精品解析：浙江杭州市采荷中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是( ) A. 1 B. C. D. 无法确定 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 3. 一同学掷铅球，时间（秒）与高度（米）之间的关系为．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则铅球位于最高处的时刻是（ ） A. 第7秒 B. 第8秒 C. 第10.5秒 D. 第21秒 4. 已知，是抛物线上的两个点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列说法中正确的是（） A. 三点确定一个圆 B. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 6. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 若二次函数，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5 9. 已知四边形内接于半径为4的，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 平面内两点、在二次函数图象上，则的最小整数值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若抛物线经过点（2，8），则a=_________________． 12. 从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 13. 圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 14. 如图，的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，，则_______． 15. 抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 16. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 1 3 … y … 0 4 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： （1）求二次函数的表达式； （2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 18. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图，这是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的三个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）小明转动A盘，指针指向红色扇形区域的概率是_______． （2）同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小卫同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是多少？ 19. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_________． （2）若平面上有点，判断点与的位置关系并给出理由． 20. 某小型植物可能开出紫色、粉色、白色三种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的概率，植物社团的成员打算随机收集一些该植物的幼苗进行试验研究．五个小组的成员分别收集该植物的一些幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据如下表： 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 280 开紫花的植株数量 74 71 3 88 b 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a 0.29 0.30 （1）表中_______，_______； （2）在上述五个小组的数据中，你认为第_______组的数据不适合用频率估计概率，你认为一株该植物开出紫花的概率是_______．（精确到0.1） （3）已知该植物开出粉色花朵的概率为0.5，某公园自然生长着大量该植物，经统计，这些植株中开白花的有350棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 21. 数学课上，李老师提出了如下尺规作图问题： 已知：如图，是上的一条劣弧． 求作：的中点． 同学们通过交流讨论得到了很多不同的方法．其中小亮给出了一个作法： ①作射线交于点； ②以为圆心，线段的长为半径作圆弧交射线于点； ③连接交于点．则点为所求． （1）请你用不同于小亮的方法作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）小亮的作法对吗？如果对，请画出示意图并给出证明，如果不对，请说明理由． 22. 已知二次函数（为常数，）． （1）若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； （2）当时，的最小值为，求的值． 23. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 24. 如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是( ) A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概率，明确质地均匀的硬币每次抛掷结果互不影响是解题关键． 【详解】解：∵质地均匀的硬币每次抛掷时，正面朝上与反面朝上的可能性相等，概率均为，且每次抛掷的结果互不影响，之前的抛掷结果不会改变第6次抛掷的概率． ∴抛掷第6次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数解析式为中， ∴图象开口向下，该函数对称轴为直线，顶点坐标为，故A，D错误；B正确； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而增大，故C错误． 3. 一同学掷铅球，时间（秒）与高度（米）之间的关系为．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则铅球位于最高处的时刻是（ ） A. 第7秒 B. 第8秒 C. 第10.5秒 D. 第21秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．本题先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出跑弹所在高度最高时的值． 【详解】解：∵此在第7秒与第14秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴铅球位于最高处的时刻是第秒， 故选：C． 4. 已知，是抛物线上的两个点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：将代入函数得：， 将代入函数得：， ∵， ∴． 5. 下列说法中正确的是（） A. 三点确定一个圆 B. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵三点共线时无法确定一个圆，∴A错误． ∵未说明弦不是直径，过直径中点的直径不一定平分直径所对的两条弧，∴B错误． ∵未限定在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等，∴C错误． ∵等弧所对的圆心角相等，∴D正确． 6. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 7. 若二次函数，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．利用排除法，由可以排除A选项；由得对称轴，可以排除B和C选项；即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴可以排除A选项； ∵， ∴抛物线的对称轴， ∴可以排除B和C选项； 故选：D． 8. 如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外心到三角形各顶点的距离相等以及勾股定理确定点、的位置，然后利用勾股定理求出线段长度． 【详解】解：点、的位置如图所示， ∵的外心为， ∴， ∵， ∴， ∵点、在格点上， ∴点、的位置即可确定， ∴． 9. 已知四边形内接于半径为4的，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 10. 平面内两点、在二次函数图象上，则的最小整数值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将两点坐标代入二次函数解析式，作差消去，结合推导的取值范围，即可确定最小整数值． 【详解】解：∵点、在二次函数图象上， ∴，， 两式相减得：， 整理得：，即， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小整数值是1． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若抛物线经过点（2，8），则a=_________________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点（2，8）代入y＝ax2可得关于a的方程，解之可得． 【详解】解：将点（2，8）代入y＝ax2， 得4a＝8， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标符合二次函数的解析式． 12. 从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 13. 圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】点在外，过点和圆心的直线与相交．两个交点到的距离分别为最小距离和最大距离．二者的差为圆的直径，据此计算半径即可． 【详解】解：∵点是外的点， ∴点到的最大距离与最小距离的差为的直径， ∴的直径为， ∴的半径为． 14. 如图，的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到是中点，利用垂径定理的推论得到；再由直径求出圆半径，在中用勾股定理算出，最后用求出的长度． 【详解】解：是的直径，， ， ，即点是弦的中点， ， ∴在中，， ． 15. 抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称轴公式求出的值，将一元二次方程在给定区间有实根转化为求二次函数在范围内的取值范围，即可得到的范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴抛物线 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴当时，y取得最小值2 ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根 ∴等价于在范围内有解，即求函数在的取值范围 当时，，当时， ∴的取值范围是，即的取值范围是． 16. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______． 【答案】或 【解析】 【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，当点在点右侧时，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出，接着在中利用勾股定理可计算出的长；当点在点左侧时，利用同样的方法计算的长． 【详解】解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴，，又， ∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是， ∴，则， ∵， ∴， 当点在点右侧时，则， 在中，， 在中，， ∴； 当点在点左侧时，同理可得． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 1 3 … y … 0 4 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： （1）求二次函数的表达式； （2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线表达式为，利用待定系数法解答即可； （2）根据表达式，求函数值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线表达式为，根据题意，得， 解得， 故二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，当时，． 18. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图，这是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的三个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）小明转动A盘，指针指向红色扇形区域的概率是_______． （2）同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小卫同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算概率即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵A盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝， ∴小明转动A盘，指针指向红色扇形区域的概率是； 【小问2详解】 解：转盘B红色部分圆心角为，相当于2个蓝色部分， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小卫同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是． 19. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_________． （2）若平面上有点，判断点与的位置关系并给出理由． 【答案】（1）解：画图如下： ． （2）解：点在的外部． 理由如下： ，，， 圆的半径为， ， ， 点在的外部． 【解析】 【分析】（1）根据点，，得圆心D一定在直线上，不妨设，根据同圆的半径相等，得，确定点D的坐标，继而确定圆心的位置． （2）首先计算圆的半径，再计算的长，比较大小，解答即可． 【小问1详解】 解：根据点，，得圆心D一定在直线上， 不妨设，根据同圆的半径相等，得， 解得， 故，画图略． 【小问2详解】 解：略． 20. 某小型植物可能开出紫色、粉色、白色三种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的概率，植物社团的成员打算随机收集一些该植物的幼苗进行试验研究．五个小组的成员分别收集该植物的一些幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据如下表： 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 280 开紫花的植株数量 74 71 3 88 b 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a 0.29 0.30 （1）表中_______，_______； （2）在上述五个小组的数据中，你认为第_______组的数据不适合用频率估计概率，你认为一株该植物开出紫花的概率是_______．（精确到0.1） （3）已知该植物开出粉色花朵的概率为0.5，某公园自然生长着大量该植物，经统计，这些植株中开白花的有350棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】（1）, （2）三, （3）估计该公园此植物植株的总数量为1750棵 【解析】 【分析】（1）根据频率频数总数列式求解即可； （2）第三组试验的植株数量太少不适合用频率估计概率；根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可得答案； （3）用白花的数量除以白花的概率即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数量太少；利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.3； 【小问3详解】 解：棵， 答：估计该公园此植物植株的总数量为1750棵． 21. 数学课上，李老师提出了如下尺规作图问题： 已知：如图，是上的一条劣弧． 求作：的中点． 同学们通过交流讨论得到了很多不同的方法．其中小亮给出了一个作法： ①作射线交于点； ②以为圆心，线段的长为半径作圆弧交射线于点； ③连接交于点．则点为所求． （1）请你用不同于小亮的方法作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）小亮的作法对吗？如果对，请画出示意图并给出证明，如果不对，请说明理由． 【答案】（1） （2）画出示意图如下： 理由：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴点是的中点 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合由三线合一得，由圆周角定理的推论得，即可得点是的中点． 【小问1详解】 解：如图，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接、， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数（为常数，）． （1）若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； （2）当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）确定抛物线的对称轴，利用对称轴确定函数的增减性，然后利用最值求出参数． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得． 23. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】（1） （2）若守门员选择原地接球，不能防守成功， 理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 24. 如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 【答案】（1） （2）①；②（）， 的最大值为 ． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得 、；由角平分线定义与同弧所对圆周角相等求出 与 ，从而得 ； （2）①先证 ，设 ，由 到 的距离为 得 ，再由同弧所对圆心角等于圆周角的二倍证 为等边三角形，得半径长；②作弦 的弦心距 ，由垂径定理得 为 中点，在两个直角三角形中用勾股定理消去 ，得 与 的函数关系式，再确定 的最大值． 【小问1详解】 解：， ∴ （同弧所对圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ （同弧 所对的圆周角相等）． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ ． 【小问2详解】 解：在 中， ∵ 与 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ （邻补角）． 在 中，， ∴ ， ∴ （等角对等边）． ① 设 ． ∴ ∴， 连接，则，则 ． ∵ ， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ，，． ∵ 与 是同弧 所对的圆心角与圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，即 的半径长为 ． ② 作 于 ． ∵ ，由垂径定理，垂足 为弦 的中点， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． 由 （直径是圆中最长的弦），得 ，故 ， ∴ ． 在 Rt 中，， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ 在线段 上且不与 重合， ∴ ， 随 的增大而减小， 当 为 的直径时，，此时 与 重合，， ∴ 取得最大值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $