专题4 二次函数的图像与性质（单元复习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题4 二次函数的图像与性质 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、二次函数的图像与性质 3 知识点二、二次函数的图象变换 4 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 的图像和性质】 7 【题型2 的图像和性质】 10 【题型3 的图像和性质】 12 【题型4 的图像和性质】 15 【题型5 二次函数图像的平移】 16 【题型6 把化为顶点式】 19 【题型7 的图像与性质】 21 【题型8 画的图像】 24 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 28 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 30 【题型11 两个二次函数图像综合判断】 33 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 36 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 39 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 42 【题型15 的最值】 45 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 49 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 55 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 56 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 74 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・三种解析式互化，由解析式读出开口、对称轴、顶点，基础核心考点。 ・系数a,b,c的几何意义，判断图象特征与相关代数式符号。 ・根据开口、对称轴判断增减性，在给定自变量范围求最值。 ・二次函数图象平移，抓住顶点平移解题。 ・利用点到对称轴距离，比较函数值大小。 ・结合图象求解不等式，与一元二次方程简单综合。 ・基础命题：已知解析式求顶点、对称轴、简单平移、函数值比较；多为选择填空，侧重读图与基础公式，难度低。 ・综合命题：含参数二次函数，判断a,b,c相关代数式符号、区间最值；常为选择填空压轴或解答首问，考查数形结合。 ・素养命题：只给部分图象，无完整解析式，推理系数关系、定点问题；侧重数形推理，弱化套路套用。 考情解码： ・模块地位：二次函数章节基础，承接一次函数、一元二次方程，是二次函数应用、几何综合的必备前提，初中函数主干内容。 ・考频与分值：各类考试必考，选择、填空、解答均有；单独考查 6–10 分；中考常融入二次函数大题，分值 8–12 分。 ・高频考法：判断a,b,c及衍生式子符号；求顶点对称轴；图象平移；比较函数值；由图象写不等式解集；定点探究。 ・失分规律：顶点坐标符号出错；区间最值忽略端点；平移左加右减理解错误；忽略a正负判断增减性；区间最值漏端点、平移规则混淆为主要丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点二、二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. （2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 （1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； （2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 的图像和性质】 【例1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 【变式1-1】（2026·江苏泰州·三模）已知点，，在下列某一函数的图像上，且，那么这个函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性质，结合题干给出的横坐标大小关系和纵坐标的大小要求，逐一排除不符合的选项，即可得到结果． 【详解】解：已知三个点横坐标满足，由，逐一分析选项： A选项，对于，随增大而增大， ， ，不符合要求，排除； B选项，对于，由可知，函数图像开口向上， 当时，， 当时，， 当时，点离对称轴最远，函数值最大，即最大，不符合要求， 当时，点离对称轴最远，函数值最大，即最大，不符合要求，； C选项，对于，函数图象在第一、三象限， 若，则，不符合要求； 若或，随的增大而减小，即，不符合合要求； 若，，不符合合要求； D选项，对于，当时，满足， 前两个点在第二象限，第三个点在第四象限； ，第二象限内随增大而增大， ，且为正数，为负数， 因此满足，符合条件． 【变式1-2】（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项． 【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 【题型2 的图像和性质】 【例2】（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】根据的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，. ∵， ∴图象开口向下，A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，B正确，不符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴时，不随的增大而一直增大，C错误，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，代入解析式得，即有最大值，D正确，不符合题意． 【变式2-1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，抛物线开口向上，即可得解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大, 抛物线开口向上，即， 解得． 【变式2-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 【题型3 的图像和性质】 【例3】（九年级下·甘肃武威·开学考试）下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； B．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x值的增大而先增大后减小，符合题意． 【变式3-1】（24-25九年级下·江西九江·期中）下列函数中，当时y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A、，，当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； B、，，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、，，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意； D、，，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，，，，，将二次函数的图象记为．下列的判断中正确的是（    ） ①点一定不在上； ②点可能同时在上； ③点可以同时在上． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数解析式得出对称轴为直线，顶点为，即可判断①；由对称性得出点关于对称轴的对称点为，结合点的坐标即可判断②；待定系数法求出经过点的解析式，再判断点是否在解析式上，即可判断③；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴为直线，顶点为， ， 点在对称轴上， ， 点一定不在上，故①正确； ， 关于对称轴的对称点为， ， 三点不在一条直线上， 点、可能同时在上，故②正确； 将，代入解析式可得， 解得：， 二次函数解析式为：， 当时，， 不在上， 点不能同时在上，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 【题型4 的图像和性质】 【例4】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移8个单位，则，即． 【变式4-1】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，则二次函数的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，结合对应字母的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，在轴的左侧，顶点坐标为，位于第二象限， ∴只有C选项的图象符合题意. 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当自变量x分别取，1，0时，对应的函数值分别为，则下列关于的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式可得对称轴为直线，再由，可得二次函数图象开口向上，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴． 【题型5 二次函数图像的平移】 【例5】（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移． 【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得． 【变式5-1】（2026·河南周口·模拟预测）抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为 ． ∵， ∴抛物线开口向上，A说法正确； 抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误； 抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，D说法正确． 【变式5-2】（2026·江苏南通·三模）将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线向左平移个单位，顶点横坐标减，纵坐标不变 ∴新抛物线顶点横坐标为，纵坐标仍为 即新抛物线的顶点坐标为． 【变式5-3】（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数（为常数，且）的图象沿轴向下平移2个单位长度，得到的新二次函数图象经过点，则关于二次函数的说法不正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】先根据平移规则得到新函数解析式，代入已知点求出参数的值，再结合二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法． 【详解】解：∵原二次函数沿y轴向下平移2个单位， ∴新二次函数解析式为， ∵新函数经过点， 代入得， 解得， ∴原二次函数解析式为， ∴原二次函数对称轴为； A、∵， ∴图象开口向下，该选项正确； B、∵开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小， ∴时y取最小值，代入得，， ∴该选项正确； C、当时，代入解析式得，该选项错误； D、∵开口向下，对称轴， ∴时，y随x增大而减小， 又∵， ∴时，y随x增大而减小，该选项正确． 【题型6 把化为顶点式】 【例6】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可知当时函数有最小值；分别求出当和时的函数值，通过比较求出最大值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向上， 整理可得：， 当时函数有最小值； 当时，可得：， 当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和． 【变式6-1】（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． 【变式6-2】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【答案】C 【分析】把函数解析式化为顶点式，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴该函数的对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为，在轴下方，故A、B选项错误； ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最小值是，故C选项正确；故D选项错误； 【变式6-3】（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 【题型7 的图像与性质】 【例7】．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知点，，在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各点的横坐标代入解析式表示出函数值，然后进行比较大小即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ， ， ， ∵， ∴． 【变式7-1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 【变式7-2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数图象上三个点、、，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式可知抛物线的对称轴是，点关于的对称点是，根据二次函数的性质即可得到结果. 【详解】解：抛物线的对称轴是， 点关于的对称点是， 又抛物线中， 抛物线开口向下，在对称轴的右侧随的增大而减小， ， . 【变式7-3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 【题型8 画的图像】 【例8】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 【变式8-1】．（九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）对于函数，下列说法 ①图象关于y轴对称； ②有最小值； ③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与函数的图象有三个交点时，．正确的有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用图象逐个判断即可求解．利用数形结合思想求解是解答的关键． 【详解】解：画出函数的图象，如图： 由图可知， ①图象关于y轴对称，故①正确； ②有最小值， ∵， ∴有最小值，故②正确； ③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误； ④当时，直线与函数的图象有三个交点； 当直线与函数的图象相切时，直线与函数的图象有三个交点， 联立方程组，整理，得， 由得， 由图象得：当时，直线与函数的图象有四个交点，故④错误， 综上，正确的有2个， 故选：C． 【变式8-2】（九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的与x的部分对应值如表：请结合描点画图的方法，判断下列说法中正确的是（　　） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．若抛物线与x轴正半轴的交点为，则 【答案】D 【分析】根据表格数据描点画图，根据图象，结合二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 该二次函数的图象如图： 由图知，抛物线的开口向下，故选项A说法错误，不符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的正半轴相交，故选项B说法错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，，故选项C说法错误，不符合题意； ∵抛物线与x轴负半轴的交点在和0之间， ∴抛物线与x轴正半轴的交点在3和4之间， ∴，故选项D说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，借助函数图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． 【变式8-3】（九年级上·甘肃庆阳·阶段检测）若函数y=ax+bc的图象如图所示，则有可能是函数y=ax2+bx+c的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的图像，得到，，然后对二次函数的图像进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则有 ，， ∴二次函数的图像开口向上，排除A、C； 选项B中，，，，则，符合题意；故排除D； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质进行判断． 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 【例9】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次项系数， 其图象开口向下， 故该结论不正确，不符合题意； B．其图象的对称轴是直线， 故该结论不正确，不符合题意； C．对称轴是直线，图象开口向下， 当时，函数有最大值，此时， 故该结论正确，符合题意； D．对称轴是直线，图象开口向下， 当时，随的增大而增大， 故该结论不正确，不符合题意． 【变式9-1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可求出一次函数与二次函数交于点，则可排除B、D；再根据一次函数经过的象限和二次函数的图象分别判断的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴一次函数与二次函数交于点，故B、D不符合题意； A选项中，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C选项中，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，且对称轴在y轴左侧，则，即，二者一致，故此选项符合题意； 【变式9-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，的值最小 D．若点，在函数图象上，则 【答案】D 【详解】解：函数图象开口向下，与轴相交于正半轴，，，，错误； 当时，，错误； 函数图象的对称轴为直线，当时，的值最大，错误； ，点，关于对称轴直线对称，，正确． 【变式9-3】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口向上得到，对称轴在轴左侧得到，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：二次函数开口向上， ， 对称轴在轴左侧， ， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 【例10】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数 的图象确定，的符号，再结合二次函数 的开口方向进行验证． 【详解】解： A、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向上可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； B、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向下可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； C、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向下可知，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故正确，该选项符合题意； D、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向上可知 ，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故错误，该选项不符合题意． 【变式10-1】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可． 【详解】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下： A、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； B、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； C、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； D、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 【变式10-2】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限确定的值或符号，进而确定函数是否为二次函数或其开口方向和对称轴的位置，逐一分析即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的图象经过原点，则，则函数不是二次函数，与图象不符合，故此选项不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象符合，故此选项符合题意； C、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象不符合，故此选项不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象不符合，故此选项不符合题意． 【变式10-3】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置确定、的符号，再结合一次函数图象的斜率和截距进行判断． 【详解】A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，， ∴． ∴b矛盾． 故A错误． B．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，， ∴． 故B正确． C．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，， ∴． 故C正确． D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知， ， ∴． 故D正确． 【题型11 两个二次函数图像综合判断】 【例11】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，过点作轴于，先证明，得到，不妨设点横坐标为，那么点横坐标为，，，最后利用这两点纵坐标的比等于求得答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∴， ∵， ∴， 不妨设点横坐标为，那么点横坐标为， ∵射线分别与二次函数，的图象交于点A，B， ∴，， ∴， ∴． 【变式11-1】（九年级下·陕西西安·阶段检测）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式11-2】（九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝． 【详解】设A（m，m2），则B（m，m2）， ∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D， ∴C（2m，m2），D（m，m2）， ∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m， . 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键． 【变式11-3】（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 【例12】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 【变式12-1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 【变式12-2】（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 【变式12-3】（2026·安徽马鞍山·三模）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定 的符号，由对称轴确定 与 的关系，由与 轴交点确定 的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【详解】解： 抛物线开口向下， ． 对称轴是直线 ， ，即 ， ，故 C 选项正确． ， ． 抛物线与 轴交点在 轴上方， ． ，故 A 选项错误． 由图可知，当 时，， 即 ． 将 代入得 ，即 ，故 D 选项错误． 根据抛物线的对称性，当 时，，则当 时 ， 即 ，故 B 选项错误． 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 【例13】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（     ） A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧 C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断出对称轴可能在两点之间，也可能在点的右侧，即可得解． 【详解】解：二次函数中，a、b、c为常数，， 抛物线开口向下， 距离对称轴越近，函数值越大，且在对称轴左侧，随的增大而增大， 图象经过点和， 对称轴可能在两点之间，也可能在直线的右侧． 当对称轴在两点之间时，点的纵坐标更大，更靠近对称轴，则对称轴在y轴右侧且在直线的左侧； 综上，只有B选项满足． 【变式13-1】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）二次函数的部分x与y的对应值如表 x … 0 1 2 3 4 … y … 4 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．函数的最大值为7 D．当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】利用表格中 3 组求出二次函数的值，得到，，，依次判断开口方向、对称轴、函数最值和增减性，找出描述错误的选项。 【详解】解：把表格里三组的值代入： 当，：； 当，：，得； 当，：，得，化简； 联立两式相减：，代入，得． 所以二次函数解析式：。， 抛物线开口向下，A 正确． 对称轴公式：， 对称轴为，B 正确． 开口向下，顶点在对称轴处，把代入，，函数最大值是 7，C 正确． 开口向下，对称轴，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大． 所以 “当时，的值随值的增大而减小” 这句话错误． 因此不正确的是 D． 【变式13-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x部分取值与函数y对应关系如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 4 … 则的值是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由表格中值相等的两组值确定二次函数对称轴，结合对称轴公式计算的值． 【详解】解：由表格可知，当与时，的值均为， ∴ 该二次函数的对称轴为直线， ∵ 二次函数的对称轴为直线， ∴ ， 整理得． 【变式13-3】（九年级上·云南昆明·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向可得，结合对称轴可得，根据抛物线与y轴的负半轴相交可得，故①不正确；由，故②不正确；由抛物线对称轴及与轴的一个交点，利用对称性得出另一个交点为，故③正确；由抛物线过点，结合，可得，故④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，故①不正确； ②∵，故②不正确； ③∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴与轴另一个交点为点， ∴的两根分别为和，故③正确； ④由抛物线过点，代入得， ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的命题有：③④． 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 【例14】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大函数值越小， ∵点，，与对称轴的距离分别为：，，， ∴． 【变式14-1】（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴是轴，得到抛物线上横坐标互为相反数的点纵坐标相等，进而判断抛物线经过的点. 【详解】解：抛物线中不含一次项， 其对称轴为轴（即直线）， 又点在该抛物线上， 点关于轴的对称点也必在抛物线上，点关于轴对称的点为，即. 【变式14-2】（2026·河南三门峡·一模）已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式14-3】（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点和对称轴可得，，则选项A正确；将点代入二次函数的解析式即可得选项B正确；根据对称性可得点在这个二次函数的图象上，利用增减性即可得选项C正确；求出二次函数的最大值即可得选项D错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，选项A正确； ∵这个二次函数的图象经过点， ∴， ∴，即，选项B正确； ∵这个二次函数的图象开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∴点在二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，选项C正确； 将代入二次函数得：， ∴这个二次函数的最大值为， ∵点在二次函数的图象上， ∴，即，选项D错误． 【题型15 的最值】 【例15】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 【变式15-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）已知点，在抛物线上，且对于抛物线上任意一点，总有，则与的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式可得顶点坐标，由可得抛物线开口向上，即，分别将，代入解析式求出对应的y值比较即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵对于抛物线上任意一点，总有， ∴函数最小值为， ∴抛物线开口向上，， 把代入得， 把代入得， ∴． 【变式15-2】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 【变式15-3】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 【例16】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 错误，由图象知：当时，； 错误，当时，； 正确，作E关于x轴的对称点，连接如图，的周长的最小值为； ④正确，函数图象在时，y随x增大而减小，则． 【详解】解：由图象知：当时，，故错误； ②抛物线的对称轴是直线 当时，，故错误； 作E关于x轴的对称点，连接如图所示： 当时，， 与E关于x轴对称， 的周长的最小值就是C、M、三点共线时取到为， 的周长的最小值为，故正确． 设关于对称轴的对称的数为 函数图象在时，y随x增大而减小， 正确． 故选C． 【变式16-1】（广西崇左·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，，作，，先证明为等边三角形，接着利用，得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键． 【变式16-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 【变式16-3】（2026·广东深圳·二模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）    A． B．当时，y随x的增大而增大 C．周长的最小值是＋3 D． 是的一个根 【答案】C 【分析】由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点，则，即，可判断A的正误；当时，y随x的增大而增大，可判断B的正误；点关于直线的对称点为，即是的一个根，可判断D的正误：当，，即，如图，点关于直线的对称点为，连接，由题意知，，当三点共线时，的和最小，即的和最小为，由勾股定理得，进而可得周长的最小值，进而可判断C的正误． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点， ∴，则，A正确，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，B正确，故不符合要求； 点关于直线的对称点为，即是的一个根，D正确，故不符合要求； 当，，即， 如图，点关于直线的对称点为，连接，    由题意知，， 当三点共线时，的和最小，即的和最小为， 由勾股定理得， ∴周长的最小值，C错误，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 【例17】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设交点式，然后求出表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为 将代入解析式，得， 解得 ∴ 当时，． 【变式17-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交点的纵坐标是，则此抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知抛物线顶点坐标，选用顶点式求解即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线与y轴交点的纵坐标为， ∴ 将，代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为，展开整理得． 【变式17-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知二次函数顶点坐标，可设顶点式解析式求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数图象过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴二次函数表达式为． 【变式17-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式为，再将点代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的函数解析式为． ∵平移后的函数图象过点， ∴， ∴． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 得，即； 再向上平移1个单位，得，即. 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移个单位长度可以得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质以及二次函数的平移法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B错误， ∵， ∴函数最大值为，故C正确， 向右平移2个单位长度得，与给定函数不符，故D错误． 3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）对于二次函数的描述正确的是（     ） A．抛物线开口向下 B．函数有最大值是2 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A错误； 函数有最小值是2，B错误； 对称轴为直线，C正确； 顶点坐标为，D错误. 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数可化为顶点式， ∴顶点坐标为． 5．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线图像开口向下，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线开口向下，则二次项系数小于0，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图像开口向下， ∴，解得． 6．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线上有三点、、，则、、大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的解析式求出对称轴，再根据各点到对称轴的距离大小判断对应纵坐标的大小． 【详解】解：, 抛物线开口向下，对称轴为直线，到对称轴距离越大，函数值越小， ，，，且， ． 7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】根据题意对的正负进行讨论，得到的方程，从而求得的值． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线． 当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 当时，当时，；当时，． ，解得． 当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 当时，当时，；当时，． ，解得． 综上所述，的值为或． 8（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小， 关于对称轴的对应点为， ， ， 故选：B． 9．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知，，为二次函数的图像上三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键思路是先确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减来比较函数值的大小即可． 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为：， 因为， 所以二次函数的图像开口向上，离对称轴越远函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以． 故选：C． 10．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 11．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴左侧为上升，判断抛物线开口方向，进而得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴． 12．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，可设点C的坐标为，再根据三角形的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：把点代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设点C的坐标为， ∵，，三角形的面积为8， ∴， 当时，解得：， 此时点C的坐标为； 当时，解得：； 此时点C的坐标为或； 综上所述，点C的坐标为或或． 13．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 【答案】 【分析】设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点，求出n关于m的关系式即可得到第一空的答案；根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得第二空的答案． 【详解】解：设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴二次函数关于轴对称的函数解析式为； 二次函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为，即． 14．（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向和顶点坐标，再计算给定x范围内端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：已知二次函数为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内， ∴的最大值为， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此的取值范围是． 15．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l与两坐标轴分别交于、两点，若抛物线（其中b，c是常数）的顶点D是线段上一点，则c的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （b，c是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把,代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数 （b，c是常数）的图象的顶点在线段上， ∴， 即， ∴当时，c取最小值． 16．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点，均在抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对二次函数进行配方，把一次项拆分，加上再减去一次项系数一半的平方，整理成顶点式； （2）纵坐标相同的两个点在抛物线上，说明两点关于抛物线对称轴对称，m、n的和等于对称轴横坐标的2倍，用对称轴公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，， 不同两点，均在抛物线上， ． 17．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）已知抛物线． (1)求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)平移后的抛物线表达式为 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可获得答案； （2）设将该抛物线向下平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，然后将点代入并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴此抛物线顶点坐标为； （2）设将该抛物线向下平移个单位长度，则新的抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴平移后的抛物线的表达式为． 18．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 19．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，，在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为， 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，则有．设点的坐标为，然后可得，当时，，进而求解方程即可． 【详解】（1）解：将点和的坐标分别代入，得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：存在，理由如下： 令，得， ， ； ． ， ； ． 设点的坐标为． ∵点在第一象限， ， ， 解得． 当时，， 即， 解得． ∵点在第一象限， ； ； ∴点的坐标为． 20．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，求得得到点P在x轴的上方，过A作交于M，过作轴于N，证明得到，，进而可得，利用待定系数法求得直线的函数表达式为，和抛物线联立方程组求解即可； （3）利用待定系数法分别求得直线、直线和直线的函数表达式，设，，易求得，利用中点坐标公式求得，代入直线的函数解析式中求得m值即可解答； （4）过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则四边形是矩形，根据题意设，，证明得到，，，，根据坐标与图形的性质可求得，，由列方程求得n值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于、两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，当时，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P在x轴的上方，如图，，过A作交于M，过作轴于N，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解 得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得，， ∴点P的坐标为； （3）解：设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，， ∵， ∴直线的函数表达式为， 将D坐标代入，得，解得， ∴， ∵为线段的中点时， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点N在直线上， ∴， 解得，， ∴点D坐标为； （4）解：过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点． ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴，，， 同理，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，则， ∴， ∵四边形为的面积为， ∴由得 整理，得， 解得，（舍去）， ∴，， ∴点G坐标为． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 75 页 第 1 页 共 75 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题4 二次函数的图像与性质 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、二次函数的图像与性质 3 知识点二、二次函数的图象变换 4 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型1 的图像和性质】 6 【题型2 的图像和性质】 7 【题型3 的图像和性质】 8 【题型4 的图像和性质】 9 【题型5 二次函数图像的平移】 10 【题型6 把化为顶点式】 10 【题型7 的图像与性质】 11 【题型8 画的图像】 12 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 13 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 14 【题型11 两个二次函数图像综合判断】 16 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 17 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 18 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 19 【题型15 的最值】 20 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 21 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 22 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 23 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 28 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・三种解析式互化，由解析式读出开口、对称轴、顶点，基础核心考点。 ・系数a,b,c的几何意义，判断图象特征与相关代数式符号。 ・根据开口、对称轴判断增减性，在给定自变量范围求最值。 ・二次函数图象平移，抓住顶点平移解题。 ・利用点到对称轴距离，比较函数值大小。 ・结合图象求解不等式，与一元二次方程简单综合。 ・基础命题：已知解析式求顶点、对称轴、简单平移、函数值比较；多为选择填空，侧重读图与基础公式，难度低。 ・综合命题：含参数二次函数，判断a,b,c相关代数式符号、区间最值；常为选择填空压轴或解答首问，考查数形结合。 ・素养命题：只给部分图象，无完整解析式，推理系数关系、定点问题；侧重数形推理，弱化套路套用。 考情解码： ・模块地位：二次函数章节基础，承接一次函数、一元二次方程，是二次函数应用、几何综合的必备前提，初中函数主干内容。 ・考频与分值：各类考试必考，选择、填空、解答均有；单独考查 6–10 分；中考常融入二次函数大题，分值 8–12 分。 ・高频考法：判断a,b,c及衍生式子符号；求顶点对称轴；图象平移；比较函数值；由图象写不等式解集；定点探究。 ・失分规律：顶点坐标符号出错；区间最值忽略端点；平移左加右减理解错误；忽略a正负判断增减性；区间最值漏端点、平移规则混淆为主要丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点二、二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. （2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 （1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； （2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 的图像和性质】 【例1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·江苏泰州·三模）已知点，，在下列某一函数的图像上，且，那么这个函数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【题型2 的图像和性质】 【例2】（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 【变式2-1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 的图像和性质】 【例3】（九年级下·甘肃武威·开学考试）下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级下·江西九江·期中）下列函数中，当时y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【变式3-3】（九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，，，，，将二次函数的图象记为．下列的判断中正确的是（    ） ①点一定不在上； ②点可能同时在上； ③点可以同时在上． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型4 的图像和性质】 【例4】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，则二次函数的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当自变量x分别取，1，0时，对应的函数值分别为，则下列关于的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 二次函数图像的平移】 【例5】（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·河南周口·模拟预测）抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【变式5-2】（2026·江苏南通·三模）将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数（为常数，且）的图象沿轴向下平移2个单位长度，得到的新二次函数图象经过点，则关于二次函数的说法不正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时，的值随值的增大而减小 【题型6 把化为顶点式】 【例6】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【变式6-3】（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型7 的图像与性质】 【例7】．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知点，，在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数图象上三个点、、，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【题型8 画的图像】 【例8】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】．（九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）对于函数，下列说法 ①图象关于y轴对称； ②有最小值； ③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与函数的图象有三个交点时，．正确的有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-2】（九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的与x的部分对应值如表：请结合描点画图的方法，判断下列说法中正确的是（　　） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．若抛物线与x轴正半轴的交点为，则 【变式8-3】（九年级上·甘肃庆阳·阶段检测）若函数y=ax+bc的图象如图所示，则有可能是函数y=ax2+bx+c的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 【例9】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【变式9-1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，的值最小 D．若点，在函数图象上，则 【变式9-3】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 【例10】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【题型11 两个二次函数图像综合判断】 【例11】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（九年级下·陕西西安·阶段检测）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式11-2】（九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 【例12】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【变式12-3】（2026·安徽马鞍山·三模）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（     ） A． B． C． D． 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 【例13】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（     ） A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧 C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧 【变式13-1】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）二次函数的部分x与y的对应值如表 x … 0 1 2 3 4 … y … 4 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．函数的最大值为7 D．当时，y的值随x值的增大而减小 【变式13-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x部分取值与函数y对应关系如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 4 … 则的值是（     ） A． B． C． D．1 【变式13-3】（九年级上·云南昆明·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 【例14】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2026·河南三门峡·一模）已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【题型15 的最值】 【例15】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式15-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）已知点，在抛物线上，且对于抛物线上任意一点，总有，则与的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式15-2】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式15-3】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 【例16】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式16-1】（广西崇左·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（2026·广东深圳·二模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）    A． B．当时，y随x的增大而增大 C．周长的最小值是＋3 D． 是的一个根 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 【例17】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【变式17-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交点的纵坐标是，则此抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式17-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移个单位长度可以得到 3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）对于二次函数的描述正确的是（     ） A．抛物线开口向下 B．函数有最大值是2 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线图像开口向下，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线上有三点、、，则、、大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 8（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知，，为二次函数的图像上三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 12．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 13．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 14．（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 15．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l与两坐标轴分别交于、两点，若抛物线（其中b，c是常数）的顶点D是线段上一点，则c的最小值为______． 16．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点，均在抛物线上，求的值． 17．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）已知抛物线． (1)求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 18．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 19．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，，在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 75 页 第 1 页 共 75 页 学科网（北京）股份有限公司 $