＝625－49＝576，∴ h＝24。 ∴ 云梯顶端到地面的高度为 24 m。 【答案】24 m B 级　能力提升 需要“作辅助线、设未知数、分类比较”，考查把一个较复杂图形拆成可解直角三角形的基本功。 11．　　★★☆☆☆ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，CD⊥AB 于点 D。求 AB 的长及 CD 的长。 【思路导航】先用勾股定理求斜边，再用等面积法求斜边上的高。 【详解】 在 Rt△ABC 中，AB²＝12²＋9²＝144＋81＝225，∴ AB＝15。 ∵ S△ABC＝½AC·BC＝½AB·CD，∴ AC·BC＝AB·CD， ∴ CD＝(12×9)/15＝108/15＝7.2。 【答案】AB＝15，CD＝7.2 12．　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝13，BC＝14，CA＝15，求 BC 边上的高及 △ABC 的面积。 【思路导航】三边已知而三角形不是直角三角形，需作高，设垂足分出的线段为 x，用“同一个高”列方程。 【详解】 作 AD⊥BC 于点 D，设 BD＝x，则 CD＝14－x。 在 Rt△ABD 中，AD²＝13²－x²；在 Rt△ACD 中，AD²＝15²－(14－x)²。 ∴ 169－x²＝225－(196－28x＋x²)，即 169＝29＋28x，解得 x＝5。 ∴ AD²＝169－25＝144，∴ AD＝12。 ∴ S△ABC＝½×14×12＝84。 【答案】高为 12，面积为 84 13．　　★★★☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24。求 ∠D 的度数及四边形 ABCD 的面积。 【思路导航】连 AC，一侧用勾股定理、一侧用逆定理，这是“四边形＋直角”的固定解法。 【详解】 连接 AC。在 Rt△ABC 中，AC²＝20²＋15²＝400＋225＝625，∴ AC＝25。 在 △ACD 中，CD²＋AD²＝7²＋24²＝49＋576＝625＝AC²， ∴ △ACD 是直角三角形，∠D＝90°。 ∴ S四边形＝½×20×15＋½×7×24＝150＋84＝234。 【答案】∠D＝90°，面积为 234 14．　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝25，BC＝30。求腰 AC 上的高。 【思路导航】先作底边上的高求出面积，再用面积反求腰上的高。 【详解】 作 AD⊥BC 于点 D。∵ AB＝AC，∴ BD＝15。 在 Rt△ABD 中，AD²＝25²－15²＝625－225＝400，∴ AD＝20。 ∴ S△ABC＝½×30×20＝300。 设腰 AC 上的高为 h，则 ½×25×h＝300，∴ h＝24。 【答案】24 15．　　★★★☆☆ 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，且 AC 比 BC 长 2。求 △ABC 的面积。 【思路导航】不必解方程求两直角边，借助 (AC－BC)² 与 AC²＋BC² 的关系直接求 AC·BC。 【详解】 由勾股定理得 AC²＋BC²＝AB²＝100。 又 (AC－BC)²＝AC²－2AC·BC＋BC²＝100－2AC·BC，且 AC－BC＝2， ∴ 4＝100－2AC·BC，∴ AC·BC＝48。 ∴ S△ABC＝½AC·BC＝24。 【答案】24 16．　　★★★☆☆ 如图，一个圆柱的高为 12 cm，底面周长为 10 cm。一只蚂蚁从下底面的点 A 出发，绕圆柱侧面爬行到上底面与 A 相对的点 B，求最短路程。 【思路导航】侧面展开成矩形，水平距离取半周长，竖直距离取高。 【详解】 把圆柱侧面展开，A、B 的水平距离为底面周长的一半：10÷2＝5（cm）， 竖直距离为圆柱的高 12 cm。 最短路程＝√(5²＋12²)＝√(25＋144)＝√169＝13（cm）。 【答案】13 cm 17．　　★★★☆☆ 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 5 dm、7 dm、9 dm。一只蚂蚁从底面的一个顶点 A 出发，沿盒子表面爬到与 A 相对的顶点 B，求最短路程。 【思路导航】三条棱中必有一条被“跨过”，因此有三种展开方式，逐一算出再比较取最小。 【详解】 方式一（长、宽展开）：√((5＋7)²＋9²)＝√(144＋81)＝√225＝15； 方式二（长、高展开）：√((5＋9)²＋7²)＝√(196＋49)＝√245； 方式三（宽、高展开）：√(5²＋(7＋9)²)＝√(25＋256)＝√281。 ∵ 15＜√245＜√281，∴ 最短路程为 15 dm。 【答案】15 dm 18．　　★★☆☆☆ 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12。求 BC 边上的高及腰 AC 上的高。 【思路导航】底边上的高用三线合一＋勾股定理；腰上的高用等面积法。 【详解】 作 AD⊥BC 于点 D。∵ AB＝AC，∴ BD＝6。 在 Rt△ABD 中，AD²＝10²－6²＝100－36＝64，∴ AD＝8。 ∴ S△ABC＝½×12×8＝48。 设腰 AC 上的高为 h，则 ½×10×h＝48，∴ h＝9.6。 【答案】BC 边上的高为 8，腰 AC 上的高为 9.6 19．　　★★☆☆☆ 如图，在平面直角坐标系中，A(1,2)、B(4,6)、C(7,2)。判断 △ABC 的形状，并求它的面积。 【思路导航】用坐标差算三边平方，判断形状；再以 AC 为底、B 到 AC 的距离为高求面积。 【详解】 AB²＝(4－1)²＋(6－2)²＝9＋16＝25，∴ AB＝5； BC²＝(7－4)²＋(2－6)²＝9＋16＝25，∴ BC＝5； AC＝7－1＝6。 ∵ AB＝BC，∴ △ABC 是等腰三角形。 作 BD⊥AC 于点 D，则 D(4,2)，BD＝6－2＝4。 ∴ S△ABC＝½×6×4＝12。 【答案】等腰三角形，面积为 12 20．　　★★★☆☆ 一个直角三角形的周长为 30，斜边长为 13，求这个三角形的面积。 【思路导航】设两直角边为 a、b，由 a＋b＝17 与 a²＋b²＝169 求出 ab，面积即为 ½ab。 【详解】 设两直角边分别为 a、b，则 a＋b＝30－13＝17，a²＋b²＝13²＝169。 ∵ (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，∴ 17²＝169＋2ab，即 289＝169＋2ab， ∴ ab＝60，∴ S＝½ab＝30。 【答案】30 C 级　拓展探究 涉及分类讨论、立体展开的最值、折叠中的方程思想与勾股定理的证明，需要综合运用多个知识点，建议限时 8～10 分钟一题。 21．　　★★★☆☆ 在 △ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高为 12，求 BC 的长。 【思路导航】题目没有给出图形，高的垂足可能落在 BC 上，也可能落在 BC 的延长线上，必须分类讨论。 【详解】 设 BC 边上的高为 AD，则 ∠ADB＝∠ADC＝90°。 在 Rt△ABD 中，BD²＝15²－12²＝225－144＝81，∴ BD＝9； 在 Rt△ACD 中，CD²＝13²－12²＝169－144＝25，∴ CD＝5。 ① 当垂足 D 在线段 BC 上时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14； ② 当垂足 D 在 BC 的延长线上时，BC＝BD－CD＝9－5＝4。 ∴ BC 的长为 14 或 4。 【答案】14 或 4 22．　　★★★★☆ 如图，一个无盖圆柱形玻璃容器的底面周长为 14 cm，高为 24 cm。容器外壁的点 A 离容器上沿 5 cm，容器内壁的点 B 离容器底部 5 cm，且 A、B 在容器的相对位置。一只蚂蚁从 A 处爬到 B 处，求最短路程。 【思路导航】路径要跨越容器口。把内壁沿上沿“翻”到外壁一侧展平，则竖直方向的总距离为 A 到上沿的距离加上 B 到上沿的距离。 【详解】 把容器侧面展开。A、B 的水平距离为底面周长的一半：14÷2＝7（cm）。 A 距容器上沿 5 cm；B 距容器底部 5 cm，即距上沿 24－5＝19（cm）。 把内壁沿容器口翻折到外壁一侧，则 A、B 在展开图中的竖直距离为 5＋19＝24（cm）。 ∴ 最短路程＝√(7²＋24²)＝√(49＋576)＝√625＝25（cm）。 【答案】25 cm 23．　　★★★★☆ 如图，把长方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF。已知 AB＝12 cm，BC＝16 cm，求折痕 EF 的长。 【思路导航】折痕 EF 是 BD 的垂直平分线。先用“折后相等”设未知数求出 E、F 在边上的位置，再用勾股定理求 EF。 【详解】 由折叠知 EF 是 BD 的垂直平分线，且 DE＝BE。 设 BE＝x，则 DE＝x，CE＝16－x。 在 Rt△CDE 中，CD＝AB＝12，由勾股定理得 12²＋(16－x)²＝x²， 即 144＋256－32x＋x²＝x²，解得 x＝12.5，∴ BE＝12.5，CE＝16－12.5＝3.5。 同理设 AF＝y，由 FB＝FD 得 12²＋y²＝(16－y)²，解得 y＝3.5。 ∵ E 在 BC 上、F 在 AD 上，BC∥AD，∴ E、F 的水平距离为 AB＝12， E、F 的竖直距离为 BE－AF＝12.5－3.5＝9。 ∴ EF＝√(12²＋9²)＝√(144＋81)＝√225＝15（cm）。 【答案】15 cm 24．　　★★★☆☆ 如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P 是边 AB 上的一动点。求 CP 的最小值。 【思路导航】点 P 在 AB 上移动，CP 最短时 CP⊥AB，此时 CP 就是斜边上的高，用等面积法求。 【详解】 在 Rt△ABC 中，AB²＝8²＋6²＝64＋36＝100，∴ AB＝10。 当 CP⊥AB 时，CP 最短（垂线段最短）。 ∵ S△ABC＝½AC·BC＝½AB·CP，∴ AC·BC＝AB·CP， ∴ CP＝(8×6)/10＝4.8。 ∴ CP 的最小值为 4.8。 【答案】4.8 25．　　★★★☆☆ 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD 于点 O。求证：AB²＋CD²＝AD²＋BC²。 【思路导航】四个直角三角形共用直角顶点 O，把四条边的平方都用 OA、OB、OC、OD 表示，再比较。 【详解】 ∵ AC⊥BD 于点 O，∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°。 由勾股定理得：AB²＝OA²＋OB²，CD²＝OC²＋OD²， ∴ AB²＋CD²＝OA²＋OB²＋OC²＋OD²。 同理 AD²＝OA²＋OD²，BC²＝OB²＋OC²， ∴ AD²＋BC²＝OA²＋OD²＋OB²＋OC²。 ∴ AB²＋CD²＝AD²＋BC²。 【答案】见解析 【方法点睛】这个结论称为“对角线互相垂直的四边形的勾股关系”，凡是遇到“对角线垂直＋四条边”，都可以回到四个直角三角形分别写勾股式再相加。 26．　　★★★★☆ 观察下列勾股数： 3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　9，40，41；…… (1) 第 n 组勾股数中，最小的数为 ______，另两个数分别为 ______、______（用含 n 的式子表示）； (2) 证明你猜想的结论。 【思路导航】先找规律：最小数依次为 3、5、7、9…，是连续奇数 2n＋1；再看每组后两数之差依次为 1，且第二个数 = 最小数 × n ＋ n。 【详解】 (1) 第 n 组勾股数为 2n＋1，2n(n＋1)，2n²＋2n＋1。 (2) ∵ (2n＋1)²＋[2n(n＋1)]² ＝4n²＋4n＋1＋4n²(n²＋2n＋1) ＝4n²＋4n＋1＋4n⁴＋8n³＋4n² ＝4n⁴＋8n³＋8n²＋4n＋1， 又 (2n²＋2n＋1)²＝(2n²)²＋(2n)²＋1²＋2·2n²·2n＋2·2n²·1＋2·2n·1 ＝4n⁴＋4n²＋1＋8n³＋4n²＋4n ＝4n⁴＋8n³＋8n²＋4n＋1， ∴ (2n＋1)²＋[2n(n＋1)]²＝(2n²＋2n＋1)²。 由勾股定理的逆定理，以这三个数为边的三角形是直角三角形，即它们构成勾股数。 【答案】(1) 2n＋1，2n(n＋1)，2n²＋2n＋1；(2) 见解析 【方法点睛】勾股数的通式不止一组。本题这一族（2n＋1，2n²＋2n，2n²＋2n＋1）涵盖了所有“最小边为奇数”的勾股数；另有 (n²－1，2n，n²＋1) 一族。 参考答案速查 A 级：1.10；2.12；3.16；4.高为 4，面积为 12；5.13；6.B；7.B；8.13；9.5 或 √7；10.24 m B 级：11.AB＝15，CD＝7.2；12.高为 12，面积为 84；13.∠D＝90°，面积为 234；14.24；15.24；16.13 cm；17.15 dm；18.BC 边上的高为 8，腰 AC 上的高为 9.6；19.等腰三角形，面积为 12；20.30 C 级：21.14 或 4；22.25 cm；23.15 cm；24.4.8；25.见解析；26.(1) 2n＋1，2n(n＋1)，2n²＋2n＋1；(2) 见解析 第 3 章 勾股定理 专题讲义（苏科版八上）　第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $