第二十六章 二次函数 单元复习讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章《二次函数》五星版单元复习讲义 人教版（2026）九年级数学上册 · 第二十六章 二次函数（约14课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 26.1 二次函数的概念；26.2 二次函数的图象和性质（y=ax²、y=a(x-h)²+k、y=ax²+bx+c）；26.3 二次函数与一元二次方程；26.4 实际问题与二次函数 核心素养 抽象能力、几何直观（数形结合）、模型观念、推理能力 本单元不涉及 反比例函数（第二十七章）；二次函数与圆的位置关系综合（第三十章后续）；画图仅用描点法 课标对接 “数与代数”领域“函数”板块；对应“综合与实践”领域，见第四部分项目式学习 单元知识导航 本单元的知识主线：认识二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）→研究图象（抛物线）的开口方向、对称轴、顶点，掌握“配方”后由y=a(x-h)²+k直接读出性质→理解图象的平移规律→把抛物线与x轴的交点问题和一元二次方程的根联系起来→用二次函数模型求实际问题的最值（利润、拱桥、抛体高度等）。“数形结合”是全单元的核心方法：把代数式子变成图象看，再从图象读出性质。 知识网络图 图1　第二十六章《二次函数》知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 二次函数 形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）；自变量的最高次数是2 漏判a≠0；含分式或的不是二次函数 图象（抛物线） a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小 开口方向只看a的符号 对称轴与顶点 y=a(x-h)²+k：对称轴x=h，顶点(h,k)；一般式：对称轴x=，顶点(,) 顶点式中h的符号：y=(x+2)²顶点是x=-2 增减性与最值 a>0：x<时y随x增大而减小，x>时增大，在x=处取最小值；a<0相反 最值总在对称轴处取（区间问题另看端点） 图象平移 y=ax²→y=a(x-h)²+k：左右平移看h（左加右减），上下平移看k（上加下减） 平移方向易反：“左加右减”指对x而言 与一元二次方程 抛物线与x轴的交点个数＝方程ax²+bx+c=0的实数根个数（看判别式Δ）；交点的横坐标就是方程的根 Δ>0两个交点、Δ=0一个、Δ<0没有，不要混淆 求解析式 待定系数法：一般式、顶点式y=a(x-h)²+k、交点式y=a(x-x₁)(x-x₂) 选错形式：已知顶点用顶点式最简便 一、基础巩固（概念过关） A1（选择·★）下列函数中，是二次函数的是（　） A．y=2x²-x+1　B．y=x²+　C．y=3x-1　D．y=ax²+bx+c A2（填空·★）抛物线y=x²-4x+3的开口方向（　），对称轴是（　），顶点坐标是（　）。 A3（选择·★）抛物线y=2(x-3)²+1的顶点坐标是（　） A．(-3,1)　B．(3,1)　C．(3,-1)　D．(-3,-1) A4（填空·★）抛物线y=-x²+3与y轴的交点坐标是（　）。 A5（选择·★）将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　） A．y=(x+2)²+3　B．y=(x-2)²+3　C．y=(x+2)²-3　D．y=(x-2)²-3 A6（填空·★）二次函数y=x²-2x+1，当x＝（　）时，y取最（　）值（　）。 A7（选择·★）抛物线y=x²-4x+3与x轴的交点个数是（　） A．0个　B．1个　C．2个　D．3个 A8（填空·★）抛物线y=x²-2x-3与x轴交点的横坐标是（　）。 A9（填空·★）抛物线y=-2(x+1)²的对称轴是（　），当x（　）时，y随x的增大而增大。 A10（选择·★）若二次函数y=x²-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　） A．m>1　B．m<1　C．m=1　D．m≤1 二、能力提升（方法进阶） B1（解答·★★）对于抛物线y=x²-2x-3： (1) 求它的对称轴、顶点坐标、与x轴和y轴的交点坐标； (2) 在同一坐标系中画出它的草图（如图2），并指出当x取何值时y随x增大而增大。 图2　y=x²-2x-3的草图（B1） B2（填空·★★）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）开口向下、对称轴在y轴右侧、与y轴交于负半轴，则a、b、c的符号分别是（　）。 B3（填空·★★）若抛物线y=x²-2x+c的顶点在x轴上，则c＝（　）。 B4（解答·★★）已知二次函数的图象经过点(0,3)、(1,0)、(-1,8)，求该二次函数的解析式。 B5（填空·★★）二次函数y=-x²+2x+3的图象在x轴上方（y>0）时，x的取值范围是（　）。 B6（解答·★★★）已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于(-1,0)、(3,0)两点，与y轴交于点(0,-3)。 (1) 求该抛物线的解析式； (2) 求它的对称轴和顶点坐标； (3) 当x取何值时，y随x的增大而减小？ 三、综合应用（素养落地） C1（应用·利润·财经·★★★）某商店销售一种小商品，进价为每件15元，售价为每件25元，每天可售出40件。市场调查发现：每件售价每上涨1元，每天就少售出2件。 (1) 设每件上涨x元，每天的利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2) 当每件上涨多少元时，每天利润最大？最大利润是多少元？ C2（应用·拱桥·工程·★★★）如图3，一座抛物线形拱桥，以拱顶O为原点建立平面直角坐标系，桥拱可用y=ax²表示。已知水面宽AB=8米，拱顶到水面的距离为4米。 (1) 求该抛物线的解析式； (2) 一艘宽4米、高2米的船要安全通过桥洞，船顶到水面的距离为2米。请你判断这艘船能否安全通过，并说明理由。 图3　抛物线形拱桥（C2） C3（应用·喷泉·跨学科·★★）某公园的喷泉喷出的水柱可近似看作抛物线y=-0.1x²+1.2x（x、y的单位均为米，x为水平距离，y为水柱高度，喷口在地面原点处）。 (1) 水柱最高点的高度是多少米？此时离喷口的水平距离是多少米？ (2) 水柱落回地面时，离喷口的水平距离（射程）是多少米？ C4（应用·抛体·跨学科·★★★）一个物体从地面被竖直上抛，它的高度h（米）与时间t（秒）满足h=-5t²+20t。 (1) 经过多长时间物体到达最高点？最高高度是多少米？ (2) 物体经过多长时间落回地面（h=0）？ 四、综合与实践 · 项目式学习（附加） 【项目名称】桥拱与抛物线 任务1　实地观察：观察身边的桥梁、拱门或喷泉，拍下照片，判断其轮廓接近哪种函数图象。 任务2　建模测量：选择一座小拱桥（或拱门），测量桥拱的最高点高度h和拱脚间的宽度2a，以拱顶为原点建立坐标系，写出抛物线解析式y=-·x²（或按实际形状调整）。 任务3　限高检验：假设一辆宽b米、高d米的货车要通过，写出“能安全通过”应满足的条件，用解析式计算并判断。 任务4　数据对比：用AI工具查一座著名桥梁（如赵州桥）的跨度与拱高数据，仿照任务2建立抛物线模型，比较计算值与实际值的差异并分析原因。 任务5　成果汇报：制作“拱桥中的数学”小海报（含照片、数据表、解析式、结论），班级展示。 课标对接：“综合与实践”强调跨学科主题学习与项目式学习，本项目中融合工程（桥梁结构）、测量（数据采集）、数学建模（二次函数解析式）与信息科技（AI检索数据）。 评价维度 分值 评价标准 测量与数据 20 数据采集真实、单位规范、误差说明 建立模型 30 解析式推导正确、坐标系选取合理 限高判断 20 条件不等式正确、结论有依据 对比分析 20 与真实数据对比、差异原因分析合理 汇报表达 10 海报要素齐全、讲解清晰 延伸思考：二次函数的最值模型在“优选方案”“最大利润”“最短时间”等问题中反复出现；它也是后续学习反比例函数（第二十七章）时进行图象对比的参照。 五、月考加油站 · 高频考点清单与仿真小测 【高频考点清单】 1．二次函数的定义与一般形式（a≠0）。 2．抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标的求法（配方法或公式法）。 3．图象平移规律：左加右减、上加下减。 4．抛物线与x轴交点个数与判别式的关系。 5．利润、拱桥、抛体等实际问题的最值与建模。 M1（选择·★）下列函数中，属于二次函数的是（　） A．y=2x-1　B．y=x²-2x　C．　D．y=x(x-1)-x² M2（填空·★）二次函数y=x²+2x-3的顶点坐标是（　）。 M3（填空·★）抛物线y=-2x²的开口方向（　），对称轴是（　）。 M4（选择·★）抛物线y=2(x+1)²-3的顶点坐标是（　） A．(1,-3)　B．(-1,-3)　C．(1,3)　D．(-1,3) M5（填空·★）抛物线y=x²-4x与x轴交点的横坐标是（　）。 M6（填空·★★）把抛物线y=x²向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　）。 M7（解答·★★）求抛物线y=x²-2x-3的顶点坐标、对称轴和它与x轴的交点坐标。 M8（解答·★★★）某商店将进价为40元的商品按60元销售，每天可售出100件。市场调查：每涨价1元，每天少卖2件。问涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 六、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．先画知识主线：概念→图象性质→方程联系→实际应用，用思维导图默写一遍。 2．数形结合：每研究一个解析式，先画草图，再口头说“开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点”。 3．对比记忆：把y=ax²、y=a(x-h)²+k、y=ax²+bx+c三种形式的图象性质放成一张表对比；把二次函数与一元二次方程的联系写成“表→根”双向转换。 4．一题多解：求顶点既用配方法又用公式法，验算一致；最值问题先找对称轴再看区间。 5．错题三分类：概念不清／方法不会／粗心大意，每类重做1道典型题并口述理由。 衔接展望（教师参考）：本章是初中函数内容的“收官章”，其图象与性质为后续反比例函数（第二十七章）提供对比参照，也为高中数学函数的图象与最值学习奠基。学生题目中不涉及反比例函数与圆的内容。 七、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析考查的知识点 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用课本图象与公式逐条检验AI解析（重点核查开口方向、顶点坐标、平移方向） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤、评分要点与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（A1–A10） A1　A。解析：B含不是整式；C是一次函数；D中未说明a≠0。 A2　向上；直线x=2；(2,-1)。解析：y=(x-2)²-1，开口向上，对称轴x=2，顶点(2,-1)。 A3　B。解析：顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，故为(3,1)。 A4　(0,3)。解析：令x=0，y=3。 A5　A。解析：左加右减（对x），上加下减，y=(x+2)²+3。 A6　1；小；0。解析：y=(x-1)²，顶点(1,0)，开口向上，x=1时取最小值0。 A7　C。解析：Δ=(-4)²-4×1×3=4>0，两个交点。 A8　3和-1。解析：x²-2x-3=0，(x-3)(x+1)=0。 A9　直线x=-1；x<-1。解析：y=-2(x+1)²开口向下，对称轴x=-1，对称轴左侧（x<-1）y随x增大而增大。 A10　B。解析：两个交点⇔Δ=4-4m>0，m<1。 （二）能力提升（B1–B6） B1　(1) y=(x-1)²-4，对称轴x=1，顶点(1,-4)；令y=0得x²-2x-3=0，x=-1或3，与x轴交于(-1,0)、(3,0)；令x=0得y=-3，与y轴交于(0,-3)。(2) 草图见图2；开口向上，当x>1时y随x增大而增大。评分要点：配方2分、交点2分、草图与增减性2分。 B2　a<0，b>0，c<0。解析：开口向下→a<0；对称轴x=>0且a<0→b>0；与y轴交于负半轴→c<0。 B3　1。解析：顶点在x轴上⇔Δ=(-2)²-4c=0，c=1。 B4　y=x²-4x+3。解析：设y=ax²+bx+c，由(0,3)得c=3；由(1,0)、(-1,8)得a+b+3=0，a-b+3=8，解得a=1，b=-4。评分要点：设式1分、列方程3分、求解2分。 B5　-1<x<3。解析：y=-(x-1)²+4，开口向下，顶点(1,4)；令y=0得x=-1或3，图象在x轴上方（y>0）时-1<x<3。 B6　(1) 设y=a(x+1)(x-3)，代入(0,-3)：a·1·(-3)=-3，a=1，故y=(x+1)(x-3)=x²-2x-3。(2) 对称轴x=1，顶点(1,-4)。(3) 开口向上，当x<1时y随x增大而减小。评分要点：交点式设与求解3分，顶点2分，增减性1分。 （三）综合应用（C1–C4） C1　(1) y=(25+x-15)(40-2x)=(10+x)(40-2x)=-2x²+20x+400，由40-2x≥0得0≤x≤20。(2) y=-2(x-5)²+450，当x=5时y最大=450（元）。答：每件上涨5元，最大利润450元。评分要点：关系式3分（含范围），配方最值3分。 C2　(1) 设水面在y=-4处，A、B坐标为(-4,-4)、(4,-4)，代入y=ax²得-4=a·4²，a=-，故y=-。(2) 船宽4米，船身两侧距对称轴2米；当x=2时y=-=-1，该处拱到水面的高度为(-1)-(-4)=3米>2米（船高），且船顶在x=±2处均低于拱，所以能安全通过。评分要点：解析式3分，判断3分（须用x=±2处拱高说明）。 C3　(1) y=-0.1(x²-12x)=-0.1(x-6)²+3.6，最高点3.6米，离喷口水平距离6米。(2) 令y=0：-0.1x²+1.2x=0，x(-0.1x+1.2)=0，x=0（喷口）或x=12，射程12米。 C4　(1) h=-5(t-2)²+20，t=2秒到达最高点，最高20米。(2) 令h=0：-5t²+20t=0，-5t(t-4)=0，t=0（抛出时）或t=4，4秒后落回地面。 （四）月考仿真小测（M1–M8） M1　B。解析：D展开得y=-x是一次函数。 M2　(-1,-4)。解析：y=(x+1)²-4。 M3　向下；直线x=0（即y轴）。解析：a=-2<0，对称轴x==0。 M4　B。解析：顶点(-1,-3)。 M5　0和4。解析：x²-4x=0，x(x-4)=0。 M6　y=(x-1)²-2。解析：右移1单位（x-1），下移2单位（-2）。 M7　y=(x-1)²-4，顶点(1,-4)，对称轴x=1；令y=0，x²-2x-3=0，x=-1或3，与x轴交点(-1,0)、(3,0)。评分要点：配方3分、顶点对称轴2分、交点2分。 M8　涨价5元，最大利润2450元。解析：设涨价x元，利润y=(60+x-40)(100-2x)=(20+x)(100-2x)=-2x²+60x+2000=-2(x-15)²+2450，当x=15时最大，为2450元。检验：售价75元，销量70件，单件利润35元，35×70=2450（元）。 说明：本讲义题目为原创命制；情境数据（利润、桥宽、喷泉等）为示例或公共常识性约值，教师可替换为当地真实数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $