第3章勾 股 定 理　同步练习　2025-2026新版苏科版（2024）数学八年级上册

第3章 勾 股 定 理 3.1勾股定理的探究 第 1 课时 勾股定理的发现 目标要求：①理解勾股定理的内容 ② 运用勾股定理解决相关问题的过程中，体会数形结合和方程思想 学科网（北京）股份有限公司 基础过关提优 1. (2023·天津)如图,在△ABC 中,分别以A，C 两点为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于 M，N两点，直线 MN分别与边BC，AC 相交于D，E 两点，连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长.若b+c=32,a=8,则Rt△ABC 的面积是 ( ) A. 60 B. 48 C. 36 D. 24 3. (教材 P89 练习 2 变式)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,四边形 ABED、四边形BCMH 和四边形AMPQ 都是正方形.若△ABC 的面积为 3,正方形 ABED 的面积 为 13,则 正 方 形 AMPQ 的 面 积为 . 4. 亮点原创·如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线 DE 分别交AC,AB 于D,E 两点.若 AB=15,△BCD 的周长为21,则△ABC 的面积为 . 5. (2023·湖北随州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D 为AC 上一点.若 BD 是∠ABC 的平分线,则 AD 的长为 。 6. (2025·江苏无锡期末)如图,在△ABC中,AB>AC,AD 是边 BC 上的高,将△ADC 沿 AD 所在的直线翻折,使点 C 落在边 BC 上的点 E 处.求证: BC·BE. 能力拓展提优 7.新素养 运算能力如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,D 是线段 BC 上的动点(不含端点 B，C).若线段 AD 的长为正整数，则点 D 共有 ( ) A. 5 个 B. 4个 C. 3 个 D. 2个 8. 如图,AB,BC,CD,DE 是四根长度均为5cm 的火柴棒,A,C,E 三点共线.若AC=6 cm,BC⊥CD,则CE 的长是( ) A. 6 cm B. 7 cm C.8cm D. 9 cm 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9. 如图,在△ABC 中,CE 平分∠ACB,CF平分∠ACD,且 EF∥BC,交 AC 于点M.若B，C，D三点在一条直线上，且CM=7,则 10.新素养推理能力(2025 ·江 苏 宿 迁 模拟)如图,∠MON =90°.在△ABC 中,AC=BC=13,AB=10,△ABC 的顶点A,B 分别在OM,ON 上,当点 B 在边ON 上运动时，点 A 也同时在 OM 上运动，△ABC 的形状始终保持不变.在运动的过程中，点C 到点 O 的最小距离为 . 11.(2025·江苏扬州模拟)如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D 为边AB 上一点,连接AE.求证: (1) △ACE≌△BCD; 延伸探究提优 12.*(2023·山东日照)已知直角三角形的三边长a,b,c满足c>a>b,分别以a,b，c为边长作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内部如图所示.设三个正方形无重叠部分的面积为 S₁，均重叠部分的面积为 S₂，则 ( ) D. S₁,S₂的大小无法确定 13.如图,A,B 是公路l(l 为东西走向)同旁的两个村庄，A村到公路l 的距离AC=2k m,B 村到公路l 的距离BD=4k m,CD=8km. (1)求A，B两村之间的距离； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站 M，要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小，并求距离之和的最小值； (3)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点 P 的位置(保留作图痕迹，并简要写明作法). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第 2 课时 勾股定理的证明 目标要求：①了解勾股定理的不同证明方法 ②会用勾股定理解决相关问题 学科网（北京）股份有限公司 9 基础过关提优 1.我们已经学会运用图形验证勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 ( ) A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.方程思想 2. 已知在△ABC 中,AB=13,AC=20,边 BC上的高为12,则△ABC 的面积为 ( ) A. 120 或 56 B. 126 C. 126 或66 D. 56 3.新趋势 传统文化(2023·江苏扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由 4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为 c.若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为 . 4.(2025·江苏盐城模拟)如图，在长方形纸片ABCD 中,AD=4 cm,把纸片沿直线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处,AE 交DC 于点 O.若OA=5cm ,则AB 的长为 cm. 5. (教材 P91 习题 4 变式)(2025·江苏无锡模拟)关于勾股定理的证明有一种简洁方法叫作“常春证法”，将两个全等的△ABC和△DEF 按如图所示的方式摆放，且∠ACB=∠DFE=90°,BC=a,AC=b,AB=c,点 F 落在AC 上,点 C 与点 E 重合,斜边 AB 与斜边 DE 交于点 M,连接AD,BD. (1) ∠AMC= °,四边形 ACBD的面积为 (用含a，b的代数式表示)； (2)请利用“常春图”证明勾股定理. 能力拓展提优 6.已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形，则下列结论正确的是() 7.*(2025·江苏镇江期末)如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 成一个大正方形.若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为 S₁，小正方形面积为 S₂，则 可以表示为 ( ) 8.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 MNKT、正方形 EFGH 和正方形ABCD 的面积分别为S₁,S₂,S₃.若已知图中阴影部分的面积，且不分别求 S₁，S₂，S₃的值，则下列能求出的值为 () 9.在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理.如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入长方形内得到的. 已知∠BAC = 90°,AB =3,AC=4,且 D,E,F,G,H,I六点都在长方形 KLMJ 的边上,那么长方形 KLMJ 的面积为 . 10.新素养运算能力图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风 车 的 周长是 . 11. 如图,在四边形 ABCD 中,BD⊥CD,AE⊥BD,且△ABE≌△BCD.求证: 延伸探究提优 12. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2，其面积记为S₁,以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S₂……按照此规律继续下去，则S₉的值为 ( ) )°B. ()° )⁷ C. ( A. ( 13. 已 知在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 3,BC = 4,过点 B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.2 勾股定理的逆定理 目标要求：①了解勾股定理逆定理的内容 ② 掌握直角三角形的判断方法 ③ 理解勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 ④ 熟悉常见的勾股数，并会判断一组数是否是勾股数 学科网（北京）股份有限公司 基础过关提优 1.若一个三角形的三边长分别是 10，24，26，则该三角形最长边上的中线长为 ( ) A. 5 B. 12 C. 13 D. 15 2. (教材 P96 习题1变式)(2025·江苏盐城模拟)已知 M，N是线段AB 上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点 A 为圆心,AN 的长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 的长为半径画弧，两弧交于点 C，连接AC,BC,则△ABC一定是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.新素养 运算能力如图，在由边长为 1 的正方形组成的网格图中有 AB，CD，EF，GH 四条线段(各端点均在格点上)，其中能构成一个直角三角形三边的三条线段是 . 4.亮点原创·如图所示△ABD 是某小区一块空地，该小区物业准备在△ABC 范围内种花,其余地方种草.若∠BAD=90°,AC=3 m,BC=4m ,AD=12 m,DB=13 m,则种草的面积为 m². 5. 已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C 所对边的长 分别为a,b,c,且 求证：△ABC 是直角三角形. 能力拓展提优 6. 已知在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对边的长分别为a，b，c.有下列结论：①若∠A :∠B:∠C=3: 4:5,则△ABC 是直角三角形；②若 ,则△ABC是直角三角形,且∠B=90°;③ 若 a² : ,则△ABC 是直角三角形;④ 若∠A-∠B=∠C,则△ABC是直角三角形.其中正确的是 ( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 7.(2023·山东济宁)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，A,B,C,D,E 五点均在格点上,线段AB,CD 交于点 F.若∠CFB=α,则∠ABE 的度数为 ( ) A. 180°-α B.180°-2α C. 90°+α 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8. (亮点原创·已知在△ABC 中,AC=12,AB=15,BC =9,E,F 两点分别在边AB,AC 上,连接 EF,过点 B 作 BD∥EF.若∠EFC=120°,则∠CBD 的度数为 . 9. (2025·江苏苏州模拟)如图,在△ABC中,直线 EF,MN 分别为边AB,AC 的垂直平分线,交 BC 于 F,N 两点,连接AF,AN.若 BF = 4, FN = 3, CN = 5,则S△ABc= . 10.*如图，在5×5 的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中，从格点 A，B，C，D 四点中任取三点构成一个三角形，其中恰好是直角三角形的有 个. 11. (2025·江苏扬州模拟)已知△ABC 的三边长分别是a，b，c，且 2n, (n 为大于1的正整数). (1) 判断△ABC 的形状; (2)若以b 为直径的半圆面积为 2π，求△ABC 的面积; (3)若以a，b为直径的半圆面积分别为p，q，求以 c 为直径的半圆面积(用含 p，q的代数式表示). 延伸探究提优 12. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内部一点,且 PB=1,PC=2,PA=3,则∠BPC 的度数为( ) A. 135° B. 145° C. 155° D. 165° 13. 已 知在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB=BC=4,平面内有一点 D,连接CD,AD.若CD=2,AD=6,则∠BCD的度数为 . 14.新趋势 推导探究如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD ⊥AB,设 AC =b,BC=a,AB=c,CD=h. (1) 求证: (2)求证:a+b<c+h; (3) 判断以a+b,h,c+h为三边长的三角形的形状，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.3勾股定理的简单应用 目标要求：①能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题 ② 能构造直角三角形解决实际问题 学科网（北京）股份有限公司 基础过关提优 1.新素养 运算能力如图，将长为 8 cm 的橡皮筋放置在水平面上，固定两端 A 和B，然后把中点 C 垂直向上拉升 3 cm 至点D，则橡皮筋被拉长了 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 4 cm D. 6 cm 2.(教材 P99 练习 2 变式)如图,鱼竿 AC 的长为10 m，露在水面上的鱼线 BC 的长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 转动到 AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'的长为8 m,则B,B'两点之间的距离为 ( ) A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 3.(2023·山东东营)一艘船由 A 港出发沿北偏东 60°方向航行30 km 至 B 港,然后再沿北偏西 30°方向航行 40 km 至 C 港,则A，C 两港之间的距离为 km. 4.在一张长为11 cm、宽为5cm 的长方形纸片上，放置一个正三棱柱的纸盒(如图)，它的侧棱平行且大于纸片的宽 AD，它的底面是边长为1 cm 的等边三角形，则一只蚂蚁从点 A 处爬到点 C 处的最短路程是 cm. 5.如图，点A 是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站 B 或 C 处乘车前往，且AB=BC.因市政建设，点C到点 A 段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的 H 处修建了一临时车站(点H 在线段 BC 上),由点 H 处亦可直达点 A 处,且AC=1 km,AH=0.8km,CH=0.6km. (1)判断△ACH 的形状，并说明理由； (2) 求路线 AB 的长. 能力拓展提优 6.*如图，将一根长为 24 cm的筷子，置于底面圆直径为 5cm 、高为 12 cm 的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度为 h cm，则h 的取值范围为 ( ) A. 12≤h≤19 B. 12≤h≤13 C. 11≤h≤12 D. 5≤h≤12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7.传说古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为 m 的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为 n 的直角三角形，则这个直角三角形的面积(用含 m，n的代数式表示)为 ( ) 8.如图①是传统手工磨豆的设备，根据它的原理设计了如图②所示的机械设备，磨盘半径OM=20 cm,把手 MQ=15 cm,O,M,Q 三点在同一条直线上，用长为135 cm的连杆将点 Q 与动力装置 P 相连(∠PQM 的度数可变)，点P 在轨道 AB 上来回滑动并带动磨盘绕点 O 转动,OA⊥AB,OA=80 cm.若磨盘转动一周，则点 P 在轨道 AB 上滑过的路径长为 ( ) A. 90 cm B. 150 cm C. 180 cm D. 70πcm 9.亮点原创·如图，正方形ABCD 的边长为3,E,F 分别是边 AB,BC 上的点,连接DE,DF,EF,且∠EDF=45°,将△DAE绕点 D 逆时针旋转 90°,得到△DCM.若BF=1.5,则CM 的长为 . 10. 新素养 几何直观如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5cm ,BC=3cm,点 P 从点 A 出发,以 2cm /s的速度沿折线 A→C→B→A 运动.设运动的时间为 t s(t>0). (1) 若点 P 在AC 上,且满足 PA=PB,求此时t 的值； (2)若点 P 恰好在∠BAC 的平分线上,求此时t 的值. 延伸探究提优 11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC>BC,分别以△ABC 的三边为边向外作正方形ABHL、正方形 ACDE 和正方形 BCFG.连接 DF,过点 C 作 AB 的垂线CJ,垂足为 J,分别交 DF,LH 于I,K 两点.若 CI=5,CJ =4,则长方形AJKL 的面积是 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专项提优3 勾股定理中的思想方法 学科网（北京）股份有限公司 类型 方程思想 1.新素养 运算能力 若直角三角形中一直角边的长为12，另两边长为连续的奇数，则该直角三角形的周长为 ( ) A. 56 B. 84 C. 90 D. 120 2.(2025·江苏徐州期末)如图，高速公路上有相距10 km的A,B 两点,C,D 为两村庄,且 DA=4 km,CB=6 km,DA⊥AB于点A,CB⊥AB 于点 B.若要在 AB 上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E 站的距离相等，则EA 的长是 ( ) A. 4k m B. 5k m C. 6 km D. 7 km 3. 如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=6cm,BC=10 cm,点 D 在 AB 上,且 BD=CD,则△BDC 的面积为 cm². 4. (2024·江苏常州)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D 是边 AC的中点,E 是边 BC 上一点,连接 BD,DE.将△CDE 沿 DE 翻折,点 C 落在 BD上的点 F 处,则CE 的长为 . 5.如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道.若滑道AC 与AE 一样长，滑梯 的高 BC=5 m,BE=1 m,求滑道 AC的长. 类型2 转化思想 6.新素养 几何直观如图，分别以 Rt△ABC的两条直角边为一边向外作等腰直角三角形.若图中阴影部分的面积为 162，则AB 的长为 . 7. 如图,在△ABC 中,AB = 6,AC = 9,AD⊥BC 于点D,M 为AD 上任意一点,则 8. (2025·江苏苏州模拟)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB,AC,BC 为边在 AB 的同侧作正方形ABEF、正方形 ACPQ 和正方形 BCMN.若四块阴影部分的面积分别为 S₁,S₂,S₃,S₄,则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型3分类讨论思想 9.已知直角三角形的两边长分别为6，8，则该直角三角形斜边上的中线长为 . 10.* (2025·江苏无锡期末)如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=12,AB=9,DE⊥AC P 是直线AC 上一动点,把△CDP 沿 DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处,则 CP 的长是 . 11. 已知在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,且BD:CD: AD=1: 3: 4. (1) 如图①,求证:△ABC 是等腰三角形； (2) 如图②,S△ABC=30,动点 M 从点 B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 BA 向终点 A 运动.设点 M 运动的时间为 t s.若 E 是边 AC 的中点,连接 DE,EM,则在点 M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形?若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. 12.“新素养 推理能力 已知在长方形 ABCD中,AB=6,AD=8,E 为边 AD 上一点,将△ABE 沿 BE 折叠后得到△FBE. (1)如图①,若 E 为 AD 的中点,延长BF 交边CD 于点G. ① 求证:DG=FG, ② 求 FG 的长; (2)如图②,若 E 为边AD 上一动点,连接 FD，△DEF 是否可以为直角三角形?若可以，求出 AE 的长；若不可以，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 高频考点培优 学科网（北京）股份有限公司 考点 勾股定理 1.新素养 几何直观(2025·江苏苏州模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=4,E 为边AB 上一点,AE=3,D 为边 BC 的中点,连接 AD,F 为线段AD 上的动点,连接 FE,FB,则 FE+FB 的最小值为 . 2.如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a 和b，斜边长为c，图②是一个以c 为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图，并指出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理； (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼成的示意图(无需证明). 考点2勾股定理的逆定理 3.亮点原创·如图，网格中每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D,E 五点都在格点上,则∠AED—∠ACB 的度数为 ( ) E A. 45° B. 40° C. 30° D. 25° 4. 如图,在△ABC 中,AC=21,BC=13,D是边AC上一点,BD=12,AD=16. (1)求证:BD⊥AC; (2)若 E 是边 AB 上的点,求线段 DE 的长的最小值. 考点 勾股定理的简单应用 5.(2025·江苏南京期末)如图，学校有一个长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的路长为 m. 6. (2025·江苏苏州模拟)如图,在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=15.将△ABC沿射线 BM 折叠，使点 A 与边 BC 上的点D 重合，E为射线BM 上一个动点，连接DE,CE,当△CDE 的周长最小时,CE 的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学霸拓展园地 学科网（北京）股份有限公司 1.已知小明用31个相同的结把一根绳子分成等长的 30 段，他一只手同时握住第1个结和第 31 个结，小红拉住第 6 个结.若拉紧绳子后得到一个直角三角形，则小东拉的绳结可以是 ( ) A. 第 20 个 B. 第 18 个 C. 第 17 个 D. 第 16 个 2. 如图,在 Rt△ABC 和 Rt△BDE 中,∠ABC=∠BDE=90°,A 是边 DE 的中点.若AB=BC,DB=DE=2,连接CE,则CE 的长为 ( ) C. 4 3.如图是勾股树衍生图案，它是由若干个正方形和直角三角形构成的，S₁，S₂，S₃，S₄分别表示其对应正方形的面积.若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是 64，9，则 的值为 . 4. 如图,线段 AB=10,D 是线段 AB 上的一个动点(不与点 A 重合)，在AB 的上方作以 AD 为 腰 的 等 腰 三 角 形 ACD,且∠CAD=120°,过点 D 作射线 DP⊥CD,G是 DP 上的一个动点(不与点 D 重合)，连接CG,O 为 CG 的中点,连接OB.若线段OB 的长的最小值为 m，则 5.如图,AB=1,以 AB 为斜边作直角三角形ABC，以△ABC 的各边为边分别向外作正方形,EM⊥KH 于点 M,GN⊥KH于点N，则图中阴影部分面积之和的最大值为 . 6.新素养 推理能力如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=20,BC=15,D 为边AC 上的动点,点 D 从点 C 出发,沿 CA向点 A 运动，当运动到点 A 时停止.若设点 D 运动的时间为 t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度. (1) 当t=2时,求CD,AD 的长; (2)在点 D 的运动过程中,△CBD 能否为直角三角形?若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由； (3)当 t 为何值时,△CBD 是等腰三角形? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合与实践 勾股定理与最短路径问题 【课本再现】 如图①，有一个圆柱，它的高为12 cm，底面圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点 A 相对的点B 处的食物，这只蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路径长为多少? 【方法探究】 (1)对于立体图形中求最短路径长问题，应先把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图②，在圆柱的侧面展开图中，A，B两点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出这只蚂蚁爬行的最短路径长为 cm; 【方法应用】 (2)如图③，直四棱柱的上、下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm.在其侧面从点 E开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点G 停止，求彩条的最短长度； (3)如图④，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35cm，杯底厚1cm.在玻璃杯外壁距杯口2cm 的点 P 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁底部点 Q 处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求这只蚂蚁爬行的最短路径长(玻璃杯的壁厚忽略不计). 学科网（北京）股份有限公司 主题新情境 探寻“勾股数” 勾股定理是一个基本的几何定理.《周髀算经》中记载：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，即“勾三股四弦五”的由来.故中国古代称直角三角形为勾股形，勾股定理也由此命名. 与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a，b，c)，称为勾股数.《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数,显然,这组数的整数倍,如:(6,8,10),(9,12,15),(12,16,20)等都是勾股数.当然,勾股数远远不止这些,如:(5,12,13),(8,15,17)等也都是勾股数.怎样探索勾股数呢?即怎样一组正整数(a，b，c)才能满足关系式 设(a，b，c)为一组勾股数，观察下表回答问题： 表 1 表 2a b C 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 a b C 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 (1)根据表1的规律写出勾股数:(11, , ),观察可得:表1中b、c与( 之间的关系是 ； (2)根据表2的规律写出勾股数:(16, , ),观察可得:表2中b、c与( 之间的关系是 ； (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗(请用勾股定理的形式直接写出一种结果即可，例如： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.1勾股定理的探究第 3 章 勾 股 定 理 第1课时 勾股定理的发现 1. D 2. A 3. 25 4. 54 5. 5 6. 由折叠的性质,得 ED=CD.又 AD 是边 BC 上的高,所以∠ADB=∠ADC=90°.在 Rt△ABD和Rt△ACD 中,由勾股定理,得 所以 即. 又(BD+CD)·(BD-CD)=BD²-CD²,所以 ·(BD-ED)=BC·BE. 7. C 8. C 9. 196 10. 7 11. (1) 因为△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD = 90°,所以 AC = BC,CE = CD, ∠ECD - ∠ACD = ∠ACB -∠ACD,即∠ACE=∠BCD. 所以△ACE≌△BCD(SAS). (2)因为△ACB 是等腰直角三角形，所以∠B = ∠BAC = 45°. 由 (1), 得 △ACE ≌△BCD,所以 AE = BD,∠CAE = ∠B =45°.所以∠DAE=∠CAE+∠BAC=90°,即△ADE 是直角三角形.由勾股定理，得 AD²+ 所以 在等腰直角三角形 ECD 中,CE=CD,由勾股定理,得 所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12. C 易错警示。 解决这类问题的关键是利用正方形的性质和勾股定理等知识用字母表示出各部分的面积.不能正确表示各部分的面积是造成错误的常见原因. 13. (1) 如图①,过点 A 作AE∥l,交 BD 于点 E,连接AB.因为AC⊥l,BD⊥l,所以AE⊥BD,四边形 ACDE 是长方形. 因为 AC= 2k m,BD= 4k m,CD = 8k m,所以 DE = AC =2km,AE=CD=8km.所以BE=BD-DE=2k m.在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 AB= 则 A，B两村之间的距离是 (2)如图②，作点 A 关于直线l 的对称点A′，连接A'B交直线l 于点 M，则M 即为所求的点，且距离之和的最小值即为线段 A'B的长.过点A'作 A'F⊥BD,交 BD 的延长线于点 F,则BF=BD+DF=BD+A'C=BD+AC=4+2=6(km),A'F=CD=8k m.在 Rt△A'BF 中,由勾股定理，得 则距离之和的最小值为 10 km. (3)如图③,连接 AB,作 AB 的垂直平分线GH,交直线 l 于点 P ,连接 PA,PB,则 PA=PB.所以点 P 即为所作. 第 2 课时 勾股定理的证明 1. C 2. C 3. 96 4. 8 (2) 由(1),得 b²,DE=AB=c.因为 所以 即 6. C 7. C 易错警示 解决这类问题的关键是掌握勾股定理和完全平方公式，不能利用图形的面积关系推导公式是造成错误的原因. 8. D解析：设阴影部分的面积为a，每个直角三角形的面积为x，则 4x 所以 对于A, .因为 S₁,x 未知,所以 不能求出.故A 不符合题意；对于 B， 8x.同理,得 不能求出.故B不符合题意；对于C, 同理，得 不能求出.故C 不符合题意；对于D, 因为a已知，所以 能求出.故D 符合题意， 9. 110 10. 76 11. 连接 AC.因为△ABE≌△BCD,所以 AB=BC,AE=BD,BE=CD,∠BAE=∠CBD.又AE⊥BD,所以∠ABE +∠BAE = 90°,即∠ABE+∠CBD=90°.所以∠ABC=90°.又BD⊥CD,所以 AE∥CD,即△ACD 的底边CD 上 的高 等 于 DE 的长.所以S△ACD= 又 所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 亮点给力 提优课时作业本 |数学八年级 上册 即 所以 ，即 12. A 解析：如图，因为△CDE 为等腰直角三角形，所以 .又 所以 即 2S₂.观察并计算，发现规律：: 所以 (n为正整数).当n=9时, 13. 3.6 或 4.32 或 4.8 解析:在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,由勾股定理,得 ,所以 AC=5.设边 AC上的高为 BD，则 AC·BD.所以 当过点B 的直线将△ABC 分割成两个三角形，且其中只有一个是等腰三角形时，分类讨论如下：① 如图 ①,若 AP = AB = 3,则S△ABP = ②如图②,若BP=AB=3,则AP=2AD.在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 所以AD=1.8.所以AP=2AD=3.6.所以 4.32;③ 如图③,若 CP=BC=4,则 S△BCP = 综上，这个等腰三角形的面积为 3.6或 4.32 或 4.8. 3.2勾股定理的逆定理 1. C 2. B 3. AB,EF,GH 4. 24 5.因为 所以 ，即 所以 又a,b,c 是△ABC 的三边长,所以△ABC 是直角三角形. 6. B 7. C 8. 30°或 150° 9. 24 10. 3 ·易错警示· 解决这类问题的关键是先利用勾股定理求出各条线段的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断.造成错误的原因是没有找准三角形的最长边. 11.(1)△ABC 是直角三角形.理由如下:因为△ABC 的三边长分别是a,b,c,且 所以 即 所以△ABC 是直角三角形,且∠C=90°. (2)因为以 b 为直径的半圆面积为 2π，所以 解得b=4.又b=2n,所以2n=4,解得n=2.又 所以a=3.由(1),得∠C=90°,所以△ABC 的面积为 (3)因为以a，b为直径的半圆面积分别为p(q，所以 由(1),得 所以以c为直径的半圆面积为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12. A 解析:因为 AC=BC,∠ACB=90°,所以将△ACP 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°,得到△BCD(如图),连接 PD.由旋转的性质,得DC=PC,DB=PA,∠PCD=∠ACB=90°.所以△PCD是等腰直角三角形,即∠CPD=45°.又PC= 2, PA = 3, 所 以 DC = 2, DB = 3. 在Rt△PCD中,由勾股定理,得 8. 又 PB = 1,所以. 即△PBD 是直角三角形,且∠DPB = 90°. 所以∠BPC=∠DPB+∠CPD=135°. 13. 45°或135° 解析:由题意,得△ABC 是等腰直角三角形， 所以∠ACB = 45°. 又 CD = 2,AD = 6,所以 ,即∠ACD=90°.当 B,D 两点在边 AC 的 同侧时,∠BCD =∠ACD 一∠ACB=45°;当 B,D 两点在边 AC 的两侧时,∠BCD=∠ACD+∠ACB=135°.综上,∠BCD的度数为 45°或 135°. 14. (1) 因为∠ACB=90°,CD⊥AB,所以S△ABC= 因为AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,所以 ab= ch,即 .在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 所以 即 b²)h².所以 即 所以 (2) 由(1),得 所以 所以 2ch.又( 所以( 又a+b>0,c+h>0,所以a+b<c+h. (3)以a+b，h，c+h为三边长的三角形是直角三角形.理由如下：由(1)，得 ch,所以 所以 所以以a+b,h,c+h为三边长的三角形是直角三角形. 3.3勾股定理的简单应用 1. A 2. B 3. 50 4. 13 5.(1)△ACH 是直角三角形.理由如下：因为CH=0.6 km,AH=0.8km,AC=1 km,所以 . 所以∠AHC =90°,△ACH 是直角三角形. (2) 设 AB=BC=x km.又 CH=0.6 km,则BH=(x-0.6) km.由(1),得∠AHC=90°.又∠AHC+∠AHB=180°,所以∠AHB=180°-∠AHC=90°.在Rt△AHB 中,AH=0.8k m,由勾股定理，得 所以(x- 解得 则路线 AB 的长为 km. 6. C ·易错警示· 解决这类问题的关键是找出最值的情况，根据题目条件构造直角三角形，并运用勾股定理解决问题. 7. A 8. C 解析:连接OP.由题意,得∠A=90°,OQ=OM+MQ=35 cm,PQ=135 cm.又 PQ-OQ≤OP≤OQ+PQ,所以当点 O 在线段 PQ 上时，OP 的长取最小值,且最小值为 PQ-OQ=100 cm;当点 Q 在线段OP 上时，OP 的长取最大值，且最大值为 OQ+PQ=170 cm.分类讨论如下:① 当OP=100 cm 时,在 Rt△OAP 中,OA =80 cm,由勾股定理,得 60 cm;② 当 OP =170 cm 时,在 Rt△OAP 中,OA=80 cm,由勾股定理,得 150 cm.不妨假设磨盘从 OP 的长最小时开始转动，则磨盘每转动一周，AP 的长从最小值到最 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 大值再到最小值.所以磨盘每转动一周，点P 在轨道AB 上滑过的路径长为((150-60)×2=180(cm). 9.1 解析：因为四边形 ABCD 是边长为3 的正方形, 所以 AB = BC = 3,∠A = ∠ADC =∠ABC=∠BCD=90°.因为∠EDF=45°,所以∠ADE+∠FDC=45°. 由题意,得△DCM≌△DAE,所以∠DCM=∠A =90°,∠CDM=∠ADE,DM=DE,CM=AE.所以∠DCM+∠BCD=180°,即 M,C,F,B 四点共线.因为∠MDF = ∠FDC + ∠CDM = ∠FDC +∠ADE=45°,所以∠EDF=∠MDF.又 DF=DF,所以△EDF≌△MDF(SAS).所以 EF=MF.设CM=x,则 AE=x.所以 BE=AB-AE=3-x.又BF=1.5,所以CF=BC-BF=1.5,即 MF=CF+CM=1.5+x.所以 EF=1.5+x.在 Rt△BEF 中,由勾股定理,得 所以( 解得x=1.则 CM 的长为1. 10. (1) 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3cm,由勾股定理,得 即AC=4 cm.由题意,得PB=PA=2t cm,且t≤2.则 PC = AC — PA = (4—2t) cm.在Rt△PCB 中,由勾股定理,得 PB²,所以( 解得 所以当 时,点P 在AC上,且PA=PB. (2)当点 P 在∠BAC 的平分线上时,点 P 必在边 BC 上,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E.又∠C=90°,所以AC⊥PC.所以PE=PC.由(1),得AC=4 cm,且S△ABC=S△APC+S△APB,所以 即AC·BC=(AC+AB)·PC. 所以 PC = 又 PC=(2t-4) cm,且2≤ 所以 解得 所以当t= 时,点 P 在∠BAC 的平分线上. 11. 80 解析:由题意,得 AL=AB,AC= DC,BC=FC,∠ACB=∠ABH=∠L=∠AJK=∠AJC=∠BJC=∠ACD=∠BCF=90°.又∠ACB+∠ACD+∠DCF +∠BCF =360°,所以∠DCF=90°,即∠DCF=∠ACB,且 D,C, B 三 点 共 线. 所 以 △DCF ≌ △ACB(SAS). 所以 DF = AB,∠CDF =∠CAB,∠CFD = ∠CBA. 又 ∠ACJ + ∠BCJ = 90°,∠ACJ+∠CAB=90°,所以∠BCJ =∠CAB,即∠BCJ =∠CDF.又∠BCJ =∠DCI,所以∠DCI=∠CDF,即 DI=CI.同理,得 IF=CI.所以 DF=2CI.又 CI=5,所以 IF=5,DF=10,即 AL=AB=DF=10.过点 F 作FM⊥CI,垂足为 M,则∠FMC=∠FMI=90°.所以∠MFC+∠MCF=90°.又∠MCF+∠BCF+∠JCB=180°,所以∠MCF+∠JCB=90°,即∠MFC=∠JCB.所以△MFC≌△JCB(AAS).所以 MF=JC,MC=JB.又JC=4,所以 MF =4.在 Rt△IMF 中,由勾股定理,得 所以 解得IM=3,即MC=CI-IM=2.所以JB=2.所以 AJ=AB-JB=8.又四边形AJKL 是长方形,所以四边形 AJKL 的面积是 AL·AJ=80. 专项提优3 勾股定理中的思想方法 1. B 2. C 3. 4. 5. 设滑道AC 的长为x m.由题意,得 AE=AC=x m,∠ABC=90°.又 BE =1 m,所以 AB=AE-BE=(x-1)m.在 Rt△ABC 中,BC=5m ，由勾股定理，得 所以 解得x=13.则滑道AC 的长为13 m. 6. 18 7. 45 8. 6 9. 4 或5 10. 10或 解析：因为 P 是直线AC 上一动点，所以有点 P 在点 E 的左侧或点 P 在点 E 的右 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 侧两种情况.分类讨论如下：如图①，当点 P 在点E 的左侧时.由折叠的性质，得PC=PH，DC=DH.在 Rt△ABC 中,AC=12,AB=9,由勾股定理，得 因为 所以CD=5,CE=4,即 DH=5.因为 DE⊥AC,所以由勾股定理,得 所以 EH=DE+DH=8.设CP=x,则PH=x,PE=x-4.在Rt△PHE 中,由勾股定理,得. EH²,所以 解得x=10.则CP=10;如图②,当点 P 在点 E 的右侧时.同理,得DH=CD=5,CE=4,DE=3.则 EH=DH-DE=2.设 PC=y,则 PE=CE-PC=4-y,PH=y.在 Rt△PHE 中,由勾股定理,得 所以 解得 则 综上，CP 的长是10或 易错警示。 解决这类问题的关键在于仔细审题，分类讨论.根据题目条件确定相关数据，通过勾股定理进行计算，从而解决问题.造成错误的原因是分类不全. 11. (1) 由题意,设 BD=x,CD=3x,AD=4x(x>0).因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得 又AB=BD+AD=5x,所以 AC=AB.所以△ABC 是等腰三角形. (2) △MDE 能成为等腰三角形. 由(1),得BD=x,CD=3x,AD=4x,∠ADC =90°,AC=AB=5x.因为S△ABC=30,所以 解得x=2.所以BD=2,CD=6,AD=8,AC=AB=10.又E 为边AC 的中点,CD⊥AB,所以 DE=CE=AE= 当点 M 在 BD 上,即 0≤t<2 时,∠EDM> 90°,△MDE 为钝角三角形，且DM≠DE,所以△MDE 不能成为等腰三角形,舍去;当 M,D 两点重合,即 t=2 时,△MDE不存在,舍去;当点 M 在 DA 上,即 2<t≤10时,DM=BM-BD=t-2.分类讨论如下:① 当DE=DM 时,5=t-2,解得t=7;② 当DE=EM 时,易得 M,A 两点重合.此时 t=10;③ 当 DM=EM 时,EM=t-2.如图,过点E 作EF⊥AD 于点F,则 4.所以 MF=DF-DM=6-t.在 Rt△DEF中，由勾股定理，得 在Rt△EMF 中,由勾股定理,得 EM²,所以 解得 t= .综上，当t 的值为7或 或10时,△MDE为等腰三角形. 12. (1) ① 连接 EG.因为四边形ABCD 是长方形,所以∠A=∠EDG=90°.由折叠的性质,得∠EFB=∠A =90°,EF=EA. 又∠EFG+∠EFB=180°,所以∠EFG=180°-∠EFB=90°.又 E 为 AD 的中点,所以 EA =ED,即EF = ED, 又 EG = EG, 所以 Rt△EDG ≌Rt△EFG(HL).所以 DG=FG. ②由(1)①,得 DG=FG.设 DG=FG=x.因为四边形ABCD 为长方形,AB=6,AD=8,所以 BC=AD=8,CD=AB=6,∠C=90°.所以CG=CD-DG=6-x.由折叠的性质,得BF=AB=6.所以 BG=BF+FG=6+x.在Rt△BCG 中,由勾股定理,得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 亮点给力 提优课时作业本 |数学八年级 上册BG²,所以 解得x= , 则 FG 的长为 (2) △DEF 可以为直角三角形.由(1)②,得BF=6,BC=8,所以点 F 不可能落在边CD上，即∠EDF<90°.所以分两种情况讨论：① 如图①,当∠EFD = 90°时,由(1)①,得∠EFB=90°,所以∠EFB+∠EFD=180°,即B,F,D 三点共线.由折叠的性质,得 EF=AE,BF=AB=6.在 Rt△ABD 中,AD=8,由勾股定理，得 所以DF=BD-BF=4.设AE=EF=y,则DE=AD-AE=8-y.在Rt△EFD 中,由勾股定理，得. 所以( 4²,解得 y=3. 所以 AE =3;② 如图②,当∠FED=90°时,易得AE=AB=6.综上,满足条件的AE 的长为3或6. 易错警示 解决这类问题的关键是根据轴对称的性质，找出折叠前后的不变量，并通过证明三角形全等得到其他相关数据，最终通过勾股定理列方程解决问题. 高频考点培优 1. 5 2.(1)如图①，这是一个直角梯形. (2)根据梯形的面积公式可知该梯形的面积 又该梯形的面积等于三个小直角三角形面积的和，所以 因为 所以 即 (3)能.答案不唯一，如图②，用4个题图①中的直角三角形拼成一个大正方形. 3. A 4. (1) 因为AC=21,AD=16,所以 CD=AC-AD= 5. 又 BC = 13,BD = 12,所以 BD² + 即 所以△BCD 是直角三角形,且∠BDC =90°,即BD⊥AC. (2) 由(1),得 BD⊥AC,所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中,AD=16,BD=12,由勾股定理,得 又 E 是边AB 上一点,所以当DE⊥AB 时,DE 的长最小,此时DE是△ADB 边AB上的高.因为 所以 9.6.则线段 DE 的长的最小值为9.6. 5. 4 6. 解析：由题意，得A，D 两点关于射线 BM 对称.如图,设 AC 与 BM 的交点为 E',连接AE,则BA=BD,AE=DE,∠BAE'=∠BDE'.因为AB=9,AC=12,BC=15,且 所以 ，即△ABC 为直角三角形，且∠BAC = 90°. 所以. ∠BAC=90°.又. 所以 所以 CD=BC-BD= BC-AB =6. 又 C△CDE = CD +DE+CE,所以当 DE+CE 的值最小时,(C△CDE的值最小.又 DE+CE=CE+AE≥AC,即当E，E'两点重合时，DE+CE 的值最小，且最小值为 AC 的长.所以此时 C△CDE的值最小.设CE'=x,则DE'=AE'=12-x. 在 Rt△CDE' 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 中。由勾股定理，得 所以 解得 所以CE'= 则当△CDE 的周长最小时，CE 的长为 学霸拓展园地 1. B 2. D 解析:如图,延长 ED 到点 F,使得 DF=DE,连接CF,BF.因为 BD=DE=2,∠BDE=90°,且∠BDE+∠BDF=180°,所以△BDE 是等腰直角三 角 形, DF = 2, ∠BDF = ∠BDE = 90°,∠EBD=∠BEA=45°.所以 EF =4. 又 BD=BD,所以△BDE≌△BDF(SAS).所以 BE=BF,∠BFA=∠BEA=45°,∠FBD=∠EBD=45°.所以∠EBF = 90°, 即 ∠EBA + ∠ABF = 90°. 又∠ABC = 90°, 所 以 ∠ABF + ∠FBC = 90°, 即∠EBA =∠FBC.又 BA = BC,所以△EBA≌△FBC(SAS).所以∠BEA=∠BFC,AE=CF,即∠BFC=45°.所以∠CFE=∠BFC+∠BFA =90°.因为 A 为 DE 的中点,所以 AE =1,即CF=1.在 Rt△CEF 中,由勾股定理,得CE= 3. 55 4.75 解析:如图,连接 OA,OD,延长 AO 至点E.因为△ACD 是等腰三角形,且∠CAD =120°,所以 AC = AD. 因为 DP⊥CD, 所以∠CDG=90°. 又 O 为 CG 的中点,所以 OD = 又OA=OA,所以△OAC≌△OAD(SSS).所以 即∠BAE=60°.所以点O 在射线 AE 上运动.当OB⊥AE时,OB的长最小.又AB=10,∠BAE=60°，易得此时 在Rt△OAB 中,OB=m，由勾股定理，得 75.则 解析:过点 C 作CO⊥AB 于点O,延长 BA交 EM 于点 P,延长 AB 交 GN 于点 Q,则∠EPA=∠BQG=∠AOC=∠COB=90°.因为AB=1,四边形 ABHK 是正方形,所以 AK=BH=AB=1.因为四边形 ACDE 是正方形,所以 AE=CA,∠EAC=90°.又∠PAE+∠EAC+∠OAC= 180°,所以∠PAE +∠OAC = 180°-∠EAC=90°.又∠OAC+∠OCA =90°,所以∠PAE = ∠OCA. 所 以 △EAP ≌ △ACO(AAS).所以.AP=CO,S△EAP =S△ACO.同理，得BQ=CO,S△BQG = S△COB,由题意，得 所以当 CO 的长最大时，S明数最大.在Rt△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,CO=h.由勾股定理，得 又 所以 ch= ab.因为 所以 2ab≥0,即 所以 即 又c=1,所以h 的最大值为 ，即CO 的长的最大值为 则题图中阴影部分面积之和的最大值为 5. 6. (1) 由题意,得 CD=2t.在 Rt△ABC 中,AB=20, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 亮点给力 提优课时作业本 |数学八年级 上册 SK 学科网（北京）股份有限公司 BC=15,由勾股定理,得 25.所以AD=AC-CD=25-2t.当t=2时. CD=4. AD=21. (2) 能.因为∠C<90°,所以当△CBD 为直角三角形时,有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况. 分类讨论 如下: ① 若∠CDB = 90°, 则 由(1),得CD=2t,AC=25,且 AB=20,BC=15,所以 在 Rt△BCD 中,由勾股定理，得 所以 解得t=4.5(负值已舍去);② 若∠CBD=90°,则A,D两点重合.所以2t=25,解得t=12.5.综上,t 的值为4.5 或12.5. (3) 由(1),得 CD=2t.过点 B 作BE⊥AC 于点E.同(2),得 BE=12.在 Rt△BCE 中,由勾股定理，得 因为△CBD 是等腰三角形,所以有 BC = BD 或 BC = CD 或BD=CD 三种情况.分类讨论如下:① 当 BC=BD时,CD=2CE,所以2t=2×9,解得t=9;② 当 BC=CD 时,2t=15,解得 t=7.5;③ 当BD=CD 时,BD=2t,DE=2t-9.在 Rt△BDE中，由勾股定理，得 所以 解得t=6.25.综上,当t的值为 9 或 7. 5 或 6.25 时,△CBD 是等腰三角形. 综合与实践 勾股定理与最短路径问题 (2)将题图③的侧面沿高展开，如图①.由题意，得彩条的最短长度是指侧面展开图中线段 EG 的长.在 Rt△EFG 中,EF=3×4×2=24(cm),FG=10cm，由勾股定理，得 则彩条的最短长度为26cm. (3)将题图④的侧面沿高展开，如图②.作点 P 关于直线 MN 的对称点 P',过点 Q 作 QS⊥MS 于点S，连接P'Q,MP',则∠P'SQ=90°,P',M,P 三点共线.所以该蚂蚁爬行的最短路径长是线段 P'Q的长.由题意，得 2cm,MS=35-1=34(cm),所以P'S=MP'+MS=36cm.在 Rt△P'SQ 中,由勾股定理,得 P'Q= 则这只蚂蚁爬行的最短路径长为39 cm. 主题新情境 探寻“勾股数” (1) 60 61 a²=b+c (2) 6365 (3)答案不唯一，如： 学科网（北京）股份有限公司 $