第3章勾股定理章节检测同步训练卷（一）2026—2027学年苏科版八年级数学上册

第3章勾股定理章节检测同步训练卷（一）苏科版2026一2027学年八年级数学上册 一、选择题 1.在下列四组数中，不是勾股数的一组是() A.6,8,10 B.5,12,13 C.4,5,6D.7,24,25 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=4,若a=3,则b的值是() A.1 B.5 C.7 D.8 3.一架无人机从地面点O起飞，先垂直上升10m到达点A,再水平飞行24m到达点B, 则点O到点B的距离为() A.10m B.24m C.26m D.34m 4.已知△ABC的三边为a、b、C,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是() A.a2=2-b2 B.a=15,b=36,c=39 C.a2:b2:c2=3:4:5 D.a:b:c=9:12:15 5,在长方形ABCD中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），AB=10,AD=6.点E 在边AD上，沿CE折叠，点D落在边AB的F处.则△AEF的面积为() D 8 A.3 B.4 C.3 D.2.5 6,如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( 8 10 A.12 B.18 C.36 D.72 7.下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方 形，设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>川 ).若小正方形面积为了， (m+川=3引，则大正方形的边长为（） A14 B19 C14 D V19 8.如图，在直线！上依次摆放着五个正方形.已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、 3 ,正放置的三个正方形的面积依次是 S S2 S3S1+22+S3= 则 S2 S3 A.4 B.5 C.6 D.7 9.如图，一圆柱体的底面周长为l0cm,高AB为l2cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出 发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为() B D A.10cm B.12cm C.13cm D 2√61cm 1O.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE.AE与BD相交 于点F,连接CF.若CF⊥BD,且BF=12,CF=8,则△AFC的面积为() A E A.18 B.15 C.12 二、填空题 11.在R1△ABC中，斜边AB=3,则AB2+BC2+AC2= 12.如图，等腰三角形ABC,AC=BC=5cm,AB=6cm,则△ABC的面积为 5cm 5cm 6cm B 13.如图，是6个油桶堆在一起的横截面，若每个油桶的底面直径1米，那么这一堆油桶 高是 14.如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9Cm,将此长方形折叠，使点B与点D重 合，折痕为EF,则△ABE的面积为cm2. -------D B 三、解答题 15.一块试验田的形状如图所示，∠A=90°，AC=3m,AB=4m,BD=12m, CD=13m, D C A ⊙ (I)判断△BCD的形状 (2)求这块试验田的面积， 16 Rt△ABC ∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm 中， ,动点P从点B出发沿射线 C以 1cm/s 的速度移动，设运动时间为秒. A B -0 图1 图2 图3 (I)如图：1，在点P运动的过程中，以AP为折痕折叠△ABC,，求出点C恰好落在AB边上 C处时t的值. (2)如图2，在点P运动的过程中，请直接写出当△ABP为等腰三角形时，点P运动的时间t 是秒 17.春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动.如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在 C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离AB为1.5米，然后测得他与风筝的水平距离 AE为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米. B E Zc7 (I)风筝的垂直高度CE= 米 (2)如果小明想风筝沿CE方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 18.有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海港，且点C与直线 AB 左AB ,300km,400kmAB=500km 上两点“、“的距离分别为 和 ,又 ,以台风中心为圆心周 围250km以内为受影响区域. B (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？ 19.综合与实践 定义：如图1，点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边 的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”. A M M M N B M B 图1 图2 图3 图4 【初步感知】 ()已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MN>AM,MN>BN,若AM=1, BN=3,则MN= 【深入探究】 (Q)如图2，在等腰直角三角形1BC中， AC=BC,∠ACB=90°，M,N 为线段AB上两点，满 ∠MCN=45 ,求证：点M,N是线段B的“勾股分制点” 小梦的思路是：如图3，将ACWB放置到△CPA的位置(CP=CW ,连接MP.请你按照 小梦的思路完成证明过程： 【拓展延伸】 (3)如图4，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=V2,∠ACB=90°，若点M在线段AB W 上，点W在线段4B的延长线上，且 MCN=45°，BN=1 ，请直接写 BM的长. 20.已知△ABC是钝角三角形，∠BAC>90°，∠ACB=45°，AD⊥AC,AD交BC于点D ，动点E在射线DC上，连接AE,以AE为直角边，在AE的右侧作等腰直角三角形AEF ,∠EAF=90°，AE=AF,连接CF. M D 图1 图2 图3 (I)如图1，点E在线段DC上时， ①若1C=6.D=42 EC ZECF ,则线段的长为 的度数为 线 段AE的长为 ②经过猜想，请直接写出ED,EC2及EA之间的数量关系； (2)如图2，若点E在线段DC的延长线上，(1)中②的结论是否仍然成立？若成立，请加 以证明：若不成立，请说明理由： (③)如图3、动点M在MB上运动，M=BD,连接CM,若4C=6,B=105 直接写 出AD+CM的最小值. 参考答案 1.c 【详解】解：62+8=102，A选项是勾股数； 52+122=132 ,B选项是勾股数； 42+52≠62 C选项不是勾股数： 72+242=252 D选项是勾股数， 2.c 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， .c2=a2+b2 b2=c2-a2 c=4,a=3, b2=42-32=7 A 6 B 3.C 【详解】解：如图 A 依题意，0A=10,AB=24,∠0AB=90° :.0B=V0+AB2=V02+24=26 故选：C. 4.c 【详解】解：A.,a2=c2-b2,即a2+b2=c2 ∴，该条件能判定△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意； B.a=15,b=36,c=39. 又a2+b2=152+362=1521,c2=392=1521, .a2+b2=c2, ,该条件能判定△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意； C.设r=3k.b2=4kc2=5k(k>0) .a2+b2=3k+4k=7k,c2=5k, .a2+b2≠c2, ∴.该条件不能判定△ABC为直角三角形，故此选项符合题意： D.设a=9m,b=12mc=15m(m>0) 又d+B=(9nm+12m=25m2c=15m}=225m .a2+b2=c2, ,该条件能判定△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意. 5.C 【详解】解：由折叠可得△CDE≌△CFE, ∴.DE=FE,CD=CF=l0, :四边形ABCD是长方形，AB=10,AD=6, .BC=AD=6,CD=AB=10,∠A=∠B=90°， 在Rt△BCF中，BF=VCF2-BC=V102-6=8 .AF=2, 设AE=x,则DE=FE=6-x, 在RaEF中，得+4=(6- 解得，=8 3 ir的面积为分AFAE=)x2×8-8 1 2 33· 6.D 【详解】解：如图，由勾股定理得，CE2=AB2=102-82=36, ∴.阴影部分的面积是CD2+DE2+CE2=CE2+CE2=2CE2=72 8 10 B 7.D 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为m-n, ,小正方形面积为7， :(m-n)2=7 (m+n)}2=31 :(m+m)+(m-n2=31+7 .m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=38, .m2+n2=19. :由勾股定理得大正方形的边长的平方为19，即大正方形的边长为9 8.B 【详解】解：如图， D 3 S2 图中的四边形均为正方形， C B E .∠ABD=90°，∠ACB=90°，AB=BD, ∴.∠ABC+∠DBE=90°，∠ABC+∠CAB=90°」 ∠CAB=∠DBE 在△ABC和△BDE中， ∠ACB=∠BED ∠CAB=∠DBE AB=BD :.△ABC≌△BDE(AAS) ..AC=BE DE2+BE2=DB2, :DE2+AC2=DB2, .S =AC2 S2=DE2 DB2=2 ∴S1+S2=2 同理，S+S,=3 ∴.S,+2S2+S3=(S,+S2)+(S2+S)=2+3=5 9.C 【详解】解：如图所示： D 由于圆柱体的底面周长为l0cm, 则40-10x分5am 由题意得，CD=AB=12cm, 所以AC=V122+5=13cm 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13Cm. 10.D 【详解】：△ABC是等边三角形，所以AC=AB,∠BAC=∠ACB=60°」 又AD=CE 片△MBD≌aCMB(SMS) .∠CAE=∠ABD .∠AFD=∠BAE+∠ABD=∠BAE+∠CAE=6O° 过点A作AG⊥CF,交CF的延长线于点G, 则∠G=90°、 设AG=x, G.S/ ,CF⊥BD .∠DFG=90° .∠AFG=∠DFG-∠AFD=30° :AF=2AG=2x, FG-A-AG-x CG-CF+FG-8+x :在R1aBFC中，BF=12,CF=8, .BC2=122+82=208 :在R1△ACG中，AG2+CG2=AC2,AC2=BC2=208, :x2+8+V3x)/=208 解得=25欧=65 (舍去). ∴AlC的面积为s-o0r4G×8x25=85 11.18 【详解】解：Rt△ABC中，斜边AB=3, .CB2+AC2=AB2=32=9 .AB2+BC2+AC2=2AB2=2×9=18」 12.12cm2 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D, 5cm 5cm 6cmD B .AC=BC=5cm,AB =6cm,CD1 AB, AD=4B=3cm 2 CD=AC2-AD=-3-4(cm) :8c=4B-CD=x6x4=12em）)】 13.（+5米 【详解】解：如图，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个△ABC,过A作 AD⊥BC于D, :AB=BC=AC=1+2xI×=2 2 .△ABC为等边三角形， :∠BAD=)∠BMC=30 D-4B=, 4D-VAB2-BD--= “油桶的最高点到绝面的距瑞×+5+1x(+)米 14.6 【详解】解：四边形ABCD是长方形，AB=3cm,AD=9cm, ∴.CD=AB=3cm,BC=AD=9cm,∠A=90° 由折叠可知BE=ED, 设AE=xCm, BE=ED=(9-x)cm 则 在RL△ABE中，BE2=AB2+AE2, (9-x)2=x2+32 解得：x=4, .AE=4, 06的面领为分B4=方3x4=6cm 15.【详解】(1)解：∠A=90°，AC=3m,AB=4m, BCV+4C2=+3-5(m) 又.52+122=132， 即BC2+BD2=CD2 :.△BCD为直角三角形. (2解：及m方4C4B=3x4=6(m). 8n号ac-9D-x5x2=30(m）. ∴这块试验田的面积Sc+S.n=6+30=36(m2） 16.【详解】(1)解：：以AP为折痕折叠△ABC,点C恰好落在AB边上C处， .CP=CP,∠C=∠AC'P=90°=∠BCP,AC=AC BC=AB-AC=5-3=2, 在直角三角形1BC中，由勾股定理得：BC=VAB-AC=V5F-3=4 设BP=x,则CP=4-x, 在直角三角形BC'P中，由勾股定理得：CB2+C"P2=BP2, ∴.22+(4-x2=x2 解得：5 2 1=51=5 5 212(秒). 答：在点P运动的过程中，以AP为折痕折叠△ABC,点C恰好落在AB边上C处时t的值 为2 (2) B 解：当AP=BP时，设AP=BP=x,则CP=4-x, 在直角三角形APC中，由勾股定理得：AP2=AC2+CP2, x2=32+(4-x)2 25 解得：x=8, 5÷1= i.t= 25 8 8(秒) C P 当AB=BP时，BP=AB=5, t=5÷1=5(秒). C 当AB=AP时，AP=AB=5, 在直角三角形ACP中，由勾股定理得： CP=VAP2-AC2=V52-32=4 ∴.BP=BC+CP=4+4=8, t=8÷1=8(秒). 25 t的值为8或5或g 17.【详解】(1)解：如图，过B作BD⊥CE于D, M B ----D 由题意得：∠CDB=90°，BD=AE=15米，DE=AB=1.5米，BC=25米， :cD=Vc-D=2-=20c米)， .CE=CD+DE=20+1.5=21.5(米)； (2)解：设风筝沿CE方向下降12米至点M,连接BM, .CM=12米， .DM=CD-CM=20-12=8(米)， :BM=DM2+BD=V8+1S=17(米)， .BC-BM=25-17=8(米)， .他应该往回收线8米， 18.(1)海港C会受台风影响.理由： 已知AC=300km,BC=400km,AB=500km, 满足3002+4002=500， 根据勾股定理逆定理，可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 过点C作CD⊥AB于D, C B D 利用直角三角形的面积公式：ScAC-BC= AB.CD】 代入数值计算：300×400=500×CD. 解得CD=240km ,台风影响范围是250km以内，240<250， 即点C到台风移动路线AB的最短距离小于台风影响半径， ∴，海港C会受台风影响. (2)解：设台风中心在AB上的E点时，CE=250km(海港C刚进入受影响状态)，移 动到F点时，CF=250km(海港C刚脱离受影响状态)， 则EF就是台风影响海港时台风中心移动的路程. 在RIACDE中，由勾股定理得： DE=VCE2-CD2=V2502-2402=70km 由等腰三角形三线合一(CE=CF,CD⊥EF),可得EF=2DE=140km. 己知台风速度为20km/h 因此影响持续时间为：1-0 20 7(h) 19.【详解】(1)解：由题意知， MN=VAM2+BN2=+3=10 (2)证明：如图3，将△CNB放置到△CPA的位置 P=CW),连接MP。 则旋转角∠PCN=∠ACB=90° ∠MCW=45o .∠MCP=∠PCN-∠MCN=45o :△ABC是等腰直角三角形， .∠B=∠CAB=45° 由旋转得BN=AP,∠B=∠PAC=45° .∠PAM=∠CAB+∠PAC=45°+45°=90° .MP2 AM2+AP2=AM2+BN2 在aMCP和△MCN中， CP=CN ∠MCP=∠MCN CM=CM .AMCP≌AMCN(SAS) ∴.MP=MN, ∴.MN2=MP2=AM2+BW2 ∴点M,N是线段AB的“勾股分割点”. (3)解：△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=∠CAB=45° .∠CBW=180°-∠ABC=135° 如图，将△CBN绕点C逆时针旋转9O°得到△CAE,连接ME, A M B 则∠ECN=90°，∠CAE=∠CBN=I35°，AE=BN,CE=CW, .∠EAM=∠CAE-∠CAB=135°-45°=90° .EM2=AE2+AM2=BN2+AM2 :∠MCN=45°，∠ECN=90°， .∠MCE=∠ECN-∠MCN=45°， 在△MCE和△MCN中， CE=CN ∠MCE=∠MCN CM=CM .△MCE≌aMCW(SAS) ∴.ME=MN=BM+BN. AC=BC=V2∠ACB=90° 4B=VAC+BC+(=2. .ME2=AM2+BN2 .(BM+BN)=(AB-BM)+BN2 ∴.(BM+1)2=(2-BM)2+12 解得BM=2 3· 20.【详解】(1)①解：：AD⊥AC, ∴.∠CAD=90° .∠ADC=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ACB, .AD=AC=6」 CD=AD+4C-6-62 :BC=CD-DE=62-4W2=2V2 ∠EAF=90°，AE=AF, :.∠CAF=∠EAF-∠CAE=90°-∠CAE=∠DAC-∠CAE=∠DAE, 在△ACF和△ADE中， AC=AD ∠CAF=∠DAE AF=AE △ACF≌△ADE(SAS) .∠ACF=∠ADE=45°. .∠ECF=∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°： 如图，过点A作AG⊥BC于点G, D GE .∠AGE=90°， ∠CMD=90°，AD=AC=6CD=6N2 .AG是△ACD中CD边上的中线， 4G=CD-x62=35.cc=c0=x65=35 :GE-GC-EC-3-2 :.4E=AG2+GE=32+(2=25; ②解：ED2+EC2=2EAP】 理由：：∠ACB=45°，AD⊥AC. .∠CAD=90°. .∠ADC=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ACB, .AD=AC. 如图，过点A作AG⊥BC于点G, F B D GE .∠AGE=90° :'AE2=AG2+GE2, :∠CAD=90°，AD=AC, :AG是△ACD中CD边上的中线， 4GcD=DG=G。 :GE-GC-EC-CD-EC-(ED+EC)-EC-(ED-EC), ·4g=c-eoj+w-BaD+qj+Bam-a网-o+c 即ED2+EC2=2EA: (2)解：(1)中②的结论仍然成立. 证明：：∠ACB=45°，AD⊥AC. ∴.∠CAD=90° .∠ADC=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ACB, .AD=AC. ·∠EAF=90°，AE=AF :.∠CAF=∠EAF+∠CAE=90°+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE. 在△ACF和△ADE中， AC=AD ∠CAF=∠DAE AF=AE 、△ACF≌AADE(SAS) .∠ACF=∠ADE=45°，FC=ED, .∠DCF=∠ACD+∠ACF=45°+45°=90° ∠FCE=180°-∠DCF=90°， .'FC2+EC2=EF2, .ED2+EC2=EF2 :∠EAF=90°，AE=AF, '.EF2=AE2+AF2=AE2+AE2=2EA, :ED2+EC2=2EA2: (3)解：如图，以B为顶点BD为一边在BD的下方作∠DBH=∠MAC,在BD的下方截 取BH=AC,过A作AP⊥BH交直线BH于点P,连接DH、AH, B 在△BDH和△AMC中， 「BH=AC ∠DBH=∠MAC BD=AM △BDH≌△AMC(SAS) .DH=MC .AD+CM=AD+DH≥AH, 当A、D、H共线时，AD+CM最小，最小值为线段AH的长， ,∠ACB=45° .∠ABH=∠ABC+∠DBH=∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=135°， ∴.∠ABP=180°-∠ABH=45°， ,∠APB=90° ∠PAB=90°-∠ABP=45°=∠ABP, .BP=AP, :4C=6.AB=10N2 .BH=AC=6, 设AP=BP=x, 102-4B-P+PBx .x=10. .AP=BP=10. .PH=PB+BH=10+6=16, :∠APH=90°， AH=PA2+PH2-10+16=2/89 :D+CM的最小值为 2√89