精品解析：河南省商丘市睢县高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年度高一第二次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式将集合具体化，结合交集运算可得. 【详解】由已知得：，， 故. 故选：B. 2. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 6. 若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式和面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 根据题意，可得α＝2，l＝4，所以， 所以. 故选：B. 7. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答. 【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即， 函数在单调递增，并且有， 则， 于是得，即，则， 又函数在单调递增，且，则有， 所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较， 如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，有”的否定是“，使” D. “是方程的实数根”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D. 【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，正确； 对于B，“”一定有“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，错误； 对于C，命题“，有”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，即“，使”，正确； 对于D，当时，1为方程的一个根，故充分； 当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在定义域上单调递减 D. 函数为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数性质，结合解析式有意义可判断A；根据指数函数的值域直接推导可判断B；利用复合函数单调性的性质可判断C；根据奇函数定义可判断D. 【详解】对A，因为，所以对任意，， 即函数的定义域为，A错误； 对B，函数， 因为，所以，，所以， 即函数的值域为，B正确； 对C，因为在上单调递减，函数单调递增， 所以，由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，C正确； 对D，由，可得：， 则为奇函数，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】分子分母同除以，求解即可. 【详解】由， 解得. 故答案为：. 13. 若，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】函数在上单调递减， 又因为，所以，解得 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据补集和并集的概念计算即可； （2）由题意可知集合是集合的真子集，列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 若，则，所以， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 因为，所以， 所以且等号不同时成立，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， 所以实数的取值范围是. 16. 已知关于x的不等式． （1）当时，解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． （2）． 【解析】 【分析】（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式； （2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围 【详解】解：（1）不等式可化为， 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为， 解得，或； 当时，不等式化为； ①时，，解不等式得， ②时，，解不等式得， ③时，，解不等式得． 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． （2）由题意不等式对恒成立， 可设，， 则是关于a的一次函数，要使题意成立只需： ， 解得：， 所以x的取值范围是． 17. 计算 （1）； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. （3）利用平方的方法求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 设，则，因，得； 由，得， ， 得， 故. 18. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”.其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 0 20 40 0 2400 4400 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆该型号汽车从地到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：（），则这辆车在国道上和在高速路上行驶速度分别为多少时，才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选择， （2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式； （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 对于，当时，它无意义，所以不合题意， 对于，易知是减函数， 由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意， 所以选，由表中数据可得， 解得，，所以当时，. 【小问2详解】 国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 因为，所以当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当即时等号成立. 所以： 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 19. 已知，. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； （3）若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域为R，代入化简得到，即可求出的取值范围，再结合指数函数的性质即可得解； （2）先由题设得方程有实数解，接着令得方程有实数解，再结合函数单调性性质求出即可计算求解. （3）先由题意得，接着求出，再分、和求出即可计算得解. 【小问1详解】 由可知函数的定义域为R， 因， 结合对数函数的单调性可得，，即， 解得，得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由题可得， 因存在实数，使得成立， 即存在实数，使得成立， 所以方程有实数解， 令，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以，所以，得， 所以实数m的取值范围为； 【小问3详解】 由题意，使得，所以， 由（1）知， 因为，所以，，所以， 因为， ①当时，在区间上单调递增，所以， 则，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，即， 所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 则，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第二次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，有”的否定是“，使” D. “是方程的实数根”的充要条件是“” 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在定义域上单调递减 D. 函数为奇函数 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____________. 13. 若，则的取值范围是_____________. 14. 已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知关于x的不等式． （1）当时，解关于x的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围． 17. 计算 （1）； （2）； （3）已知，求的值. 18. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”.其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 0 20 40 0 2400 4400 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆该型号汽车从地到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：（），则这辆车在国道上和在高速路上行驶速度分别为多少时，才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 19. 已知，. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； （3）若，，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $