26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计 课题 26.3 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1．通过图象探究与实际情境相结合，理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，发展分析问题、归纳概括与推理的能力；2．知道二次函数图象与 x 轴有三种位置关系，对应一元二次方程根的三种情况，能借助二次函数的图象求解一元二次方程根的相关问题；3．会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根，会用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，按精度要求求出根的近似值，体会逼近思想；4．体会数形结合思想，激发学习数学的兴趣. 教学重点 1．掌握二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程实数根之间的对应关系；2．会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根. 教学难点 1．建立数形结合意识，理解抛物线与 x 轴交点（形）和一元二次方程根（数）之间双向转化的内在联系；2．借助不断缩小区间估计一元二次方程近似根，体会逼近思想. 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 环节一 知识回顾 一、知识回顾 1．关于 x 的一元一次方程 kx+b＝0 的解为 x＝1，则当 x＝　　　　 时，一次函数 y＝kx+b 的函数值为 0． 【答案】x＝1. 2．一次函数 y＝kx+b 的图象如图，则关于 x 的一元一次方程 kx+b＝0 的解为　　　　． 一次函数 y＝kx+b 的图象 【答案】x＝2（图象与 x 轴交点的横坐标）. 3．一次函数与一元一次方程之间的关系：从数的角度，在一次函数 y＝kx+b（k≠0）中，当 y＝0 时，对应的自变量 x 的值就是一元一次方程 kx+b＝0 的解；从形的角度，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程 kx+b＝0 的解． 【设计意图】复习已学过的一次函数与一元一次方程之间的联系，今天类比这条思路，探究二次函数与一元二次方程存在怎样的数形关系． 学生口答两道一次函数填空，复述“数”与“形”两个角度的联系，明确本课类比研究的方法. 环节二 新知探究 位置关系 二、新知探究（三种位置关系） 【过渡】我们研究过一次函数与一元一次方程的联系，今天类比这条思路，探究二次函数与一元二次方程存在怎样的数形关系． 【思考】下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y＝x2+x−2；（2）y＝x2−8x+16；（3）y＝x2−x+1． 【师生活动】教师出示思考问题，学生先独立尝试解方程，预判抛物线与 x 轴交点情况；随后教师出示函数图象，学生结合图象验证猜想，小组交流发现规律． 【答案】在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）． 三条抛物线与 x 轴的位置关系 抛物线 y＝x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是 −2，1．当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0．由此可知，方程 x2+x−2＝0 有两个不相等的实数根 −2，1． 抛物线 y＝x2−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4．当 x＝4 时，函数值是 0．由此可知，方程 x2−8x+16＝0 有两个相等的实数根 x₁＝x₂＝4． 抛物线 y＝x2−x+1 与 x 轴没有公共点．由此可知，方程 x2−x+1＝0 没有实数根． 【追问】不画图象，能否预先判断抛物线与 x 轴公共点的个数？ 【答案】可以．用判别式 Δ：三个方程的 Δ 分别为 9，0，−3，对应两个公共点、一个公共点、没有公共点，与图象观察一致——判别式是“数”的预判工具，图象是“形”的验证工具. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系．综上，抛物线与 x 轴的交点情况与一元二次方程实数根的情况相互对应，二者可以互相推导． 【问题】观看动图，思考二次函数图象与 x 轴的公共点与一元二次方程根之间的关系． 动图观察（a＞0 与 a＜0 抛物线上下移动） 【师生活动】师生共同观看动图，学生回答，教师给予提示和补充． 【归纳】一般地，从二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： （1）如果抛物线与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x₀，那么当 x＝x₀ 时，函数值是 0，因此 x＝x₀ 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的一个根． （2）二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况有三种：　　　　、　　　　、　　　　．它们分别对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根． 【答案】没有公共点、有一个公共点、有两个公共点. 【设计意图】类比一次函数与一元一次方程的关系，借助三组二次函数探究图象与 x 轴交点和一元二次方程根的内在联系，引导学生感受数形结合思想，建立“形与数”双向转化的认知；为后续实际问题应用做好理论铺垫． 学生独立解三个方程预判交点，结合图象验证并归纳三种对应关系，讨论判别式预判方法. 环节三 实际应用 例1练习 三、实际应用（例1 与练习） 【过渡】根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题．下面来看一个实际问题． 【例1】如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t−5t2．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 小球飞行示意图 【师生活动】教师提示：因为小球的飞行高度 h 与飞行时间 t 有函数关系，所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程．如果方程有合乎实际意义的正数解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中 h 的值；否则，说明不能达到．学生根据提示，分小组讨论，并派代表发言，教师板书． 分析：问题“小球的飞行高度能否达到 20 m”即“二次函数的函数值能否取 20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程的根的问题． 【答案】解：当 h＝20 时，由函数关系，列得方程 20＝20t−5t2，即 t2−4t+4＝0，解方程，得 t₁＝t₂＝2． 这说明，当自变量 t＝2 时，二次函数的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m． 教师追问：结合图象分析，为什么只有一个时刻高度等于 20 m？学生观察图象，思考并回答，教师总结． 教师提问：结合本题探究，说一说二次函数与一元二次方程存在怎样的联系？教师提示：可以类比一次函数与一元一次方程间的关系进行分析．学生根据提示，分小组讨论，并派代表发言，教师作最后总结． 备注：方程有两个相等实数根，说明直线 h＝20 与抛物线仅有一个公共点，也就是直线与抛物线相切． 【归纳】已知二次函数的函数值为某一常数，可以转化为解对应的一元二次方程；反之，解一元二次方程，也可以看作已知二次函数取特定函数值，求自变量的取值． 【过渡】刚才我们探究了小球高度能否达到 20 m，下面请同学们独立完成剩下三个问题，进一步感受二次函数与一元二次方程之间的联系． 【练习】关于例1，回答下列问题：（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？（2）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 【师生活动】教师出示练习题，学生独立列式求解；完成后同桌互相交流思路．教师巡视，收集典型作答情况．学生完成后，请学生上台展示解题过程． 【答案】（1）当 h＝15 时，列得方程 15＝20t−5t2，即 t2−4t+3＝0，解得 t₁＝1，t₂＝3．所以当小球飞行 1 s 和 3 s 时，它的飞行高度为 15 m． （2）当 h＝20.5 时，列得方程 20.5＝20t−5t2，即 t2−4t+4.1＝0．因为 (−4)2−4×4.1＝−0.4＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到 20.5 m． （3）小球飞出时和落地时的高度都为 0 m．当 h＝0 时，列得方程 0＝20t−5t2，即 t2−4t＝0，解得 t₁＝0，t₂＝4．所以小球从飞出到落地要用 4 s．从图来看，0 s 时小球从地面飞出，4 s 时小球落回地面. 【追问】（3）中根 t₁＝0 有实际意义吗？解题时怎样处理这样的根？ 【答案】t₁＝0 表示小球刚飞出的瞬间，高度为 0 是合理的；求实际问题的根时，要逐一检验根的现实意义，本题两个根都有意义，落地时间取较大的 t₂＝4 s. 讲评时着重强调：结合判别式判断方程根的情况，同时结合实际情境检验方程的根，选取符合现实意义的解．总结：利用二次函数解决实际问题、转化为一元二次方程求解之后，一定要两步检验：第一，利用判别式预判能否达到对应高度；第二，结合实际情境，筛选有现实意义的解． 【设计意图】沿用同一小球飞行情境进行当堂巩固，加深学生对“给定函数值，转化为一元二次方程求解”这一核心关系的理解；通过三种不同根的情形（两个不等实根、无实根、一根为 0），再次呼应抛物线与直线交点的三种情况，强化数形结合；同时结合实际问题体会自变量取值范围对解的约束． 学生独立完成三问的列方程、判别式判断与求根，上台展示解题过程并互相讲评. 环节四 典例精讲 近似根 四、典例精讲（近似根） 【过渡】刚才我们求解的方程都能够求出精确实数根，有些方程不易求出精确根，我们可以借助二次函数图象求出一元二次方程根的近似根，下面继续探究． 【例题】利用函数图象求方程 x2−2x−2＝0 的根的近似值（结果保留小数点后一位）． 【师生活动】教师提出问题，学生思考并尝试独立作答．教师先引导学生思考第一种方法：画图观察交点． 【答案】方法1：画出函数 y＝x2−2x−2 的图象（如图），它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 −0.7，2.7．所以方程的实数根为 x₁≈−0.7，x₂≈2.7． 抛物线 y＝x2−2x−2 教师小结：依靠手绘图象观察会存在误差，因此图象法得到的根一般是近似根．教师追问：如果我们想要得到精度更高的近似根，有没有更好的办法？教师提示：可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根． 方法2：观察图象，点 (2，−2) 在 x 轴的下方，即当 x＝2 时，y＜0；点 (3，1) 在 x 轴的上方，即当 x＝3 时，y＞0．因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在 2＜x＜3 这一段经过 x 轴，即方程在 2，3 之间有根． 通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围：取 2，3 的平均数 2.5，当 x＝2.5 时，y＜0，方程在 2.5，3 之间有根；取 2.5，3 的平均数 2.75，当 x＝2.75 时，y＞0，方程在 2.5，2.75 之间有根；取 2.5，2.75 的平均数 2.625，当 x＝2.625 时，y＜0，方程在 2.625，2.75 之间有根．重复上述步骤，逐步得到：这个根在 2.687 5，2.75 之间．根所在的范围越来越小，范围两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 |2.687 5−2.75|＝0.062 5＜0.1，可以将 2.687 5 作为根的近似值． 教师追问：你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗（精度要求同上）？学生根据提示，独立思考并作答． 【答案】当 x＝−1 时，y＞0；当 x＝0 时，y＜0，即方程在 −1，0 之间有根．取 −1，0 的平均数 −0.5，当 x＝−0.5 时，y＜0，即方程在 −1，−0.5 之间有根．重复取平均数不断缩小区间，因为 |−0.75−(−0.687 5)|＝0.062 5＜0.1，所以可取 −0.687 5 作为另一个根满足精度要求的近似值． 【追问】这个方程能用配方法求出精确根吗？试以此检验近似根． 【答案】可以．配方得 (x−1)2＝3，x＝1±≈1±1.732，即 x₁≈−0.7，x₂≈2.7，与图象估算一致，说明两种方法互相印证. 【归纳】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤：（1）构造二次函数，画出函数图象；（2）观察抛物线与 x 轴的交点，确定交点的横坐标落在哪两个整数之间；（3）在区间内选取自变量计算函数值，根据函数值正负交替缩小区间范围；（4）持续缩小区间，按精度要求写出方程根的近似根． 【注意】不强制要求学生熟练掌握手动二分迭代计算，重在体会“不断缩小区间、无限逼近真实根”的思想，不把计算复杂度作为考查重点． 【练习】利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）：（1）x2−3x+1＝0；（2）−x2−x+1＝0． 【师生活动】学生独立思考、尝试画图估算；同桌互相交流答案．教师巡视，选取学生成果展示．讲评时着重强调：合理构造二次函数，观察图象与 x 轴交点，结合精度要求写出近似根． 【参考答案】（1）构造函数 y＝x2−3x+1，近似根 x₁≈0.4，x₂≈2.6；（2）构造函数 −y＝x2−x+1，近似根 x₁≈−1.6，x₂≈0.6． 【追问】（2）二次项系数为负，能否化为正系数后再检验近似根？ 【答案】可以．两边同乘 −1 得 x2+x−1＝0，配方得 (x+0.5)2＝1.25，x＝−0.5±≈−0.5±1.118，即 x₁≈−1.6，x₂≈0.6，与图象估算一致. 【设计意图】通过例题的讲解与练习，使学生经历利用二次函数图象求一元二次方程近似根的完整过程，体会数形结合与逼近思想，掌握估算方程根的两种途径，加深知识理解与灵活应用． 学生经历画图估算与缩小区间逼近两个过程，独立完成两道练习并用精确根交叉验证. 环节五 课堂小结 五、课堂小结 知识结构图 【归纳】①核心关系：二次函数与一元二次方程可以互相转化，已知函数值求自变量即解方程；②三种对应：Δ＞0 时两个公共点对应两个不相等实数根，Δ＝0 时一个公共点对应两个相等实数根，Δ＜0 时无公共点对应无实数根；③近似根：方法1 看图估算，方法2 缩小区间逼近；④实际应用必须检验根的现实意义. 【布置作业】完成教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理三种对应关系与求近似根的两法，课后独立完成作业. 板书设计 26.3 二次函数与一元二次方程 一、二次函数与一元二次方程（相互转化） 已知 y＝k 求自变量，转化为解 ax2+bx+c＝k 二、抛物线与 x 轴交点对应方程的根 Δ＞0：两个公共点，对应两个不相等实数根 三、利用图象求近似根 方法1：看图估算；方法2：缩小区间、逼近思想 学生板演区 学科网（北京）股份有限公司 $