第三十章 直线与圆的位置关系【章末复习】（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 30.3 正多边形与圆 专项练习（人教版九上\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **正多边形定义**：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 2. **正多边形与圆的关系** 把一个圆分成相等的一些弧\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)依次连接各分点\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)就可以作出这个圆的**内接正多边形**\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)这个圆就是正多边形的外接圆。 3. **相关概念** - **中心**：正多边形外接圆的圆心； - **半径$R$**：外接圆半径\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)中心到顶点的距离； - **边心距$r$**：中心到正多边形一边的距离（也是内切圆半径）； - **中心角**：正多边形每一条边所对的圆心角。 正$n$边形中心角公式：$\boldsymbol{\theta=\dfrac{360^\circ}{n}}$。 4. **正多边形内角、外角** 正$n$边形内角和：$(n-2)\times180^\circ$； 单个内角：$\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}$； 正多边形外角和恒为$360^\circ$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)单个外角$=\dfrac{360^\circ}{n}$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)**正多边形中心角=外角**。 5. **核心模型** 正多边形的半径、边心距、边长的一半构成**直角三角形**\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)这是本节计算核心。 例：正$n$边形边长$a$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)则$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+r^2=R^2$。 >易错提醒 ①各边相等的多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等的多边形也不一定是正多边形（矩形）\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)必须边、角都相等； ②区分半径（到顶点）和边心距（到边）； ③中心角是圆心角\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)不是多边形内角\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)不要混淆。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 下列多边形一定是正多边形的是（） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 **答案：C** 2. 正六边形的中心角为（） A.$45^\circ$ B.$60^\circ$ C.$90^\circ$ D.$120^\circ$ **答案：B** 解析：$\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$ 3. 正五边形中心角等于____°。 **答案：72** 4. 正方形外接圆半径为4\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)则正方形边长的一半是____。 **答案：$2\sqrt2$** 5. 正多边形边心距是正多边形____圆的半径。 **答案：内切** ## 三、能力提升（解答题\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)写出完整步骤） 6. 求正八边形的中心角与一个内角的度数。 **解** 中心角：$\theta=\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$。 单个内角：$\dfrac{(8-2)\times180^\circ}{8}=135^\circ$。 答：中心角$45^\circ$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)一个内角$135^\circ$。 7. 已知正六边形外接圆半径$\(R=6\)$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)求正六边形边长。 **解** 正六边形中心角$=\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$。 正六边形两条相邻半径和边长组成三角形\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)两边都是$\(R=6\)$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)夹角$60^\circ$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\) 所以该三角形为等边三角形。 ∴正六边形边长$a=\(R=6\)$。 答：边长为6。 8. 正方形外接圆半径$\(R=5\)$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)求正方形边心距与边长。 **解** 正方形中心角$=\dfrac{360^\circ}{4}=90^\circ$。 半径、边心距、边长一半构成直角三角形\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)顶角$45^\circ$。 边心距$r=R\cdot\cos45^\circ=5\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$。 边长一半$=R\cdot\sin45^\circ=\dfrac{5\sqrt2}{2}$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)边长$a=5\sqrt2$。 答：边心距$\dfrac{5\sqrt2}{2}$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)边长$5\sqrt2$。 9. 易错题：判断正误（对√\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)错×） ①各边相等的多边形是正多边形（×\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)菱形各边相等\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)但内角不等） ②正多边形中心角等于外角（√） ③正六边形半径等于边长（√） ④正多边形边心距是外接圆半径（×\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)边心距是内切圆半径） ## 四、中考综合训练 10. 正五边形ABCDE内接于⊙O\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)求$\(∠AOB\)$和$\(∠OAB\)$度数。 **解** $\(∠AOB\)$为中心角\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)$\(∠AOB\)=\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$。 OA=OB\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)△OAB等腰\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\) $\(∠OAB\)=\dfrac{180^\circ-72^\circ}{2}=54^\circ$。 答：$\(∠AOB\)=72^\circ\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)\(∠OAB\)=54^\circ$。 11. 正三角形外接圆半径$\(R=4\)$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)求它的边心距、边长。 **解** 正三角形中心角$120^\circ$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)半径、边心距、边长一半构成直角三角形\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)中心角一半为$60^\circ$。 边心距$r=R\cdot\cos60^\circ=4\times\dfrac12=2$。 边长一半$=R\cdot\sin60^\circ=4\times\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)边长$=4\sqrt3$。 答：边心距2\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)边长$4\sqrt3$。 12. 圆内接正多边形的边长等于外接圆半径\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)则这个正多边形是正几边形？ **解** 设半径为$R$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)边长$\(a=R\)$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)两条半径与边长构成等边三角形\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)中心角$=60^\circ$。 $n=\dfrac{360^\circ}{60^\circ}=6$。 答：是正六边形。 ## 五、方法总结 本节核心模型：**半径R、边心距r、半边长构成直角三角形**\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)所有计算都依靠这个直角三角形\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)配合三角函数或勾股定理求解。 常用结论： 1. 中心角：$\dfrac{360^\circ}{n}$\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)等于外角；内角用多边形内角和公式； 2. 正六边形：边长=外接圆半径\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)考试最高频； 3. 正方形、正三角形\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)熟练拆分成直角三角形计算边长、边心距。 高频陷阱： 1. 误以为边长相等就是正多边形； 2. 混淆外接圆半径（顶点到中心）、边心距（边到中心）； 3. 把中心角当成多边形内角。 题型特点：填空选择居多\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)常结合圆、扇形面积一起考；大题一般求边长、边心距\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)或者求面积。 （全文约1446字） 需要我生成**无答案纯题目版本**方便打印吗？下一节是弧长扇形圆锥（前面写过）\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)本章结束\(∠AOB=72^\circ，∠OAB=54^\circ\)要不要做30章章末复习？ 人教版（新教材）数学九年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十章 直线与圆的位置关系 ①>　②＝　③< 返回 情境导入 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 直线与圆的位置关系 相离 画正多边形 切线长定理 三角形的内切圆 相交 相切 正多边形与圆 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 直线与圆 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 割线 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 直线与圆 根据直线与圆相离、相切、相交的定义，容易得到： 直线l与☉O相离 ⇔ d＞r； 直线l与☉O相切 ⇔ d＝r； 直线l与☉O相交 ⇔ d＜r. 因此可以用d与r间的大小关系来判断直线与圆的位置关系. O O O l l l r r r 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 直线与圆 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定 A l O 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 直线与圆 过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA,PB的长),叫作这点到圆的切线长. 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. B P O A 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 三角形的内切圆 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 3. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 4. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 2. 三角形内切圆的圆心是这个三角形三条角平分线的交点. r r r 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 正多边形与圆 O A B C D E R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 . O 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 正多边形与圆 E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 正多边形与圆 O B C r R P . F A D E R r 正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积 3 2 4 2 6 2 探究新知 1. 返回 ⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形是(　　) C 考点1　直线与圆的位置关系 举一反三 12 返回 2. [青岛中考]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A.若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为(　　) A．52° B．54° C．64° D．74° C 举一反三 返回 3. [黑龙江中考]如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝________. 70° 举一反三 返回 4. 如图，将刻度尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放(无重叠部分)，若三角板60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5 cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是7 cm，量角器与三角板的接触点为B. (1)AB＝________cm； (2)该量角器的直径长为________cm.(结果保留根号) 2 举一反三 [邯郸期中]如图①，在△ABC中，点P在边AB上，∠ABC∶∠BAC∶∠BPC＝1∶2∶3，⊙O是△BCP的外接圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； 5. 返回 证明：连接CO，延长CO交⊙O于点Q，连接PQ，如图所示，则CQ为⊙O的直径． ∵∠ABC∶∠BAC∶∠BPC＝1∶2∶3，∠BPC＝∠ACP＋∠BAC，∴易得∠ABC＝∠ACP. ∵CQ为⊙O的直径，∴∠CPQ＝90°， 举一反三 返回 ∴∠PCQ＝90°－∠CQP， ∵∠CQP＝∠CBP，∴∠CQP＝∠ACP， ∴∠PCQ＝90°－∠ACP，∴∠PCQ＋∠ACP＝90°， 即∠ACQ＝90°，∴CQ⊥AC，∴AC是⊙O的切线． 举一反三 (2)如图②，当BP是⊙O的直径时，∠ACP的度数是________． 返回 22.5° 举一反三 如图，AB是⊙O的弦，P是AB延长线上一点． (1)过点P作⊙O的切线PC，切点C在直线AB的下方；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 返回 6. 解：如图，PC即为所求． 举一反三 (2)在(1)的条件下，连接AC，BC.求证：∠PCB＝∠BAC. 返回 证明：如图，连接OB，OC， 设∠PCB＝α，∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°，∴∠OCB＝90°－α. ∵OB＝OC，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝2α， ∵∠BAC＝ ∠BOC＝α，∴∠PCB＝∠BAC. 举一反三 返回 7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为(　　) A．35° B．30° C．25° D．20° 考点2　三角形的内切圆 C 举一反三 返回 8. 如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，⊙O与BC，AC，AB的切点分别为D，E，F，若AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径为(　　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 B 举一反三 返回 9. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为________． 5 举一反三 23 返回 10. 【新趋势 跨学科综合】苯(分子式为C6H6)环状结构中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形(如图①)，图②是其平面示意图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，则其中心角的度数为(　　) A．30° B．60° C．70° D．120° B 考点3　正多边形和圆 举一反三 24 11. 如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接AG，BH，CI，DJ，EK，FL(A，G，H三点共线)，若CI＝2，IJ＝3，则正六边形ABCDEF的边长为(　　) C 返回 举一反三 25 返回 12. 如图，AB，AC分别是⊙O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC是⊙O的内接正n边形的一条边，则n＝______． 12 举一反三 26 13. [沧州期中]如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形． (1)若⊙O的半径为1，则六边形ABCDEF的周长为______； (2)设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则 ＝________． 6 返回 2 举一反三 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 通过下列问题，请你反思是否掌握本章内容： 直线与圆有怎样的位置关系？你能举出这些位置关系的一些实例吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？ 直线与圆相切时，具有哪些性质？怎样判定直线与圆相切？ 怎样用直尺和圆规过圆上或圆外一点作圆的切线？你能说明这样作图的道理吗？ 过圆外一点作圆的两条切线，你能由此得到什么性质？ 怎样用直尺和圆规作出一个三角形的内切圆？你能说出内切圆的圆心和半径是如何确定的吗？ 正多边形与圆有什么关系？ 探究新知 谢谢观看 THANKS 4 A． B．5 C． D．19 $