浙江宁波市镇海蛟川书院（甬江校区）2026-2027学年九年级上学期学科素养大比拼数学试卷

蛟川书院（甬江校区）2026学年第一学期学科素养大比拼 初三数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．为锐角，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ） A．一定是红球 B．摸出黄球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（ ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别是，，上的点，且∥，∥，若，，则（ ） A． B． C． D． 7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A． B． C． D． 8．如图，把两条宽度都是的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积是（ ） A． B． C． D． 9．如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（ ） A． B． C． D． 10．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11．在中，，，则________． 12．有两辆车按，编号，赵、钱两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率为________． 13．扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为________． 14．小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，山高为________米 15．在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、，若，则的度数为________． 16．在正方形中，为对角线，点为的中点，点在边上，连结交于点．在上取一点，使得，连结、．若，，则的长为________． 三．解答题（共3小题） 17．计算：； 18．翩跹彩蝶，意蕴清雅．在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶．老师将印有这四种蝴蝶的张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿． （1）若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率． （2）老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） （1）在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． （2）在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 20．如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． （1）若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） （2）给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 22．如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23．如图，已知矩形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点以每秒个单位的速度从点出发在射线上运动，连接，作交轴于点，连接交于点，设运动时间为秒． （1）若平分时，求的值； （2）当时，求点的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点． （1）若圆的半径为，，求的长． （2）如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点． （3）如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若， ①求证：； ②若，求的半径长． 学科网（北京）股份有限公司 $