第三十章 直线与圆的位置关系 章末小结 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、三角形的内切圆及正多边形与圆等核心知识，通过“知识点定义-定理梳理-例题解析”的结构，将相离相切相交的分类、切线长定理、内心性质等内容串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用表格化辅助线总结（如“连半径证垂直”等作法）和分层例题设计，从基础判断位置关系到综合证明切线、计算阴影面积，培养学生的几何直观与推理能力。这种设计让学生逐步提升，教师也能通过典型例题把握重点，有效巩固知识。

第三十章 直线与圆的位置关系 章末小结 人教版九年级上册 直线与圆的位置关系 正多边形与圆 相交 相切 相离 画正多边形 三角形的内切圆 切线长定理 单元知识梳理 2 知识点1 直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d>r d=r d<r 公共点名称 — 切点 交点 直线 l 名称 — 切线 交线 总结 直线l与⊙O相离 ⇔d>r. 直线l与⊙O相切 ⇔d=r. 直线l与⊙O相交 ⇔d<r. 直线与圆的位置关系 单元知识梳理 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 圆的半径为4cm,圆心与直线上某一点距离为4cm,则直线与圆的位置关系不可能是（　　） 例1 A 解：∵圆的半径为4cm，圆心与直线上某一点的距离为4cm， ∴直线与圆有交点. ∴当圆心与该点的连线垂直于该直线时，由切线的判定定理可知，直线与圆相切； 当圆心与该点的连线不垂直于该直线时，则由垂线段最短， 可知圆心到该直线的距离小于4，从而直线与圆相交． 知识点1 直线与圆的位置关系 单元知识梳理 的半径r=5cm，圆心O到直线l的距离d=OD=3cm，在直线l上有三点P，Q，R，若PD=4cm，则P点在_________；若QD=2cm，则Q点在_________；若R点不在内，则满足的条件为：_________． 上 内 RD≥4 例2 R P Q D l O 知识点1 直线与圆的位置关系 单元知识梳理 知识点2 切线的性质与判定 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 单元知识梳理 知识点2 切线的性质与判定 类型 依据 作法 简称 已知切线 切线的 性质 通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论. 见切点，连半径，得垂直. 需证切线 切线的判定定理 通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线与半径垂直，得出直线是圆的切线的结论. 有公共点，连半径，证垂直. 切线判定的距离法 通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出直线是圆的切线的结论. 无公共点，作垂直，证半径. 与切线相关的常见辅助线作法 单元知识梳理 例3 如图所示，O为∠BAC的平分线上一点，OD⊥AB于点D，以O为圆心，以OD为半径作， 求证：与AC相切． 证明：如图所示，过O作OE⊥AC，垂足为E. ∵O为∠BAC的平分线上一点，OD⊥AB于点D， ∴OE=OD. ∵OE⊥AC， ∴与AC相切． 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 已知BC是的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，的半径为10，求AE的长． 例4 （1）证明：如图，连接 , ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 已知BC是  的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是  的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，的半径为10，求AE的长． 例4 （2）解：如图，连接OA. ∵ 是  的直径，且  于点 ,∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF是的切线． （2）若的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积． 例5 （1）证明：连接OD，如图所示. ∵OB=OD，∴∠ODB=∠B. 又∵AB=AC，∴∠C=∠B， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD. ∵点D在上， ∴DF与的相切. 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF是的切线； （2）若的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积． 例5 （2）解：连接OD，OE. ∵DF⊥AC，∠CDF=15°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30° ∵OA=OE，∴∠AOE=120° ∵的半径为3， ∴S扇形 AOE ​= = 3π, S阴影 =3π 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 知识点2 切线的性质与判定 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 单元知识梳理 如图，是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（　　）个： ①AF=BG；②CG=CH；③AB+CD=AD+BC；④BG＜CG． A．1 B．2 C．3 D．4 例6 解析：∵是四边形ABCD的内切圆， ∴AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE， ∴AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC． ①AF=BG；④BG＜CG无法判断． 正确的有②③． B 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 如图，P为外一点，PA，PB分别切于点A，B，CD切于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA=8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 例7 C 解：∵PA，PB分别切于点A，B，CD切于点E， ∴PA=PB=8，AC=EC，BD=ED， ∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD =PC+AC+BD+PD =PA+PB =8+8 =16， 即△PCD的周长为16． 知识点2 切线的性质与判定 单元知识梳理 知识点3 三角形的内切圆 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点. 单元知识梳理 知识点3 三角形的内切圆 三角形的内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 尺规作图步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 单元知识梳理 若点 P 为 △ABC 的内心，则（　　） A．点 P 为三边中线的交点 B．点 P 为三边中垂线的交点 C．点 P 到三顶点的距离相等 D．点 P 到三边的距离相等 例8 D 知识点3 三角形的内切圆 单元知识梳理 △ABC的三边长分别为6，8，10，则此三角形的内心与外心的距离为_____． 例9 解析：如图，圆O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，N，M为AB的中点. ∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∴点M是△ABC的外心(直角三角形的外心是斜边的中点). 设Rt△ABC的内切圆的半径为r,则OD=OE=r, ∵∠C=90°，∴四边形CDOE是正方形， ∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r， ∴8-r+6-r=10，解得r=2， ∴AN=4，在Rt△OMN中，MN=AM-AN=1. 在  中，， ， ∴ 此三角形的内心与外心的距离为 . 知识点3 三角形的内切圆 单元知识梳理 知识点4 正多边形与圆 正多边形： 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 正多边形与圆的关系： 名称 概念 图示说明 圆内接正多边形 把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 的内接正九边形 圆外切正多边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 的外切正六边形 单元知识梳理 知识点4 正多边形与圆 名称 公式 图示（以正六边形为例） 内角 正n边形的每个内角都为. 内角 α= =120° 中心角等于外角： 半径、边长、边心距的关系： 周长：l=6a 面积：S=​lr 中心角 正n边形的每个中心角都为 外角 正n边形的每个外角都为. 半径、边长、边心距的关系 周长 正n边形的周长 . 面积 正n边形的面积 S=ar⋅n=​lr. 与正 n 边形有关的计算公式（正 n 边形的半径为 R，边长为 a，边心距为 r） 单元知识梳理 正三角形的边心距、半径和高的比是（　　） A.  B.  C.  D.  解：如图，O为△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高， 则OD为边心距， ∴∠BAD=30°． 又∵AO=BO，∴∠ABO=∠BAD=30°， ∴∠OBD=60°30°=30°， 在Rt△OBD中，BO=2DO， 即AO=2DO， ∴OD：OA：AD=1：2：3． 例10 A 知识点4 正多边形与圆 单元知识梳理 如图，正六边形ABCDEF内接于，其半径为6，则这个正六边形的边心距 OM 的长为 __________． 例11 3 知识点4 正多边形与圆 单元知识梳理 例12 如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，AF是的直径， 求∠BDF的度数． 解：∵  是  的直径，五边形  是  的内接正五边形， ∴ ，，, ∴ , ∴ , ∴ . 知识点4 正多边形与圆 单元知识梳理 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点. 添加下列条件中的一个：①BM=EN；②∠FAN=∠CDM；③AM=DN；④∠AMB=∠DNE． 能使四边形AMDN是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)． 例13 解：①连接AD，交BE于点O. ∵正六边形ABCDEF中，∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°， ∴△AOB和△DOE是等边三角形， ∴OA=OD，OB=OE， 又∵BM=EN，∴OM=ON， ∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意； ②∵∠FAN=∠CDM，∠CDA=∠DAF， ∴∠OAN=∠ODM，∴AN∥DM， 又∵∠AON=∠DOM，OA=OD， O ∴△AON≌△DOM（ASA）， ∴AN=DM， ∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意； 知识点4 正多边形与圆 单元知识梳理 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点. 添加下列条件中的一个：①BM=EN；②∠FAN=∠CDM；③AM=DN；④∠AMB=∠DNE． 能使四边形AMDN是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)． ①②④ 例13 ③∵AM=DN，AB=DE，∠ABM=∠DEN， ∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意； ④∵∠AMB=∠DNE，∠ABM=∠DEN，AB=DE， ∴△ABM≌△DEN（AAS）， ∴AM=DN． ∵∠AMB+∠AMN=180°，∠DNM+∠DNE=180°， ∴∠AMN=∠DNM，∴AM∥DN， ∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意． O 知识点4 正多边形与圆 单元知识梳理 $