专题3 一元二次方程应用题专项（单元复习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题3 一元二次方程应用题专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 3 知识点二、一元二次方程的应用 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 传播问题】 4 【题型2 增长率问题】 6 【题型3 与图形有关的问题】 7 【题型4 数字问题】 9 【题型5 营销问题】 11 【题型6 动态几何问题】 13 【题型7 工程问题】 16 【题型8 行程问题】 19 【题型9 图表信息问题】 21 【题型10 握手、循环赛问题】 25 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 26 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 34 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 实际场景建模与方程列写能力：从文字题干中提取核心等量关系，合理选择直接设元或间接设元，正确列出一元二次方程，覆盖增长率、销售利润、几何面积、传播分支、数字数位等全类主流题型，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型模型与公式应用：熟练掌握平均增长率 / 下降率、价量联动利润、等宽边框 / 靠墙围栏、两轮传播等核心模型的对应公式，快速匹配题型完成方程构建，是本专题的核心运算考点。 · 方程根的实际意义检验：结合生活实际约束与题干限定条件，对求解得到的两个根进行合理性筛选，舍去负根、超出取值范围、不符合现实逻辑的增根，是本专题最高频的易错考点，也是得分的关键细节。 · 动点几何面积综合应用：结合动点运动路径与速度，用时间参数表示线段长度，根据面积等量关系列一元二次方程，同时验证动点的运动边界与取值范围，是代数与几何融合的中档区分考点。 · 跨模块综合建模：将一元二次方程与工程、行程、数字规律等问题结合，通过数量关系转化构建二次等量关系，考查知识迁移能力与综合问题分析能力。 · 基础命题：以单一题型独立考查为主，如直接求解平均增长率、基础图形面积计算、简单传播问题，题干条件清晰、等量关系直白，多以选择题、填空题或解答题首问形式出现，侧重基础建模能力与解方程基本功，难度偏低。 · 综合命题：以销售利润、几何面积两大核心题型为载体，叠加多重限制条件，如价量联动结合利润定值、图形裁剪 / 围栏结合边长约束、动点运动结合面积条件，要求学生完成设元、列方程、求解、验根全流程，常以解答题中档题形式呈现，考查综合分析与运算能力。 · 素养命题：依托真实生活情境（如经济促销、疾病传播、工程建设、环保改造）、古代数学问题、开放性设问命题，弱化固定套路化的公式套用，突出数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考情境化、应用化的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册一元二次方程模块的核心重难点，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，是方程思想在二次场景的落地延伸，同时也是后续二次函数实际应用、一元二次不等式的重要知识基础，在初中代数应用体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比 10%–15%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题单独命题，或与二次函数应用结合出题，分值 8–10 分。 · 高频考法：平均增长率 / 下降率问题、销售利润价量联动问题、几何面积类（等宽边框、靠墙围栏）问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；传播分支、数字数位问题多以基础选择、填空题形式出现；动点几何面积综合常作为解答题的中档压轴小问。 · 失分规律：等量关系理解偏差导致方程列写错误、求解后未检验实际意义保留增根、设元与作答遗漏单位、价量变动方向搞反、几何问题忽略边长取值约束，是五大核心失分点；其中增根未舍去与等量关系构建错误，是学生最普遍的丢分原因。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 传播问题】 【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 即． 【变式1-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是，则每个支干长出（     ）个小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个支干长出个小分支，根据主干个、支干个、小分支个，总数之和等于，进而列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意，主干有个，支干有个，小分支有个， 可列方程：， 整理得：， 因式分解，得：， 解得：， 分支个数为正整数， 不合题意，舍去， ，即每个支干长出个小分支． 【变式1-2】有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设参与该活动后规定“@”人，则第一轮小明1个人“@”个人，第二轮中x人又“@”个人，结合两轮后共有73人被邀请参与该活动列出方程即可． 【详解】解：根据题意可列方程， 选项D符合题意． 【变式1-3】化学课代表跟李老师学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课他手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都学会了做这个实验．设一个人每节课手把手教会x名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会x名同学，则可列方程为 ，即． 【题型2 增长率问题】 【例2】某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确等量关系为2026年与2027年的投入经费之和为4000万元，据此列方程即可. 【详解】解：∵2025年投入经费为1000万元，年平均增长率为， ∴2026年投入经费为万元，2027年投入经费为万元， ∵2026年、2027年两年共投入4000万元， ∴可列方程. 【变式2-1】习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确第一周到第三周共经历2次增长，结合增长率关系列方程. 【详解】解：∵第一周借阅人次为500，周平均增长率为x， ∴第二周借阅人次为，第三周借阅人次为. ∵第三周借阅人次为845， ∴可列方程. 【变式2-2】年铁路暑运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次；年暑运期间增至亿人次．若年、年这两年间全国铁路暑运发送旅客人次的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“初始量（年平均增长率） 最终量，其中n是增长的年数”，解答即可； 【详解】解：由题意可得． 【变式2-3】某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份该厂家电车销售的平均月增长率为x， ∴可列方程：． 【题型3 与图形有关的问题】 【例3】某校要建设一个面积为375平方米的矩形游泳池，该游泳池的长比宽多10米，则该游泳池的周长为（     ） A．70米 B．78米 C．80米 D．86米 【答案】C 【分析】设游泳池的宽为米，则长为米，再由矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设游泳池的宽为米，则长为米 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴长为米， ∴周长为米． 【变式3-1】将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为（   ）． A．20cm B．13cm C．14cm D．16cm 【答案】A 【分析】设原正方形铁皮边长为，四角剪去边长小正方形后，无盖盒子的底面是正方形，底面边长为，盒子高为．利用长方体容积公式：容积底面积高列一元二次方程求解，舍去非正根得到原边长． 【详解】解：设原正方形铁皮的边长为． 四角剪去边长的小正方形后，盒子底面正方形边长为，盒子的高． 根据长方体容积公式： ， 解得：． 边长不能为0，舍去， ∴原铁皮边长为． 【变式3-2】近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】设，则，根据花园面积列一元二次方程求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可知，， 即， 解得，， 当，，不合题意，舍去， 当，，符合条件， 故． 【变式3-3】如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将道路平移，六块草坪可以组成一个矩形，矩形的长为，宽为，根据草坪的面积为即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得． 【题型4 数字问题】 【例4】如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接列方程即可． 【详解】解：最大数为x，则最小数为， ∴． 【变式4-1】由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（     ） 新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 【变式4-2】图1是我国古代传说中的洛书，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，图2是一个不完整的三阶幻方，根据幻方的规则，由已知数据求出x的值应为（     ） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【答案】A 【分析】设三阶幻方正中间一个数为，第一行的中间一个为，根据三阶幻方每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等可得此三阶幻方中的每个数字，再根据三阶幻方的特点列方程，解出即可得x的值. 【详解】解：设三阶幻方正中间一个数为，第一行的中间一个为，根据三阶幻方每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等可得此三阶幻方的每个数字如下： ∴ 化简得：，解得：，， ∴x的值应为或. 【变式4-3】传统文化  下面是我国民间流传的一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题，大意为：“周瑜逝世时的年龄是一个大于30的两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（     ） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设周瑜逝世年龄的个位数字为x，根据个位数字的平方恰好等于该数，列方程即可． 【详解】解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x， 则根据题意可列方程为． 【题型5 营销问题】 【例5】将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价（     ） A．10元 B．22元 C．2元或22元 D．10元或22元 【答案】C 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得：， 整理得， 解得，， 则应降价2元或22元． 【变式5-1】将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（     ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．30元或80元 【答案】C 【分析】设商品售价应为元，由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设商品售价应为元，由题意可得： 解得：，， 当商品售价为60元或80元时，赚得8000元的利润． 【变式5-2】某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】总利润等于单价利润乘以销量，单件利润等于售价减去进价． 【详解】解：每件利润为元，销售量为件， 由题意得． 【变式5-3】潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为原本每盒利润为40元，每盒降价x元，所以降价后每盒利润为元．因为每降价1元多售出2盒，降价x元则多售出盒，原本每天售出20盒，所以降价后销售量为盒．结合总利润为1200元的条件，将上述两个表达式代入核心等量关系即可得到对应方程． 【详解】每盒降价x元，每盒利润为元， 每天售出盒， 列方程． 【题型6 动态几何问题】 【例6】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】A 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 【变式6-1】如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设运动时间为，表示出的长，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值，利用勾股定理求出的长，进而求出t的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ∴， 整理得， 解得或； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为，则可得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴， 整理得或， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 【变式6-3】如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设点E、F运动的时间为，根据矩形的性质和已知条件用含t的式子表示出的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设点E、F运动的时间为， 由题意得，， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴符合题意，不符合题意， ∴点E、F运动的时间为． 【题型7 工程问题】 【例7】甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件 (2)10 【分析】（1）设乙每小时生产个零件，根据甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等列方程求解即可； （2）根据已知信息列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙每小时生产个零件， 由题意得， 解得， 检验：当时，，符合题意， ∴甲每小时生产的零件为（个）， 答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件； （2）解：由题意得， 解得，（舍去）， 答：的值为10． 【变式7-1】列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【变式7-2】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加y条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加y条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【变式7-3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【题型8 行程问题】 【例8】一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 【变式8-1】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 【变式8-2】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式8-3】已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 【题型9 图表信息问题】 【例9】某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 【变式9-1】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【变式9-2】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 【变式9-3】体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 【题型10 握手、循环赛问题】 【例10】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由单循环赛问题的解法，找准等量关系列出一元二次方程即可． 【详解】解：设应邀请个队参赛，则每支球队都需要与其他球队赛场，结合2队之间只有1场比赛，可列方程为． 【变式10-1】2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：∵共有个队参加比赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， ∴． 【变式10-2】参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 每两队之间只赛1场，个队中每队需与其余个队各赛1场，且每场比赛被重复计算1次， ∴ 总比赛场数为. ∵ 总比赛场数为90， ∴ . 【变式10-3】某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306场，那么参加比赛的球队共有（     ） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 【答案】B 【分析】根据双循环赛制中，比赛场数=球队数（球队数），代入数据即可列方程,解出即可得参加比赛的球队数. 【详解】解：设参加比赛的球队共有支， 则根据题意得：， 化简得：， 解得：，（舍）， ∴参加比赛的球队共有支. 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．某文具店七月份销售碳素笔支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到支，设月平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得． 2．某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】每次降价的计算基数为前一次的售价，需用乘方表示两次降价后的价格. 【详解】解：第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， 由题意得. 3．用长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形周长求出长与宽的和为，再根据面积公式列方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为， ∴长宽， 设一边长为，则另一边长为， ∵面积为， ∴． 4．亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售16万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该摆件销售量的月平均增长率为x，3月份销量是万个，4月份在3月份基础上增长，销量为万个；5月份在4月份的销量基础上再次按相同增长率增长，销量为万个；结合5月份销售16万个列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该摆件销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：． 5．某商场9月份的营业额为万元，11月份营业额达到万元，如果每月营业额的平均增长率相同，设平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据营业额的增长情况构造方程即可． 【详解】解：设平均增长率是，则该商场10月份的营业额为万元，11月份的营业额为万元， 依题意，得． 6．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第（     ）个图． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】观察图形得出规律第个图的小圆个数为，由题意可得，再解方程即可得出结果． 【详解】解：由图可得： 第个图的小圆个数为， 第个图的小圆个数为， 第个图的小圆个数为， 第个图的小圆个数为， …， ∴第个图的小圆个数为， 由题意可得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第个图． 7．“方中圆”作为几何构型思想最早出自我国古代数学著作《周髀算经》，古人借助正方形推算圆的相关计算，体现“数之法出于圆方”的数学思想．同学们以“方中圆”为素材，设计了如下校园景观方案：如图，在一块正方形空地的正中间修建一个圆形水池，水池外的空地（图中阴影部分）上全部种植绿植，已知绿植部分的面积为，设正方形的边长为．根据图中信息，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形确定圆的半径，利用“绿植面积正方形面积圆的面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形的边长为米，由图可知圆的直径为， 圆的半径． 绿植部分的面积为， 正方形面积圆的面积， 即． 8．如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． (1)若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ (3)若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 【答案】(1) (2)经过或时P，Q两点之间的距离是； (3)经过4秒或6秒时，的面积为 【分析】（1）过点P作于点E，根据题意，得，，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）设秒后，，两点之间的距离是，根据题意列出方程求解即可； （3）连接，设经过秒后的面积为，根据题意得出，然后分三种情况分析：①当时， ②当时，③当时，依据面积建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点E， 根据题意，得，， 在中，，即， ， 故经过时P，Q两点之间的距离是； （2）设秒后，，两点之间的距离是， 根据题意得：，即， ， ，， 故经过或时P，Q两点之间的距离是； （3）连接， ∵矩形，，， ∴，， ∵点沿着移动， ∴点在上的运动时间为：，在上的运动的时间为：到；在上的运动的时间为：到； 点Q的运动时间为：； 设经过秒后的面积为， ∵点随点的停止而停止移动， ∴， ①当时，则， ，即， 解得； ②当时，则， ，， ∴， 解得，（舍去）； ③当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，经过4秒或6秒时，的面积为． 9．随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】(1)该风景区游客人数的月平均增长率为． (2)按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【详解】（1）解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； （2）由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 10．如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)当或时，面积为 (2)存在，时，是等腰直角三角形 (3)当时，． 【分析】(1)利用直角三角形面积公式，把代入得到关于的一元二次方程，解方程，筛选落在取值范围内的，即可解答； (2)直角在点，等腰直角三角形则两条直角边相等，列等式求，判断结果是否在运动时间区间，即可解答； (3) 在中，用勾股定理，建立含方程，求根后舍去负根，验证剩余根是否符合时间范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 点到达终点时间：，点到达终点时间：， 运动时间取值范围：． 四边形是矩形， ， 当的面积为时，， ， 整理得：， ，均符合题意． 当或时，面积为． （2）解：存在，使是等腰直角三角形，理由如下： ，为等腰直角三角形， ， ， 解得， ，符合取值范围． 存在，时，是等腰直角三角形． （3）解：，由勾股定理得： ， ， 解得，（舍去）， ，符合题意． 当时，． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 35 页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题3 一元二次方程应用题专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 3 知识点二、一元二次方程的应用 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 传播问题】 4 【题型2 增长率问题】 5 【题型3 与图形有关的问题】 6 【题型4 数字问题】 6 【题型5 营销问题】 7 【题型6 动态几何问题】 8 【题型7 工程问题】 9 【题型8 行程问题】 11 【题型9 图表信息问题】 11 【题型10 握手、循环赛问题】 14 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 14 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 18 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 实际场景建模与方程列写能力：从文字题干中提取核心等量关系，合理选择直接设元或间接设元，正确列出一元二次方程，覆盖增长率、销售利润、几何面积、传播分支、数字数位等全类主流题型，是本专题的核心基础考点。 · 经典题型模型与公式应用：熟练掌握平均增长率 / 下降率、价量联动利润、等宽边框 / 靠墙围栏、两轮传播等核心模型的对应公式，快速匹配题型完成方程构建，是本专题的核心运算考点。 · 方程根的实际意义检验：结合生活实际约束与题干限定条件，对求解得到的两个根进行合理性筛选，舍去负根、超出取值范围、不符合现实逻辑的增根，是本专题最高频的易错考点，也是得分的关键细节。 · 动点几何面积综合应用：结合动点运动路径与速度，用时间参数表示线段长度，根据面积等量关系列一元二次方程，同时验证动点的运动边界与取值范围，是代数与几何融合的中档区分考点。 · 跨模块综合建模：将一元二次方程与工程、行程、数字规律等问题结合，通过数量关系转化构建二次等量关系，考查知识迁移能力与综合问题分析能力。 · 基础命题：以单一题型独立考查为主，如直接求解平均增长率、基础图形面积计算、简单传播问题，题干条件清晰、等量关系直白，多以选择题、填空题或解答题首问形式出现，侧重基础建模能力与解方程基本功，难度偏低。 · 综合命题：以销售利润、几何面积两大核心题型为载体，叠加多重限制条件，如价量联动结合利润定值、图形裁剪 / 围栏结合边长约束、动点运动结合面积条件，要求学生完成设元、列方程、求解、验根全流程，常以解答题中档题形式呈现，考查综合分析与运算能力。 · 素养命题：依托真实生活情境（如经济促销、疾病传播、工程建设、环保改造）、古代数学问题、开放性设问命题，弱化固定套路化的公式套用，突出数学建模、逻辑推理与实际问题解决的核心素养，贴合中考情境化、应用化的命题趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是九年级上册一元二次方程模块的核心重难点，承接一元一次方程、二元一次方程组的应用体系，是方程思想在二次场景的落地延伸，同时也是后续二次函数实际应用、一元二次不等式的重要知识基础，在初中代数应用体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比 10%–15%；中考中属于方程与不等式模块的高频考点，多以中档解答题单独命题，或与二次函数应用结合出题，分值 8–10 分。 · 高频考法：平均增长率 / 下降率问题、销售利润价量联动问题、几何面积类（等宽边框、靠墙围栏）问题考查频次最高，是解答题的核心命题方向；传播分支、数字数位问题多以基础选择、填空题形式出现；动点几何面积综合常作为解答题的中档压轴小问。 · 失分规律：等量关系理解偏差导致方程列写错误、求解后未检验实际意义保留增根、设元与作答遗漏单位、价量变动方向搞反、几何问题忽略边长取值约束，是五大核心失分点；其中增根未舍去与等量关系构建错误，是学生最普遍的丢分原因。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 传播问题】 【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是，则每个支干长出（     ）个小分支 A． B． C． D． 【变式1-2】有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】化学课代表跟李老师学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课他手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都学会了做这个实验．设一个人每节课手把手教会x名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【题型2 增长率问题】 【例2】某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】年铁路暑运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次；年暑运期间增至亿人次．若年、年这两年间全国铁路暑运发送旅客人次的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（     ） A． B． C． D． 【题型3 与图形有关的问题】 【例3】某校要建设一个面积为375平方米的矩形游泳池，该游泳池的长比宽多10米，则该游泳池的周长为（     ） A．70米 B．78米 C．80米 D．86米 【变式3-1】将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为（   ）． A．20cm B．13cm C．14cm D．16cm 【变式3-2】近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 【变式3-3】如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型4 数字问题】 【例4】如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（     ） 新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A． B． C．1 D．或1 【变式4-2】图1是我国古代传说中的洛书，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，图2是一个不完整的三阶幻方，根据幻方的规则，由已知数据求出x的值应为（     ） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【变式4-3】传统文化  下面是我国民间流传的一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题，大意为：“周瑜逝世时的年龄是一个大于30的两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（     ） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ A． B． C． D． 【题型5 营销问题】 【例5】将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价（     ） A．10元 B．22元 C．2元或22元 D．10元或22元 【变式5-1】将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（     ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．30元或80元 【变式5-2】某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【题型6 动态几何问题】 【例6】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【变式6-1】如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 【题型7 工程问题】 【例7】甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 【变式7-1】列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【变式7-2】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式7-3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【题型8 行程问题】 【例8】一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【题型9 图表信息问题】 【例9】某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【变式9-1】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【变式9-2】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【变式9-3】体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【题型10 握手、循环赛问题】 【例10】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【变式10-3】某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306场，那么参加比赛的球队共有（     ） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．某文具店七月份销售碳素笔支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到支，设月平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．用长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售16万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则方程为（     ） A． B． C． D． 5．某商场9月份的营业额为万元，11月份营业额达到万元，如果每月营业额的平均增长率相同，设平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第（     ）个图． A．6 B．7 C．8 D．9 7．“方中圆”作为几何构型思想最早出自我国古代数学著作《周髀算经》，古人借助正方形推算圆的相关计算，体现“数之法出于圆方”的数学思想．同学们以“方中圆”为素材，设计了如下校园景观方案：如图，在一块正方形空地的正中间修建一个圆形水池，水池外的空地（图中阴影部分）上全部种植绿植，已知绿植部分的面积为，设正方形的边长为．根据图中信息，可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． (1)若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ (3)若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 9．随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 10．如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 35 页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $